Mobile avec pendule

Les référentiels accélérés Soit un mobile suspendu au plafond dans la chambre d’un enfant. Le mobile est constitué par un anneau de rayon R tournant à vitesse constante ω au bord duquel pend une petite bille de masse m suspendue à un fil de longueur L. Un mécanisme maintient le pendule qui oscille dans un plan vertical perpendiculaire à la direction du mouvement de la bille. (Voir Fig. 1) Indication : On ne tient compte d’aucun frottement éventuel. Le mobile tourne dans le sens des aiguilles F IG . 1 – (O, x 1 , x 2 ) est le système de coordonnées utilisé dans le réferentiel terrestre (absolu) et (O, y 1 , y 2 ) celui dans le référentiel du train (relatif). Q1. Fixer les référentiels et systèmes de coordonnées nécessaires. Q2. Quel formalisme utiliser ? Décrire la marche à suivre pour former les équations du mouvements. Q3. Ecrire les équations du mouvement dans le référentiel relatif. Q4. Enoncer et expliquer la force normale N au mouvement du pendule. Q5. Déterminer la tension T dans le fil. Que vaut l’angle θ lorsque le pendule est immobile dans son Calculer cet angle pour R >> L en posant : R + L sin θ0 = R 1 + sin θ0 ≈ R Discuter et comparer le résultat avec le problème Pendule dans un train. Réponse à la question 1 Q1. Fixer les référentiels et les systèmes de coordonnées nécessaires. Soit le schéma de la Fig.1. Il faut bien choisir les différents axes afin que le formalisme donné dans le cours puisse être appliqué sans devoir faire de changement dans les expressions « pré-calculées » pour les vitesse et accélérations. Il est cependant plus sûr de recalculer les vitesses et les accélérations dans chaque problème si il y a un doute ! F IG . 2 – (O, x 1 , x 2 , x 3 ) est le référentiel absolu (plafond). (A, y 1 , y 2 , y 3 ) est la matérialisation du référentiel relatif et finalement on utilise un repère sphérique associé au point P . Le diagramme des forces réels est également sur la figure. La force N est la force qui permet au pendule d’osciller dans un plan perpendiculaire au mouvement du point A. Il est nécessaire d’utiliser le point A comme origine du référentiel relatif, car il aurait été très peu pratique d’utiliser un repère associé sphérique si le point A avait été confondu avec le point O. Par exemple, décomposer les forces est difficile si l’on choisit le point O comme origine du référentiel relatif. http://michelsemon.online Réponse à la question 2 [Q2.] Quel formalisme utiliser ? Décrire la marche à suivre trouver les équations du mouvements dans chacune des directions du repère sphérique. Nous allons utiliser le formalisme des référentiels accélérés vu en cours. Soit la loi de Newton donnée dans le référentiel relatif : i − maa (A) − 2mΩ ∧ vr (P ) − mΩ ∧ (Ω ∧ AP) − m Ω̇ ∧ AP Il va falloir projeter chacune des forces sur les vecteurs de bases du repère associé. Ensuite on égalera les résultantes des forces de chaque direction aux accélérations ar , aθ et aφ calculée en coordonnées sphériques. En tenant compte de la constance de la pulsation Ω et en utilisant les noms des différentes forces d’inertie, mar (P ) = mg + N + Fressort + Ftranslation + FCoriolis + Fcentrifuge http://michelsemon.online Réponse à la question 3 [Q3.] Ecrire les équations du mouvement dans le référentiel relatif. Avant de projeter les forces d’inertie et réelles dans le repère sphérique associé, il faut y projeter le vecteur rotation Ω ainsi que le vecteur unité d’aide ρ̂ Ω = Ω cos θ · er − Ω sin θ · eθ ρ̂ = sin θ · er + cos θ · eθ et aussi définir quelques grandeurs de cinématiques relatives en accord avec les contraintes géométriques : vr (P ) = L̇ · er + L θ̇ · eθ = L θ̇ · eθ ar (P ) = L̇ θ̇er + L θ̈eθ + −L θ̇ er = L θ̈eθ + −L θ̇ er Projections des forces réelles dans le repère sphérique : mg = mg cos θ · er − mg sin θeθ FRessort = −kr · er Projection des forces d’inertie : Les projections des forces d’inertie dans le repère sphérique associé sont : Ftranslation = −maa (A) = mΩ2 R · ρ̂ = mΩ2 R (sin θ · er + cos θ · eθ ) FCoriolis = −2mΩ ∧ vr (P ) = −2mL θ̇Ω cos θ · eφ Fcentrifuge = −mΩ ∧ (Ω ∧ rr (P )) = mLΩ2 sin θ · ρ̂ = mLΩ2 sin θ(sin θ · er + cos θ · eθ ) On peut à présent poser les équations du mouvement relatif en identifiant les accélérations, les forces réelles et celles d’inertie selon les trois directions er , eθ et eφ . Cela donne : −mL θ̇ 2 = mg cos θ − T + m(R + L sin θ)Ω2 sin θ mL θ̈ = −mg sin θ + m(R + L sin θ)Ω cos θ 0 = N − 2mL θ̇Ω cos θ http://michelsemon.online Réponse à la question 4 Enoncer et expliquer la force normale N au mouvement du pendule. La force normale N est celle que doit exercer le mécanisme sur le pendule, afin de permettre à ce dernier d’osciller dans un plan vertical. C’est la force de Coriolis. On déduit la force normale de l’équation du mouvement (16), elle vaut : N = 2mL θ̇Ω cos θ On remarque que pour θ = ± π2 celle-ci est nulle. Cela se justifie car le pendule a une vitesse nulle lorsqu’il se trouve aux sommets de sa trajectoire. La force normale est maximum pour θ = 0, c.-à-d. à l’endroit où la vitesse de la masse est maximum. Si θ̇ > 0 et θ > 0 alors la bille se dirige « vers l’extérieur » et elle « remonte ». La vitesse tangentielle par rapport au centre du carousel va en augmentant, il est donc logique que la force N soit positive, vu qu’elle doit accélérer la masse dans le sens du mouvement. http://michelsemon.online Réponse à la question 5 Déterminer la tension T dans le fil. La tension dans le fil s’obtient de l’équation du mouvement (15) T = mg cos θ + mL θ̇ 2 + m(R + L sin θ)Ω2 sin θ Le pendule est immobile lorsque θ̈ et θ̇ sont nuls tous les deux. La réponse est obtenue à l’aide de l’équation (15) en posant θ̈ = 0. g sin θ0 = (R + L sin θ0 )Ω2 cos θ0 La valeur de l’angle θ lorsque le pendule est au repos dans le référentiel relatif est tan θ0 = (R + L sin θ0 ) https://michelsemon.online EXC-014-mobile-avec-pendule.pdf http://michelsemon.online