Mécanique 2 – Dossier d’exercices et brochure de solutions

Dossier d’exercices et brochure de solutions 2.3 Oscillations, mouvement harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3 Solutions détaillées des exercices 3.1 Relativité et transformations de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Quadrivecteur énergie-impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Oscillations, mouvement harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Rappels sur les mouvements oscillatoires et leurs solutions . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Mouvement oscillatoire libre et non amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Mouvement oscillant amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Mouvement oscillant amorti et entretenu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dossier d’exercices – Mécanique 1 – Les exercices que vous trouverez dans cette brochure sont inspirés de nombreux livres de physique ainsi que d’exercices reçus par mes élèves en classe. Une connaissance de base du calcul différentiel et intégral est nécessaire pour la plupart des exercices. Je sais que les notions de dérivées et d’intégrations ne sont malheureusement introduites que très tard au gymnase. Je ne vois cependant pas comment faire de la physique sans connaissance de ces outils mathématiques. La plupart des exercices sont résolus de manière littérale, car il me semble que l’aspect mathématique de la physique doit être souligné. Une interprétation qualitative des résultats est beaucoup plus importante qu’une interprétation quantitative. Une fois en possession du résultat sous forme littérale il est très simple de s’inventer des situations concrètes et d’en calculer les résultats. Le contraire n’est pas possible. Les sujets traités ici sont les sujets classiques qui sont étudiés après la mécanique newtonienne. Il s’agit de la relativité restreinte sur laquelle j’ai insisté un peu, car le sujet est intéressant et en même temps un peu perturbant. Suivent ensuite l’étude des oscillations harmoniques et la résonnance. Après un bref survol de l’équation de Bernouilli la brochure se termine par la calorimétrie et des exercices sur les deux premières lois de la thermodynamique. ◦ Le symbole marque la fin d’une démonstration. ◦ Le symbole −→ signifie que le passage de l’expression de gauche à l’expression de droite est basée sur des règles simples d’algèbre ou de logique. C’est en sorte une implication moins stricte que ⇒. Dans cet exercice la situation est non relativiste. Soit deux référentiels inertiels S et S 0 . Le reférentiel S 0 a une vitesse d’entraînement ve par rapport à S. Dans S nous avons deux masses m1 et m2 qui ont les vitesses v1 et v2 selon l’axe x. Après collision les masses restent collées l’une à l’autre. Quelle est la vitesse du système après la collision. Que peut on dire de la valeur de la quantité de mouvement dans chaque référentiel ? La longueur d’un objet est maximum lorsqu’il est au repos par rapport à l’observateur. Un référentiel inertiel S 0 se déplace à une vitesse de u = 23 c par rapport a un référentiel S le long de l’axe x. Une barre rigide est posée le long de x0 et a pour coordonnées x02 = 10 et x01 = 2. a) Quelle est la longueur de la barre pour un observateur placé dans le repère S s’il mesure les deux extrémités de la barre au même moment ? Dossier d’exercices – Mécanique 1 – b) Quelle est la longueur de la barre si l’observateur de S mesure d’abord x2 puis 10 nanosecondes plus tard l’extrémité x1 ? c) Refaire les calculs en utilisant la transformation galiléenne. Le temps mesuré est le plus court lorsqu’il est mesuré par un observateur au repos par rapport Le référentiel inertiel S 0 se déplace à une vitesse de u = 23 c par rapport au référentiel S. Un passager de S 0 situé en x0 = 0 porte une montre. Que vaut la valeur d’une seconde mesurée par un observateur du référentiel S. Le référentiel inertiel S 0 se déplace à une vitesse de u = 23 c par rapport au référentiel S. Un observateur situé dans S mesure un espace de 1 seconde entre l’apparition de deux éclairs de lumière dans S 0 . De combien ces événements sont ils distants dans S 0 s’ils sont simultanés dans ce référentiel ? Vérifier la concordance des faits par rapport à S 0 . La Terre et le soleil sont séparés de 8.3 minutes-lumière. On considère qu’ils font partie du même référentiel inertiel. Un événement A se produit sur Terre à t = 0 et un événement B se produit sur le soleil à t = 2 minutes. a) Trouver la vitesse à laquelle un observateur doit se déplacer dans la direction Terre-soleil afin que les événements A et B lui apparaissent simultanément. b) Quelle est la vitesse d’un vaisseau spatial qui effectue le trajet Terre-soleil en 5 minutes ? Les 5 minutes sont mesurées avec une montre se trouvant dans le vaisseau. c) Que valent les 5 minutes pour un observateur du système Terre-soleil ? d) Calculer le carré de l’intervalle espace-temps dans les deux référentiels. Un muon a un temps de vie propre de 2 × 10−6 sec. Il est créé à une altitude de 100 km et fonce vers la Terre à une vitesse de 2.97 × 108 m/s. À quelle altitude se désintègre t-il ? Quel chemin a-t-il parcouru dans son propre référentiel ? Dossier d’exercices – Mécanique 1 – Une personne située sur l’axe x d’un référentiel inertiel S voit un éclair rouge à x = 1210 m de lui. Après 4.96µs, il voit un éclair bleu éloigné de x = 480 m. a) Quelle vitesse doit avoir le référentiel S 0 d’un autre observateur afin que les éclairs lui proviennent du même endroit ? b) Quel événement apparaît en premier au passager de S 0 et quel est le laps de temps qui s’écoule entre les deux éclairs pour lui. Deux fusées de longueur au repos L0 se croisent non loin de la Terre. La première à une vitesse de 21 c et la deuxième une vitesse de − 21 c. Quelle vitesse relative vont avoir ces fusées l’une par rapport à l’autre ? Dessiner le graphe de la fonction γ : [0; 1[→ R définie par γ(β) = √ 1 d’accroissement pour β = 0.5, 0.8 et 0.99. On considère un univers où la vitesse de la lumière est c = 100 km/h. Sur une autoroute, une voiture est en train d’en dépasser une autre. La voiture dépassée roule à 50 km/h. Un radar fixe se déclenche à leur passage. Sur l’image radar, les voitures apparaissent avoir la même longueur. Sachant que dans le référentiel du radar, la voiture qui dépasse est deux fois plus grande que la voiture dépassée, quelle est sa vitesse ? La quantité de mouvement d’une particule quadruple lorsque sa vitesse double. Quelle est sa Une particule au repos de masse m0 est heurtée par un photon. Le photon et la particule ne forment qu’une seule masse m0 après la collision. Quelle est la masse de cette unique particule dans son propre référentiel ? Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 2.3 Oscillations, mouvement harmonique Un corps P1 , de masse m0 et de vitesse v rentre en collision avec un autre corps P2 au repos. P1 et P2 sont identiques. Les deux corps restent soudés. Quelle est la masse (dans le référentiel des deux corps) de l’amoncellement Pf après la collision ? Une particule P1 de masse au repos m0 et de vitesse v entre en collision et reste collée à une particule identique P2 qui est au repos. Trouver la vitesse V du référentiel dans lequel la quantité de mouvement est nulle après la collision ? Montrer qu’un photon K ne peut pas se désintégrer en une paire éléctron-positron P− , P+ de masse m et de vitesse v. L’électron et le positron sont les mêmes particules, mais de charge Soit une particule ayant une masse au repos m0 qui se déplace à une vitesse v dans un référentiel S. Ecrivez les composantes du quadrivecteur impulsion énergie P = (p0 , p1 ) en fonction de m0 et v. Maintenant regardez cette particule depuis un référentiel S 0 se déplaçant à vitesse u par rapport à S. Quelle va être la vitesse w de la particule et les composantes de son quadrivecteur impulsion-énergie P 0 = (p00 , p01 ) en fonction de w exprimés par rapport à u et v. Oscillations, mouvement harmonique Un objet est attachée à un ressort. Le mouvement oscillatoire répond à l’équation (l’énergie mécanique est une constante du mouvement) b) la fréquence f , Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 2.3 Oscillations, mouvement harmonique c) la constante du ressort k Une masse m glissant sur une table sans frottement arrive à vitesse v0 contre un ressort de constante k. Calculer : a) la compression maximum du ressort, b) le temps de contact de la masse avec le ressort. Une tige de métal de masse M et de longueur L est suspendue en son milieu à un câble et subit un mouvement oscillatoire de torsion autour de son point d’équilibre. Après avoir rajouté deux masses m à chaque extrémité de la tige, sa fréquence angulaire diminue de 10%. Que vaut Figure 1 – Exercice 2.3.4 Un disque de métal de masse M et de rayon R est posé sur la tranche (voir figure 1). Une masse ponctuelle m est collée au bas du disque et celui-ci est mis en mouvement. Le disque oscille sans glisser. Calculer la période T de l’oscillation harmonique. Pourquoi la force de frottement entre le disque et le support n’importe-t-elle pas ? Trouver l’équation du mouvement d’une masse de 2 kg attachée à un ressort de constante k = 1 N/m. On compresse le ressort de 1 m et on projette la masse en lui donnant une vitesse Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 2.3 Oscillations, mouvement harmonique initiale de 1 m/s dans le sens de compression du ressort. Il n’y a pas de frottement ni de force extérieure agissants sur le système. Une tige de bois verni de longueur h, de rayon r et de densité ρs < 1 est maintenue en équilibre vertical dans un bassin d’eau douce. On enfonce le bâton dans l’eau jusqu’à ce qu’il soit complément immergé. Au moment t = 0 on lâche le bâton. Calculer sa période d’oscillation T . On ne prend pas en compte les frottements. Soit le mouvement oscillatoire donné par l’équation différentielle mẍ + bẋ + kx = 0 où m = 2, b = 6 et k = 2. Résoudre pour les valeurs initiales : a) x0 = −1 ; ẋ0 = 6 b) x0 = 1 ; ẋ0 = −1 Soit le mouvement oscillatoire donné par l’équation différentielle mẍ + bẋ + kx = 0 où m = 2, b = 4 et k = 2. Résoudre pour les valeurs initiales : a) x0 = −1 ; ẋ0 = 6 b) x0 = 1 ; ẋ0 = −1 Soit le mouvement oscillatoire donné par l’équation différentielle mẍ + bẋ + kx = 0 où m = 2, b = 2 et k = 2. Résoudre pour les valeurs initiales : Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 2.4 Mécanique des fluides a) x0 = −1 ; ẋ0 = 6 b) x0 = 1 ; ẋ0 = −1 Je roule avec ma voiture dans un village. Sur la route il y a tous les 20 m un modérateur de trafic (gendarme mort). À quelle vitesse aurai-je des problèmes si mes amortisseurs ont une fréquence de résonnance de 0.5 Hz ? Trouver la solution de transition et la solution à long terme du système oscillant, amorti et mẍ + bẋ + kx = F0 cos ωt Les conditions initiales sont x(0) = 6 et x0 (0) = 0. Etudier la possibilité de résonnance. Mécanique des fluides Une personne désire aspiré de l’eau à travers un tube jusqu’à une hauteur de 120 cm. Quelle est la différence de pression minimum entre l’extérieur et l’intérieur de sa bouche ? Un réservoir est rempli d’eau jusqu’à une hauteur h. A quelle hauteur z, doit-on percer un a) le filet d’eau touche le sol le plus loin possible. Calculer cette distance. b) le filet d’eau parcourt la même distance horizontale que verticale. Dossier d’exercices – Mécanique 1 – On perce un orifice rectangulaire de largeur w dans un grand réservoir d’eau. Les côtés supérieur et inférieur de l’orifice se situent à respectivement d1 et d2 du niveau de l’eau. (Voir a) Calculer le débit (flux) initial sortant du réservoir. b) On suppose que d2 = d1 + δ, où δ est très petit. Que devient le débit dans ce cas ? Une conduite d’eau horizontale a un diamètre d1 = 10 cm. A un certain endroit il y a un rétrécissement et le diamètre passe à d2 = 4 cm. La pression d’eau est P1 = 105 Pa et P2 = 8×104 Pa. Quelle est le débit ? Une aile d’avion a une surface de 50 m2 . La vitesse de l’air qui s’écoule est de 90 m/s le long de la face supérieure et de 70 m/s le long de la face inférieure de l’aile. La densité de l’air est 1.16 kg/m3 . Que vaut la force qui agit sur le dessous de l’aile et dirigée vers le haut ? La paroi d’un aquarium mesure 10 m de long pour 2 m de haut. Quelle force faut-il pour la Quelle est la quantité de chaleur nécessaire pour convertir 1 kg de glace à -10C ◦ en vapeur à On plonge 400 grammes de glace à -2◦ dans 1 litre d’eau à 21◦ . Que va-t-on avoir une fois que l’équilibre sera atteint ? Dossier d’exercices – Mécanique 1 – On désire calculer la chaleur spécifique ci d’une matière inconnue. Pour ce on place 75 grammes de cette matière dans un récipient en cuivre de 30 grammes contenant 65 grammes d’eau. Le tout est initialement à 20◦ . On ajoute ensuite 100 grammes d’eau à 80◦ . La température finale d’équilibre est de 49◦ . Combien de moles d’un gaz idéal y a-t-il dans une chambre de 50 m3 à pression atmosphérique et à une température de 300 K ? Une bulle d’air d’un rayon de 2 cm se forme dans un lac à une profondeur de 30 m. La température à cette profondeur est de 7C ◦ . La surface du lac est à une température de 27C ◦ . Quel est le rayon de la bulle lorsqu’elle arrive à la surface en admettant qu’elle soit à l’équilibre thermodynamique tout le long du trajet ? Deux moles d’azote occupe un espace de 20 m3 à une pression de 2 atmosphères. a) Quelle est la température du gaz ? b) Quelle est son énergie interne U sachant que la seule forme d’énergie présente est l’énergie c) Que vaut la vitesse typique d’une des molécules si son poids est de 4.65 × 10−26 kg ? Une tige de cuivre de 50 cm et de 2 cm de rayon a une extrémité plongée dans un mélange d’eau et de glace. L’autre extrémité est plongée dans de l’eau bouillante à 100◦ . Que vaut le transfert de chaleur Soit le cycle de la figure 2. On s’intéresse au trajet ABCA. Le chemin AC est une isotherme Dossier d’exercices – Mécanique 1 – Figure 2 – Exercice 2.6.1 a) Trouver les coordonnées de C ? b) Quel est le travail effectué dans chaque portion du trajet ? c) Quel est la quantité de chaleur absorbée ou rejetée lors du cycle complet ? Soit le cycle de la figure 3. On s’intéresse au trajet ABCA. Le gas a une constante γ = 43 . Un des deux trajets AB ou AC est isothermique. L’autre est adiabatique. Figure 3 – Exercice 2.6.2 a) Trouver lequel des trajets de AB ou de AC est adiabatique. b) Quel est le travail effectué dans chaque portion du trajet ? c) Quel est la quantité de chaleur absorbée ou rejetée lors du cycle complet ? Dossier d’exercices – Mécanique 1 – On fait fondre 1 gramme de glace à 0C ◦ puis on le chauffe jusq’à 50C ◦ . Quel est le gain Trouver le changement d’entropie si 500 grammes d’eau à 80C ◦ sont ajoutés à 300 grammes d’eau à 20C ◦ . Dossier d’exercices – Mécanique 1 – Solutions détaillées des exercices Relativité et transformations de Lorentz Je donne ci-après quelques concepts qu’il faut garder à l’esprit lors de la résolution d’exercices sur les transformations de Lorentz. 1. Postulat 1 : Il n’existe pas de référentiel privilégié. Les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels inertiels. 2. Postulat 2 : La vitesse de la lumière est constante dans le vide. Elle a la même valeur dans chaque référentiel inertiel. 3. Le référentiel propre est le référentiel inertiel dans lequel l’observateur est au repos. 4. La simultanéité est un concept relatif, non absolu. L’ordre des événements peut très bien être inversé dans deux référentiels différents. 5. Les transformations de Lorentz sont une généralisation des transformations de Gallilée. 6. Dans les transformations de Lorentz, le passage aux transformations inverses se fait en posant u = −u, x = x0 et t = t0 . 7. Si une relation entre variables est linéaire, le choix de l’origine n’importe pas. 8. Si les équations de Lorentz n’étaient pas linéaires, il n’y aurait pas d’isotropie ni d’homogénéité de l’espace. 9. La longueur d’un objet est maximale lorsqu’il est mesuré dans le référentiel propre. 10. Le temps mesuré est le plus court lorsqu’il est mesuré par un observateur au repos par rapport à l’horloge (temps propre τ0 ). 11. La non-simultanéité de deux événements par rapport à deux référentiels inertiels est due à la vitesse limitée de l’information (vitesse de la lumière). Si tel n’était pas le cas, la simultanéité serait possible (référentiels galiléens). 12. Toutes les horloges sont synchronisées dans un référentiel inertiel (le début du train arrive en gare en même temps que la queue). Autrement dit dans tout le référentiel les horloges marquent la même heure, quel que soit leur éloignement. Elles sont synchronisées les unes par rapport aux autres. 13. Deux événements sont dits simultanés dans un référentiel inertiel, si il sont enregistrés au même moment à des endroits différents. 14. Lorsque l’on parle d’observateur se trouvant dans un référentiel on fait allusion à un observateur se trouvant partout à la fois dans ce référentiel. Cet observateur est capable de lire l’heure sur ses horloges synchronisées à n’importe quels endroits en même temps. Il est en fait le référentiel lui-même. Dans chaque référentiel la vitesse de la lumière est constante. Cela est assez peu intuitif. Imaginez que vous êtes en train de mesurer la vitesse de la lumière dans votre référentiel. Au même moment, l’un de vos amis, qui voyage à une vitesse proche de celle de la lumière, mesure le même rayon lumineux. Il vous dit qu’il a mesuré une vitesse de 3 × 108 m/s. Vous vous apercevez que vous avez exactement le même résultat ! Cela n’a aucun sens dans notre monde galiléen et vous avez envie de lui demander ce qu’il a fumé le soir avant, car ses résultats sont apparemment faux ! ! Eh bien non, ils sont justes et les vôtres aussi. Voici pourquoi : Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.1 Relativité et transformations de Lorentz Reprenons les transformations galiléennes et laissons la possibilité aux longueurs et au temps d’être différents selon deux référentiels inertiels S et S 0 . Pour ce posons : en plus exigeons que la vitesse de la lumière soit la même dans les deux référentiels autrement On multiplie 1 et 2 : xx0 = γ 2 (xx0 + xvt − x0 vt − v 2 tt0 ) on divise des deux côtés par le monôme tt0 (qui est différents de zéro) = γ 2 (xx0 + xvt − x0 vt − v 2 tt0 ) · 0 ce qui donne après distribution : En substituant les valeurs 3 et 4 dans la dernière égalité : c2 = γ 2 (c2 − v 2 c2 ) En reprenant les équations 1 et 2, on a les transformations de Lorentz pour les distances x En résolvant pour t et t0 on a les transformations de Lorentz pour les temps Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.1 Relativité et transformations de Lorentz Corrigé exercice 2.2.1 S et S 0 sont des référentiels inertiels, c’est-à-dire que les lois de Newton y sont les mêmes. La quantité de mouvement fait intervenir la masse et la vitesse. Si la masse est un invariant newtonien, la vitesse elle ne l’est pas. En tenant compte de la conservation de la quantité de mouvement dans chaque référentiel inertiel avant et après le choc : pS = m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )v p0S 0 = m1 (v1 − ve ) + m2 (v2 − ve ) = (m1 + m2 )v 0 En divisant chaque égalité par (m1 + m2 ) et en réarrangeant un peu on obtient pour v et v 0 = m1 (v1 − ve ) + m2 (v2 − ve ) = (m1 + m2 )(v − ve ) = m1 v1 + m2 v2 − ve (m1 + m2 ) = (m1 + m2 )v − ve (m1 + m2 ) En ajoutant ve (m1 + m2 ) à chaque membre p0S 0 + ve (m1 + m2 ) = m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )v = pS La quantité de mouvement n’est pas un invariant newtonien, elle diffère d’un référentiel à l’autre, mais est conservée à l’intérieur de chacun des référentiels inertiels. Corrigé exercice 2.2.2 On pose β = uc = a) Il y a deux qui sont les deux mesures des extrémités de la barre par l’observateur de S. La mesure des extrémités x1 et x2 donne les relations suivantes : (Voir figure 4) En passant aux intervalles : (x2 − x1 ) − u(t2 − t1 ) L’intervalle (t2 − t1 ) est nul car l’observateur de S mesure les extrémités de la barre au même moment. La valeur de (x02 − x01 ) est la longueur de la barre dans S 0 c’est à dire (10 − 2) = 8. En résolvant pour (x2 − x1 ) qui est la longueur mesurée dans S, on a (x2 − x1 ) = (x2 − x1 ) · 1 − β −→ (x2 − x1 ) = 8 · 1 − = 4 m Dans S la barre est plus petite de moitié car elle est en mouvement par rapport à ce Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.1 Relativité et transformations de Lorentz Figure 4 – Exercice 2.2.2 b) Les événements sont les mêmes, mais l’observateur de S mesure les extrémités avec un intervalle de 10 ns. Durant ce laps de temps la barre se déplace vers la droite, elle apparaîtra donc encore plus courte. La valeur de (t2 − t1 ) est de −10 nanosecondes. (x2 − x1 ) = (x02 − x01 ) · 1 − β 2 + u(t2 − t1 ) · c · (−10 × 10−9 ) c) Dans le cas d’une transformation galiléenne la longueur ne changera pas pour a). La transformation se ramène à (x02 − x01 ) = (x2 − x1 ) − u(t2 − t1 ) comme (t2 − t1 ) = 0 alors (x2 − x1 ) = (x02 − x01 ) = 8 Pour le point b) la barre se dirige également durant 10 ns vers la droite, mais la contraction de la longueur est nulle dans ce cas (la vitesse de transmission de l’information est infinie dans une transformation galiléenne). (x2 − x1 ) = (x02 − x01 ) + u(t2 − t1 ) · 3 × 10 · 10 × 10 L’erreur relative en ne tenant pas compte de l’effet relativiste est de 5.4−1.4 Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.1 Relativité et transformations de Lorentz Corrigé exercice 2.2.3 La montre fait un tour en 1 seconde et est immobile dans S 0 . Les mesures effectuées par l’opérateur dans S correspondent à un intervalle d’un tour d’horloge : Figure 5 – Exercice 2.2.3 En cherchant ∆t = t2 − t1 et en oubliant pas que l’horloge est immobile dans son référentiel (t01 + 1 − t01 ) + 0 Le temps mesuré par l’observateur dans S est plus lent, pour lui l’horloge fait un tour en deux secondes. C’est la dilatation du temps. Corrigé exercice 2.2.5 a) Il faut raisonner en termes d’événements. Les coordonnées des événements A et B dans le référentiel Terre-soleil sont A = (0, 0) et B = (2, 8.3). On a donc ∆t = 2 et ∆x = 8.3. On demande pour quelle vitesse l’observateur se déplaçant dans la direction Terre-soleil aura-t-il la certitude que les événements A et B sont simultanés. La simultanéité des événements pour cet observateur nous impose ∆t0 = 0. On applique la transformation de La vitesse de l’observateur devra être 0.241c. Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.1 Relativité et transformations de Lorentz b) Dans le vaisseau ∆x0 vaut zéro et la différence de temps qui nous est donnée vaut ∆t0 = 5. Il est important de comprendre que la valeur de ∆x0 est zéro, car l’observateur, dans le vaisseau, est immobile dans son référentiel. On commence par chercher ∆t, c’est à dire le temps que met le vaisseau spatial, pour un observateur dans le système Terre-soleil, pour parcourir la distance. c’est l’équation de la dilatation du temps. Connaissant la valeur de ∆x dans le référentiel Terre-soleil on peut calculer la vitesse en résovant l’équation suivante La vitesse du vaisseau est de v = 3.0·10 c) Dans le référentiel Terre-soleil le temps de voyage est de d) Le carré de l’intervalle espace-temps est donné par : ∆s2 = (c∆t)2 − (∆x)2 = ∆s02 = (c∆t0 )2 − (∆x0 )2 Dans le référentiel du vaisseau : ∆s02 = (c∆t0 )2 − (∆x0 )2 = c2 · 52 − 0 = 1 · 25 = 25( minutes-lumière)2 Dans le référentiel Terre-soleil : ∆s2 = (c∆t)2 − (∆x)2 = c2 · 9.72 − 8.32 = 25( minutes-lumière)2 Les valeurs sont identiques, l’intervalle espace-temps est un invariant pour les transformations Corrigé exercice 2.2.6 On commence par chercher le temps de vie du muon dans le référentiel terrestre, on peut raisonner à l’aide de la figure 6. On connait le temps de vie propre du muon au repos (∆t0 = τ0 = 2 × 10−6 sec, ∆x0 = 0). = 1.416 × 10−5 sec Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.1 Relativité et transformations de Lorentz Figure 6 – Exercice 2.2.6 Dans le référentiel du laboratoire, le muon a une durée de vie à peu près 7 fois supérieure à celle qu’il possède dans son propre référentiel. Cette durée de vie lui permettra de parcourir une dlab = v · ∆t0 = 2.97 × 108 · 1.416 × 10−5 = 40 205 m dans l’atmosphère. Le muon, dans son référentiel, parcourera durant sa vie propre τ0 la distance de dmuon = v · τ0 = 2.97 × 108 · 2 × 10−6 = 594 m Cette dernière distance peut être considérée comme la contraction de dlab vue par le muon voyagant à la vitesse de 0.99c. Corrigé exercice 2.2.7 a) Il s’agit ici de bien comprendre ce que veut dire voir les signaux provenir du même endroit. Lorsque l’observateur dans S 0 voyage il ne se déplace pas par rapport à son propre référentiel. En passant au-dessus de la position x = 1210 m il voit l’éclair rouge. Un peu plus tard en passant au-dessus du point x = 430 m, il voit l’éclair bleu. C’est donc du même point x0 que l’observateur voit les deux signaux (juste « en-dessous » de lui). D’après le dessin 7 : (xR − xB ) − v(tR − tB ) 730 − v(−4.96 × 10−6 ) Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.1 Relativité et transformations de Lorentz Figure 7 – Exercice 2.2.7 b) L’intervalle de temps entre les signaux est donné par 4.96 × 10−6 − −1.47×10 Il s’écoule 4.32µs entre les deux événements pour S 0 . L’ordre d’apparition ne change pas. Corrigé exercice 2.2.8 Il s’agit de bien comprendre que la mesure des vitesses est faite depuis un troisième référentiel, en l’occurence la Terre et que l’on nous demande la vitesse d’une fusée par rapport à l’autre. Considérons la fusée qui vient de gauche comme le référentiel S, la Terre est le référentiel S 0 qui s’approche à u = − 12 c. L’autre fusée se déplace par rapport à S 0 à une vitesse de v = − 21 c. On est donc en mesure d’appliquer la formule d’addition des vitesses : Si je me trouve dans la fusée de gauche, je verrai la Terre s’approcher à une vitesse de − 12 c dans mon référentiel. Si le Terre m’avise de faire attention car pour eux la fusée de droite s’approche de moi à une vitesse − 12 c par rapport à eux alors pour moi la vitesse de cette fusée est w = − 45 c Corrigé exercice 2.2.9 Voir figure 8 Les valeurs des dérivées sont : γ 0 (0.5) = 0.7698; γ 0 (0.8) = 3.7037; Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.2 Quadrivecteur énergie-impulsion Figure 8 – Exercice 2.2.9 Corrigé exercice 2.2.10 Posons c = 100 km/h. Supposons que la voiture dépassée a une longueur au repos de L0 . La vitesse de la voiture dépassée vaut 0.5c. Pour le radar, la longueur de cette voiture, en utilisant la contraction de Lorentz, sera de La voiture√qui dépasse a une longueur au repos de 2 · L0 . Sa longueur à la vitesse demandée sera égale à L0 1 − 0.52 donc L0 · 1 − 0.52 = 2 · L0 · 1 − v 2 En résolvant pour v on obtient v = 4 c. Dans l’univers de l’exercice cela correspond à la vitesse Quadrivecteur énergie-impulsion En mécanique relativiste, l’énergie et l’impulsion (quantité de mouvement) sont des grandeurs conservées avant et après un choc. On appelle temps propre le temps mesuré par un observateur dans son référentiel. La relation le temps temps propre et le temps mesuré par une autre personne dans un autre référentiel est : La définition de la vitesse est la même en relativité qu’en mécanique newtonienne à la différence près que le temps fait à présent partie des variables qui se transforment au même titre que les longueurs. Il faut donc corriger ceci en calculant la vitesse par rapport au temps propre. On définit le vecteur vitesse relativiste ainsi : En multipliant ce vecteur par la masse au repos on obtient le quadrivecteur impulsion-énergie P = (γm0 c, γm0 v) = (p0 , p) Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.2 Quadrivecteur énergie-impulsion Le vecteur p est la quantité de mouvement. Si on développe la quantité c · p0 en série de Taylor : E = c · p = m0 · c 1 − 2 = m0 c2 + m0 v 2 + … alors c · p0 a les grandeur d’une énergie et le quadrivecteur peut s’écrire : , mvx , mvy , mvz = (γm0 c, γm0 v) =  q Chaque quadrivecteur possèdent une grandeur invariante dans une transformation de Lorentz, P · P = (p0 )2 − p2 Développons ce produit scalaire pour les composantes p0 et p1 du quadrivecteur P : P · P = (p0 )2 − (p1 )2 =  q m20 c2 (c2 − v 2 ) ou encore, en multipliant par c2 : E 2 = c2 p2 + m20 c4 Le quadrivecteur d’un photon est : L’invariant de transformation est K · K = ωc2 − k 2 = 0, car le photon n’a pas de masse. Remarque importante : On ne s’intéresse jamais à la masse d’un corps qui n’est pas au repos. La seule masse qui importe est celle que l’on peut mesurer dans le référentiel, de la masse en question. Il faut se rappeler que l’invariant de la transformation de Lorentz pour le quadrivecteur impulsion-énergie est m20 c2 et que la vitesse de la particule n’apparaît pas dans cette grandeur très importante. L’énergie et la quantité de mouvement sont des grandeurs qui « s’échangent » selon le référentiel où on les regarde, mais la différence de leurs carrés (dans un référentiel où c = 1) est un invariant de Lorentz qui est le carré de la masse au repos. Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.2 Quadrivecteur énergie-impulsion Corrigé exercice 2.2.11 La quantité de mouvement relativiste est donnée par En utilisant les indices i et f pour « initial » et « final » et vf = 2vi , on a : La dernière égalité devient : d’où vi = √15 c. Corrigé exercice 2.2.12 Avant la collision on est en présence de deux quadrivecteurs, celui du photon K et celui de la particule au repos Pr . Après la collision il n’y plus qu’un seul quadrivecteur Pf . L’équation vectorielle de la collision est : Pour simplifier on suppose que la collision se fait le long d’une ligne droite et est donc de dimension un. Les vecteurs sont Pf = γm00 c; γm00 v Les vecteurs (K + Pr ) et Pf ont forcément les mêmes invariants de transformation autrement dit, dans le référentiel de la particule finale, on peut écrire les égalités : (K + Pr ) · (K + Pr ) = (Pf · Pf ) + m0 c − k 2 = m02 + 2ωm0 + m20 c2 − k 2 = m02 − k 2 + 2ωm0 + m20 c2 = m02 0 + 2ωm0 + m20 c2 = m02 On peut donc voir que la masse de la particule est plus grande après le choc. Le photon n’avait aucune masse mais il possédait de l’énergie qui s’est transformée en masse. Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.2 Quadrivecteur énergie-impulsion Corrigé exercice 2.2.13 Nous avons les grandeurs vectorielles suivantes : P1 = (γm0 c; γm0 v); La collision selon l’axe x est : On s’intéresse à la masse au repos de Pf que l’on notera M0 . Dans n’importe quel référentiel, on sait que Pf · Pf = M02 c2 est un invariant donc : (P1 + P2 ) · (P1 · P2 ) = P12 + 2(P1 · P2 ) + P22 = Pf · Pf = M02 c2 P1 · P2 = γm20 c2 − 0 M02 c2 = 2m20 c2 + 2γm20 c2 Corrigé exercice 2.2.14 En mécanique classique nous utiliserions la conservation de la quantité de mouvement de la manière suivante : pavant = mv + 0 = (m + m)V = paprès Dans le cas qui nous intéresse on peut déduire les quadrivecteurs suivants : P1 = (γm0 c; γm0 v); donc le quadrivecteur résultant après la collision est P 0 = (P1 + P2 ) = (m0 (1 + γ)c; γm0 v) = (p0 ; p1 ). Dans le référentiel que l’on recherche le quadrivecteur résultant aura la forme Ec ; 0 = (p00 ; 0). On va ici appliquer la transformations de Lorentz pour les quadrivecteurs, γm0 v − Vc · m0 (1 + γ)c La résolution pour V est simple, Si v ≪ c alors γ → 1 et on retrouve le résultat de la mécanique classique V = v 12 = v2 . Notre généralisation est correcte. Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.2 Quadrivecteur énergie-impulsion Corrigé exercice 2.2.14 On considère l’électrons et le positron comme deux particules identiques du point de vue de leurs masses et de leurs vitesses après leur création. L’équation vectorielle de la situation serait Le photon a le quadrivecteur K = ωc ; k quantité invariante K = 0. L’électron et le positron ont les quadrivecteurs P− = Ec− ; p− et P+ = Ec+ ; p+ . La conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie implique la relation 0 = K 2 = (P− + P+ )2 = P−2 + 2(P− · P+ ) + P+2 En substituant les valeurs des produits scalaires invariants (p0 )2 − (p1 )2 : Le résultat est en contradiction avec la formule valable pour toutes les particules quelles qu’elles soient qui nous apprend que autrement dit que la quantité de mouvement de n’importe quelles particules ayant une masse, est plus petite que son énergie totale. Corrigé exercice 2.2.16 Dans S le quadrivecteur de la particule est P = (γv m0 c; γv m0 v) La vitesse w de la particule mesurée dans S 0 est Le quadrivecteur P 0 de la particule vue de S 0 est donc P 0 = (γw m0 c; γw m0 w) Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.3 Oscillations, mouvement harmonique Calcul de γw en fonction de u et v : (c2 − uv) − c2 (v − u)2 (c2 − u2 )(c2 − v 2 ) 1 − uc2 · 1 − vc2 Donc dans S 0 , par rapport à u et à v, on mesurera la valeur P = γw m0 c; γw m0 Oscillations, mouvement harmonique Rappels sur les mouvements oscillatoires et leurs solutions Mouvement oscillatoire libre et non amorti C’est un mouvement qui ne subit ni friction ni force extérieure, il se traduit par l’ équation différentielle linéaire homogène du second ordre Les équations 10 et 11 sont identiques Solution : La solution générale est x(t) = A cos ω0 t + B sin ω0 t On parle aussi de solution standard quand x(t) = C cos(ω0 t + φ) Les relations entre A, B et C découlent de la figure (9) et sont Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.4 Rappels sur les mouvements oscillatoires et leurs solutions Figure 9 – Rapports entre A, B et C Energie du système L’énergie mécanique du système est L’énergie cinétique vaut m (−Cω0 sin(ω0 t + φ))2 mω02 C 2 sin2 (ω0 t + φ) L’énergie potentielle vaut : k (C cos(ω0 t + φ))2 kC cos2 (ω0 t + φ) L’énergie totale est obtenue en additionnant l’énergie cinétique et l’énergie potentielle. kC sin (ω0 t + φ) + kC 2 cos2 (ω0 t + φ) kC sin (ω0 t + φ) + cos2 (ω0 t + φ) L’énergie d’un système oscillant non-amorti est fonction du carré de son amplitude et vaut Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.4 Rappels sur les mouvements oscillatoires et leurs solutions Mouvement oscillant amorti C’est un mouvement qui tient compte d’une force de friction, mais qui n’est soumis à aucune force extérieure. Les équations différentielles linéaires homogènes du second ordre qui le décrivent mẍ + bẋ + kx = 0 ẍ + γ ẋ + ω02 x = 0 Il existe 3 cas de figure différents selon les valeurs de γ et ω0 : Si 2 > ω0 on est dans le cas de l’oscillateur sur-amorti, c’est à dire lorsque le la friction est importante et que la réponse du système se traduit par l’absence de tout mouvement oscillatoire. Le système ne revient théorétiquement pas au point d’équilibre lorsque t → ∞. On commence par calculer les deux valeurs α+ et α− suivantes : x(t) = Ae−|α+ |t + Be−|α− |t Les valeurs de A et de B sont obtenues en résolvant le système linéaire, formé après substitution des valeurs initiales dans les équations de la position et de la vitesse : = Ae−|α+ |t0 + Be−|α− |t0 ẋ0 = −A|α+ |e−|α+ |t0 − B|α− |e−|α− |t0 La plupart du temps t0 = 0, donc le système devient : ẍ0 = −A|α+ | − B|α− | Si γ2 < ω02 on est dans le cas de l’oscillateur faiblement amorti dont les oscillations vont aller en s’amenuisant peu à peu. Les solutions de l’équation caractéristique sont complexes. La solution est : x(t) = e− 2 A cos ω 0 t + B sin ω 0 t cos(ω t + φ0 ) avec Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.4 Rappels sur les mouvements oscillatoires et leurs solutions Les relations entre A, B et C découlent de la figure (9) et sont Pour calculer les valeurs A et B on se sert des conditions initiales. ω 0 est la fréquence angulaire du mouvement amorti, elle est différente et toujours plus grande que la fréquence angulaire naturelle ω0 du système non-amorti. III. Valeur critique : Si 2 = ω0 on est dans le cas dit critique. La solution est : x(t) = e− 2 (A + Bt) Mouvement oscillant amorti et entretenu Le mouvement oscillant est soumis à un amortissement en même temps qu’à une force extérieure oscillante. La forme de l’équation différentielle est mẍ + bẋ + kx = F0 cos ωt ẍ + γ ẋ + ω02 x = F0 cos ωt I. Solution si F0 = 0. La solution et la même que précédemment, elles peut se présenter de deux manières : x(t) = e− 2 A cos ω 0 t + B sin ω 0 t L’indice c signifie solution complémentaire. Cette solution sera ajoutée à la solution p