Référentiels accélérés
Bille dans un cylindre tournant
Une bille de masse m est astreinte à se déplacer sans friction dans un tube dont l’axe est incliné d’un
angle θ fixe par rapport à l’axe vertical. Le tube est en rotation à une vitesse angulaire ω constante
autour de l’axe vertical.
Q1. Quel système de coordonnées est le plus adapté à cette situation ?
Q2. Déterminez les équations de mouvement de la bille libre dans le tube.
Q3. Calculez la position d’équilibre r eq de la bille.
Q4. Le point d’équilibre que vous avez déterminé au point précédent est-il stable ou instable ?
Q5. Considérez maintenant que l’angle θ > 90 deg et la bille est attachée à un ressort, qui lui-même
est attaché au point du tube qui est sur l’axe de rotation. Adaptez les équations de mouvement
Q6. Quelles sont la position radiale, la vitesse et l’ accélération de la bille lorsqu’elle est à équilibre
(sous-entendu : le long du tube) ?
Q7. Supposons que la position de la bille dans le tube est légèrement perturbée par rapport à l’équilibre. Quel sera alors le caractère de son mouvement le long du tube ?
Bille astreinte à se déplacer dans un tube en rotation
Série 09 – Ex.2 – 2023/2024 – Hogge
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Bille astreinte à se déplacer dans un tube en
Quel système de coordonnées est le plus adapté à cette situation ?
Le système de coordonnées le plus indiqué est sans aucun doute le système de coordonnées sphériques,
car le tube matérialise un rayon le long duquel se déplace la bille. L’extrémité du tube peut décrire une
sphère si l’on fait varier les angles φ et θ de manière aléatoire. Le référentiel O123 est le laboratoire et
on place le repère sphérique mobile associé sur la bille P .
Pour la seconde partie, on gardera le même référentiel naturellement, mais également le même repère
sphérique associé. L’angle θ sera simplement plus grand que 90 degrés.
Déterminez les équations de mouvement de la bille libre dans le tube.
Les expressions pour les vitesses et accélérations en coordonnées sphériques sont :
= r¨ − r θ̇ 2 − r φ̇2 sin2 θ er
= r θ̈ + 2r˙θ̇ − r φ̇2 sin θ cos θ eθ
= (r φ̈ sin θ + 2r˙φ̇ sin θ + 2r θ̇ φ̇ cos θ) eφ
Accélérations : aθ
En tenant compte des contraintes géométriques, qui sont :
AccueilBille astreinte à se déplacer dans un tube en rotation ©https://michelsemon.ch = (r¨ − r ω2 sin2 θ) er Accélérations : aθ = −r ω2 sin θ cos θ eθ Les forces agissant sur la bille sont la gravité et la force normale du tube. On néglige les frottements donc la force normale N de réaction du tube sur la bille est perpendiculaire à la paroi du tube. Mais il faut faire attention quant à sa direction. Pour être sûr de ne pas se tromper, on va donner à N une composante selon eθ et une autre selon eφ , que l’on notera respectivement Nθ et Nφ . La projection des forces réelles sur les bases du repère associé sont : FG = mg = −mg cos θ er + mg sin θ eθ N = Nφ eφ + Nθ eθ À présent, comme d’habitude, on applique la seconde loi de Newton dans chacune des directions : m(r¨ − r ω2 sin2 θ) = −mg cos θ −mr ω2 sin θ cos θ = mg sin θ + Nθ 2m r˙ω sin θ = Nφ Ces équations sont les équations du mouvement demandées. Calculez la position d’équilibre r eq de la bille. La contrainte dynamique donnant l’équilibre est : En substituant ces contraintes dans les équations du mouvement (4) on obtient, après simplification : r eq ω2 sin2 θ = g cos θ −mr eq ω2 sin θ cos θ = mg sin θ + Nθ De la première ED, on tire que On peut remarquer que la dernière des ED s’annule donc, que la force normale dans la direction du vecteur de base eφ s’annule. Cette composante de la force normale est opposée à la force de Coriolis. En effet, lorsque la bille se déplace dans le tube, elle change de rayon de giration chaque fois qu’elle monte ou descend. Ceci implique que la paroi du tube devra l’accélérer ou la freiner dans son mouvement selon l’axe eφ lorsqu’elle monte ou qu’elle descend.
AccueilBille astreinte à se déplacer dans un tube en rotation les expressions en (1) deviennent : ©https://michelsemon.ch Intuitivement le point d’équilibre est instable. Si on s’assoit sur la bille (on se met dans le référentiel accéléré de la bille), la force centripète sera ressentie comme une force d’inertie centrifuge. La force centrifuge vaut mω2 R . ω est une constante donc cette force est proportionnelle au rayon de giration. La composante de la force de gravitation agissant sur la bille est une constante (θ = Cte). Si la bille monte un peu dans le tube, la force centrifuge augmentera, mais celle de gravitation restera constante. Il y aura une accélération vers le haut. Si la bille descend un tout petit peu, c’est la force de gravitation qui l’emportera sur la force centrifuge et il y aura une accélération vers le bas. Il s’agit maintenant de démontrer ce phénomène. Pour ce faire on va substituer à la valeur r dans la première des trois ED du point (4) la valeur r = r eq + δr . Autrement dit, on va faire varier r eq un tout petit peu et voir ce qui se passe ! La substitution donne : (r¨eq + δ̈r ) − (r eq + δr )ω2 sin2 θ = −g cos θ La valeur r eq est une constante donc sa dérivée seconde est nulle. On récrit l’expression de la manière δ̈r − δr ω2 sin2 θ − r eq ω2 sin2 θ + g cos θ = 0 La valeur de r eq a été calculée au point (7), donc : δ̈r − δr ω2 sin2 θ − On a obtenu l’équation différentielle ω2 sin2 θ + g cos θ = 0 δ̈r − δr ω2 sin2 θ = 0 δ̈r − δr ω2 sin2 θ = 0. On peut voir assez facilement qu’une solution est δr (t ) = C e ω sin θ·t . En prenant pour condition initiale δ(t = 0) = δ0 , on a la solution δ(t ) = δ0 e ω sin θ·t L’allure du graphe de δ(t ) pour des δ0 positif et négatif est la suivante : Fig. 2 – On voit nettement que la bille s’éloigne du point d’équilibre. On aurait pu le déduire de l’ED sans la résoudre. En effet on peut écrire δ̈r = δr ω2 sin2 θ et ainsi remarquer que pour un déplacement initial positif/négatif, l’accélération sera également positive/négative, ce qui garantit un comportement d’éloignement du point d’équilibre pour tout δ0
AccueilBille astreinte à se déplacer dans un tube en rotation Le point d’équilibre que vous avez déterminé au point précédent est-il stable ou instable ? ©https://michelsemon.ch Considérez maintenant que l’angle θ > 90 deg et la bille est attachée à un ressort, qui lui-même est attaché au point du tube qui est sur l’axe de rotation. Adaptez les équations de mouvement à cette On reprend les mêmes expressions pour les accélérations. On ajoute la force de rappel du ressort comme une composante selon er . Le détail des projections (qui change un peu) est le suivant : FG = mg = mg cos(π − θ) er + mg sin(π − θ) eθ = −mg cos θ er + mg sin θ eθ ©https://michelsemon.ch N = Nφ eφ + Nθ eθ F = −k(r − l ) e Fig. 3 – Diagramme des forces et détails des valeurs pour l’angle θ Les équations du mouvement dans chacune des directions deviennent : m(r¨ − r ω2 sin2 θ) = −mg cos θ − k(r − l 0 ) −mr ω2 sin θ cos θ = mg sin θ + Nθ 2m r˙ω sin θ = Nφ Quelles sont la position radiale, la vitesse et l’ accélération de la bille lorsqu’elle est à équilibre (sous-entendu : le long du tube) ? La bille est à l’équilibre dans le tube. La contrainte dynamique est la même que plus haut, c.-à-d. : Bille astreinte à se déplacer dans un tube en rotation
AccueilEn introduisant cette contrainte dynamique dans (10) on obtient les ED à l’équilibre : −mr eq ω2 sin2 θ = −mg cos θ − k(r eq − l 0 ) −mr eq ω2 sin θ cos θ = mg sin θ + Nθ De la première des équations ci-dessus, −mr eq ω2 sin2 θ = −mg cos θ − k(r eq − l 0 ). On détermine que la position d’équilibre est La vitesse est nulle dans les directions er et eθ et la vitesse de rotation selon eφ peut-être obtenue de vφ = r φ̇ sin θ eφ . En adaptant la notation à la situation d’équilibre, on a : v eqφ = r eq ω sin θ Bille astreinte à se déplacer dans un tube en rotation ©https://michelsemon.ch La bille suit un mouvement circulaire uniforme dont l’accélération est vr dans une direction perpendiculaire à l’axe de rotation et en direction de celui-ci : Supposons que la position de la bille dans le tube est légèrement perturbée par rapport à l’équilibre. Quel sera alors le caractère de son mouvement le long du tube ? Reprenons à nouveau l’équation du mouvement selon er qui a été déduite en (10). et récrivons-la de cette manière : − ω2 sin2 θ r − L’explication pour la dernière étape de la transformation est :
Accueilm(r¨ − r ω2 sin2 θ) = −mg cos θ − k(r − l 0 ) En substituant la valeur de r eq trouvée au point (13), on obtient : − ω sin θ r − r eq = 0 A présent il suffit d’effectuer la substitution : pour obtenir une l’équation d’un mouvement harmonique simple autour du point d’équilibre r eq : − ω sin θ u = 0. − ω2 sin2 θ sera négatif, fini les oscillations ! Pour avoir une oscillation, il Mais attention ! Dès que m La période des oscillations est Bille astreinte à se déplacer dans un tube en rotation ©https://michelsemon.ch le ressort s’allongera indéfiniment vu qu’il s’agit d’un ressort idéal.
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