Révision mathématiques
Calcul vectoriel I
Enoncé – Calcul vectoriel I
Ayant choisi un étalon de longueur [L], un repère orthonormé (O, e1 , e2 , e3 ) et les points A(7, 4, 1) et B (−2, 5, 3),
Q.1 la norme des vecteurs OA, OB, AB, OA + OB ;
Q.2 les angles AOB et O AB ;
Q.3 la projection orthogonale de AB sur OA ;
Q.4 l’aire du triangle O AB ;
Q.5 les coordonnées du point D défini par OD = OA ∧ AB ;
Q.6 les coordonnées des points A et B relativement au repère (O, e′ 1 , e′ 2 , e′ 3 ) où e′ 1 = e2 , e′ 2 = e1 et e′ 3 = e3 .
Trouver les coordonnées du point D ′ défini par OD′ = OA′ ∧ AB′ ; Est-ce que D ′ coïncide avec D ?
SOLUTION – CALCUL VECTORIEL I
Solution – Calcul vectoriel I
La norme d’un vecteur v est notée ||v|| et a la valeur
1. OA = 4, ||OA|| = OA·OA = 49 + 16 + 1 = 66[L]
2. OB = 5 , ||OB|| = OB·OB = 38[L]
3. AB = OB − OA = 1 , ||AB|| = AB·AB = 86[L]
4. OA + OB = 9, ||OA + OB|| = (OA + OB)·(OA + OB) = 122[L]
Le calcul de la valeur de l’angle α le plus petit entre deux vecteurs a et b est donnée par :
1. L’angle AOB vaut :
2. L’angle O AB vaut :
La projection orthogonale du vecteur a sur le vecteur b est donnée par :
L’aire du triangle O AB est donnée en prenant la moitié de la norme du produit vectoriel AO ∧ AB :
AO ∧ AB = −4 ∧ 1 = 23
dont la moitié de la norme est 24.6 [L]2 .
AccueilSOLUTION – CALCUL VECTORIEL I Le produit vectoriel est anticommutatif donc si AO ∧ AB = 23 alors OD = OA ∧ AB = −23 La matrice de passage 1 est la matrice P ee′ = 1 0 0 La matrice de passage P e′ e est l’inverse de P ee′ . Dans le cas présent la matrice P ee′ est sa propre inverse, on a donc : P ee′ = P e′ e = 1 0 0 Les relations entre les composantes d’un vecteur d’une base à l’autre sont données par : Dans le repère ei on a OA = 4. Le même vecteur dans le repère e′ est donné par : OA′ = P e′ e ·OA =⇒ OA′ = 1 0 0 · 4 = 7 Le vecteur AB quant’à lui devient AB′ = 1 0 0 · 1 = −9 Le produit vectoriel dans la base ei ′ est : OD′ = OA′ ∧ AB′ = 7 × −9 = −7 On ne retrouve pas OD en transformant OD′ dans primée. ̸ P ee′ OD′ = 1 0 0 · −7 = 23 1. J’ai utilisé les notations d’algèbre linéaire utilisée dans le livre Algèbre linéaire de R.Cairoli qui était professeur à l’EPFL. R.Cairoli est malheureusement décédé très jeune en 1992. C’était mon professeur en 1981.
AccueilSi on observe bien, on retrouve −OD pourquoi ? Que s’est-il passé ? On peut très bien considérer une matrice de passage comme une application linéaire. Si on regarde bien, la matrice de passage intervertit les deux premières colonnes, ce qui a pour effet de changer l’orientation de la base primée. La base ei est une base d’orientation indirecte. Comme le produit vectoriel est sensible à l’orientation d’un repère, il est normal d’obtenir ce résultat. Le vecteur résultant d’un produit sclaire est en fait un pseudo-vecteur car il dépend de l’orientation du repère utilisé. [1] Prof. Paolo Ricci Cours de physique avancée, EPFL 2018. [2] Prof. Ch. Gruber Mécanique générale, EPFL 2001. [3] Prof. Georges Meylan Cours de physique pour mathématiciens, EPFL 2007. [4] Prof. J.-Ph. Ansermet Mécanique, EPFL 2014.
AccueilSMA – Calcul vectoriel Mots clés: Opérations fondamentales
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