Pendule dans un cadre tournant

Pendule sur cadre tournant Un pendule est formé d’un point matériel P de poids mg et d’un fil sans masse de longueur L. Le pendule est astreint à osciller dans un plan vertical, qui tourne autour d’un axe vertical fixe du plan, à vitesse angulaire ω constante dans un référentiel d’inertie lié au repère Ox1 x 2 x 3 (voir figure). Le pendule est attaché en un point A du plan vertical à une distance R de l’axe de rotation. Pour décrire le système, on se place dans un référentiel tournant lié à un repère (Ay 1 y 2 y 3 ) (voir figure 1) dans lequel on utilise les coordonnées cylindriques ρ, φ, z . Q1. Enumérer les forces qui s’appliquent sur le point matériel P . Q2. Ecrire les équations du mouvement dans le référentiel tournant. Q3. Trouver l’angle au repos du pendule pour une vitesse de rotation ω non nulle. Q4. Trouver pulsation du pendule pour ω non nulle. (Utiliser l’approximation des petits angles). Fig. 1 – Schéma du montage. Série 12 – Ex.3 – 2023/2024 – Hogge Énumérer les forces qui s’appliquent sur le point matériel P . = aa (A) + ω ∧ (ω ∧ AP) + ω̇ ∧ AP + ar (P ) + 2ω ∧ vr (P ) . Cette double égalité établit les relations entre le point matériel P , le référentiel accéléré (cadre tournant, non galiléen) et le référentiel absolu (le laboratoire) qui lui sera considéré comme étant galiléen, même s’il ne l’est pas tout à fait ! 1 Le référentiel absolu est matérialisé par le repère (Ox 1 x 2 x 3 ) et le référentiel relatif par (Ay 1 y 2 y 3 ) Le groupe d’accélérations I de (1) est appelé l’accélération d’entraînement, l’accélération d’entraînement est celle du point P considéré comme immobile dans le référentiel relatif (point coïncidant). Le terme aa (A) est l’accélération de A , l’origine du repère relatif (Ay 1 y 2 y 3 ), par rapport au repère absolu (Ox 1 x 2 x 3 ). ω est le vecteur rotation, identique dans les deux référentiels. L’expression ω ∧ (ω ∧ AP) est l’accélération centripète de P qui est due à la rotation du référentiel relatif dans le référentiel absolu 2 . La grandeur ω̇ ∧ AP est l’accélération d’Euler, elle est due à l’accélération du vecteur rotation ω. Commençons par parler des accélérations. Dans le référentiel absolu, l’accélération de P est donnée par la double égalité suivante. L’accélération II correspond à l’accélération de P dans le référentiel relatif et finalement III est l’accélération de Coriolis. On remarquera que l’accélération de Coriolis dépend de la rotation ω et de la vitesse du point matériel P dans le référentiel relatif. On s’intéresse maintenant à la loi de Newton dans le référentiel accéléré, donc à l’accélération du point P par rapport à (Ay 1 y 2 y 3 ), c.-à-d. à l’expression ar (P ). De (1) on peut déduire l’expression ci-dessous : ar (P ) = aa (P ) − aa (A) − 2ω ∧ vr (P ) − ω ∧ (ω ∧ AP) − ω̇ ∧ AP ou encore, en substituant aa (P ) = − aa (A) − 2ω ∧ vr (P ) − ω ∧ (ω ∧ AP) − ω̇ ∧ AP 1. La surface terrestre n’est pas un référentiel galiléen du fait de la rotation de la Terre, de la rotation de celle-ci autour du soleil, de la rotation du système solaire autour du centre de la galaxie, etc.. 2. Ou du référentiel « absolu » dans le référentiel « relatif ». Le choix des référentiels absolu et relatif est un choix !

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est la loi de Newton dans le référentiel absolu. Détails et calcul des diverses accélérations En multipliant par m et en donnant leurs noms aux forces d’inertie, on obtient la loi de Newton dans le référentiel accéléré. Fext + FT + FC + F c + F E Force d’entrainement de translation : Force d’inertie de Coriolis : Force d’entrainement de translation : FC = −2mω ∧ vr (P ) Fc = −mω ∧ (ω ∧ AP) FE = −m ω̇ ∧ AP Détails et calcul des diverses accélérations Accélération de l’origine du repère relatif dans le ref. absolu qui fait partie du groupe appelé accélération d’entraînement. Le repère relatif tourne autour de l’origine du repère absolu. L’accélération est donc centripète et de direction −y 2 . Ce qui donne : aa (A) = −ω2 R ŷ2 La vitesse angulaire de rotation étant constante, il n’y a pas de composante selon y 3 . On demande de donner les équations du mouvement dans le repère tournant. On choisit donc le repère cylindrique associé au point P . Il faut donc décomposer le vecteur de base ŷ2 dans la base du repère Il s’agit de la grandeur Par inspection du schéma on déduit que ŷ2 = sin φ eρ + cos φ eφ Donc, on peut écrire : aa (A) = −ω2 R ŷ2 = −ω2 R(sin φ eρ + cos φ eφ ) = −ω2 R sin φ eρ − ω2 R cos φ eφ Calcul de l’accélération centripète de P dans A . La projection du vecteur de rotation ω = ωx̂1 dans le repère cylindrique est ω = −ω cos φ eρ + ω sin φ eφ . Donc l’accélération centripète de P dans (Ay 1 y 2 y 3 ) est 3 : ω sin φ ∧ 0  = −Lω2 sin2 φ eρ − Lω2 sin φ cos φ eφ ω ∧ (ω ∧ AP) = ω sin φ ∧ 3. L’accélération de A dans (Ox1 x 2 x 3 ) est dans le terme aa (A).

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ω ∧ (ω ∧ AP) = −Lω2 sin2 φ eρ − Lω2 sin φ cos φ eφ Accélération de P dans le réf. relatif Il s’agit du terme Les contraintes géométriques pour le mouvement du pendule sont En appliquant ces contraintes dans (12), on obtient l’accélération du pendule dans le référentiel relatif : ar (P ) = −L φ̇2 eρ + L φ̈ eφ a = ρ̈ − ρ φ̇2 eρ + (ρ φ̈ + 2ρ̇ φ̇)eφ + z̈ez L’accélération en coordonnées cylindriques est donnée par Calcul de l’accélération de Coriolis La vitesse dans le référentiel relatif, en coordonnées cylindriques, est donnée par l’expression v = ρ̇eρ + ρ φ̇eφ + żez . Avec les contraintes vr (P ) = L φ̇ eφ Les projections dans le repère associé du vecteur de rotation ω est, comme vue plus haut, ω = −ω cos φ eρ + ω sin φ eφ aC = 2ω ∧ vr (P ) = 2 ω sin φ ∧ L φ̇ = −2ωL φ̇ cos φ ez Par conséquent, l’accélération de Coriolis est La décomposition des forces réelles qui sont le poids mg, la force de contrainte N et la tension du fil T P = mg cos φ eρ − mg sin φeφ

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Fext = (−T + mg cos φ)eρ − mg sin φeφ + N ez On forme à présent les équations du mouvement. On utilise une expression dérivée de (3) et légèrement Fext − maa (A) − 2mω ∧ vr (P ) − mω ∧ (ω ∧ AP) Ecrire les équations du mouvement dans le référentiel tournant. Sous forme vectorielle, on a :  mL φ̈  =  −m sin φ  + ω2 R cos φ +   + Lω2 sin φ cos φ − mL φ̇2 = −T + mg cos φ + mω2 R sin φ + mLω2 sin2 φ mL φ̈ = −mg sin φ + mω2 R cos φ + mLω2 sin φ cos φ 0 = N + 2mωL φ̇ cos φ Et finalement, selon chacune des composantes ρ, φ et z , on a les équations du mouvement suivantes : Trouver l’angle au repos du pendule pour une vitesse de rotation ω non nulle. Il suffit de poser φ̇ = 0 dans (23). La grandeur −T + mg cos φ est nulle. Donc : 0 = 0 + mω2 R sin φ + mLω2 sin2 φ Trouver la pulsation du pendule pour ω non nulle. (Utiliser l’approximation des petits angles).

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En posant sin φ = φ et cos φ = 1 dans (24), on obtient : φ̈ = − φ + ω2 φ + La pulsation du mouvement oscillant est pour autant que L > ω2 . Dans le cas contraire, le mouvement n’est plus une oscillation harmonique.

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