Le phénomène des marées

Le phénomène des marées Référentiels accélérés, lois de Newton Phénomène des marées Terre-Lune Pour simplifier, on suppose que la Terre et la Lune sont des sphères qui orbitent autour du centre de masse du système Terre-Lune en formant des cercles parfaits. Q1 Expliquez, en deux mots, le phénomène des marées et pourquoi on serait en droit d’attendre une seule marée par jour. Q2 Dans le référentiel absolu des étoiles fixes (héliocentrique), trouver les équations du mouvement des centres de masse de la Terre et de la Lune. Q3 Calculer l’équation du mouvement du centre de masse du système Terre-Lune et sa position. Q4 Calculer la vitesse angulaire (pulsation) du système Terre-Lune. Q5 Choisir les référentiels absolu et relatif, appliquer la formule de l’accélération totale puis écrire la loi de Newton dans le référentiel relatif. Q6 Exprimer la force sur P en fonction de l’angle θ et faire un diagramme des forces aux quatre points cardinaux principaux. Expliquez en deux mots le phénomène des marées et pourquoi on serait en droit d’attendre une seule marée par jour. L’explication du phénomène des marées, en particulier le fait qu’il y ait deux marées par jour, fut l’un des succès de la mécanique newtonienne. Ce phénomène est dû en grande partie à l’action gravifique de la Lune, plus précisément à la non-uniformité, à la surface de la Terre, du champ de gravitation dû à la Lune. Nous allons par conséquent considérer pour commencer le système formé uniquement de la Terre et de la Lune. De plus, pour simplifier, nous supposons que la Terre et la Lune sont de symétrie sphérique. A noter que les marées n’influencent pas seulement l’eau mais également les roches de la planète elle-même. Le fait que la Lune montre toujours la même face à la Terre est dû à l’effet des marées terrestres qui influent sur la Lune de manière très régulière depuis des lustres. Une marée par jour est quelque chose qui paraît assez logique, après tout la Lune ne peut pas être en même temps devant et derrière la Terre en même temps. Pour expliquer les deux marées simultanées et opposées, il faut faire appel aux référentiels accélérés. Cela peut paraître un peu paradoxal de savoir que si l’explication des marées est une victoire pour les lois de Newton, elle fait appel à un référentiel accéléré qui est « interdit » par la première loi. Mais après tout la première loi ne fait que stipuler dans quels cas la deuxième est applicable et la deuxième loi c’est (a = référentiel absolu). Si maintenant on change un peu cette deuxième loi en la récrivant (r = référentiel relatif, Fin = forces d’inertie.) on a remis les pendules à l’heure en remarquant que les forces d’inertie obéissent également à la deuxième En d’autres mots, si l’on tient compte des forces d’inertie qui apparaissent pour un observateur dans un référentiel accéléré, l’utilisation des lois de Newton est tout à fait possible. Il me semble utile de préciser que la troisième loi ne nécessite pas cette distinction entre référentiels, car elle est toujours valide. Dans le référentiel absolu des étoiles fixes, trouver les équations du mouvement des centres de masse de la Terre et de la Lune. On ne considère que les attractions mutuelles de la Terre de masse M et de la Lune de masse m , on ne tient pas compte du Soleil. On peut appliquer la deuxième loi de Newton sur la Terre et sur la Lune. On va supposer que la Terre a comme position xT et la Lune xL dans un repère qu’il faudra encore fixer. Le rayon terrestre sera noté RT et la distance Terre-Lune d ou encore ∥xL − xT ∥.

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La troisième loi de Newton permet d’écrire : FL→T = −FT →L = G M m Les équations du mouvement demandées sont : Calculer l’équation du mouvement du centre de masse du système Terre-Lune et sa position. La définition du centre de masse pour deux ou plusieurs masses est donnée par l’expression : En appliquant le formalisme au système Terre-Lune, on obtient l’expression : Deux dérivées temporelles successives de cette grandeur donnent : En substituants les équations du mouvement 1 dans l’équation 3 on obtient l’équation du mouvement pour le centre de masse du système Terre-Lune : (M + m)ẍG = (FL→T − FL→T ) = 0 Le centre de masse ne subissant aucune force, on va l’utiliser comme origine du référentiel absolu (O, x 1 , x 2 , x 3 ) (référentiel du centre de masse). La position du centre de masse du système est quelque part entre la Terre et la Lune. On va calculer la distance du centre de la Terre (xT ) à ce point xG = 0. On va appeler cette distance r T (voir figure 1). Fig. 1 – Schéma pour le calcul de r T . d est la distance Terre-Lune (−r T M + m(d − r T ))

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La position du centre de masse du système est à une distance r T du centre de la Terre qui vaut environ les 3/4 du rayon terrestre. xG est donc à l’intérieur de la Terre. Calculer la vitesse angulaire (pulsation) du système Terre-Lune. La Terre et la Lune ont des trajectoires circulaires autour du centre de masse du système Terre-Lune. Pour calculer la pulsation ω de cette rotation on applique la deuxième loi de Newton à l’une des deux planètes. On choisit la Terre. D’après la cinématique d’un mouvement circulaire uniforme, on peut −M ω2 r T eρ = −G En substituant à r T la valeur trouvée sous 5 on a : d’où on extrait la valeur cherchée : Choisir les référentiels absolu et relatif, appliquer la formule de l’accélération totale puis écrire la loi de Newton dans le référentiel relatif. On a maintenant tout pour attaquer la partie intéressante du problème. Le référentiel absolu R des étoiles fixes a pour origine le centre de masse du système Terre-Lune. Il est évident que l’on va placer l’origine du référentiel relatif R ′ au centre de la Terre. Le point matériel P de masse m p , sur lequel on va faire les calculs se trouve à la surface de la Terre qui est considérée comme un solide indéformable. On place un repère cylindrique associé dans lequel on va a priori projeter toutes les forces. On commence par faire un dessin, voir figure 2. Fig. 2 – Le référentiel absolu (O, x 1 , x 2 , x 3 ) est celui des étoiles fixes avec pour origine le centre de masse du système Terre-Lune. Le référentiel relatif (A, y 1 , y 2 , y 3 ) est le centre de la Terre. On fixe un repère cylindrique associé au point matériel P . Dans ce problème, on ne tient pas compte de la rotation de la Terre sur elle-même.

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On commence par regarder ce qui se simplifie dans la formule de l’accélération totale en fonction des données du problème. La composition des accélérations donne : aa (P ) = aa (A) + ar (P ) + 2Ω ∧ vr (P ) + Ω ∧ (Ω ∧ AP) + Ω̇ ∧ AP On ne considère pas la rotation de la Terre sur elle-même, donc tous les termes où Ω apparaît s’annulent. Donc on peut récrire : aa (P ) = aa (A) + ar (P ) Le terme aa (A) est l’accélération de A dans R qui vaut (dans le repère (A, y 1 , y 2 , y 3 )), aa (A) = ω2 r T e y 1 Selon y 1 l’équivalence des accélérations donnera : −ω2 r T e y 1 = −G Maintenant on multiplie chaque terme par la masse de P et on pose la loi de Newton pour les référentiels accélérés qui est dans ce cas, m p ar (P ) = m p aa (P ) − m p aa (A) Ce qui peut se récrire : FGravitationnelles − G En détaillant les forces gravitationnelles : Les marées résultent donc d’une combinaison entre deux forces, la force de gravitation de la Lune sur la Terre qui varie entre le point le plus proche et le plus éloigné de la Lune. La deuxième force entrant en jeu est une force d’inertie, en l’occurrence c’est la force centrifuge, constante en chaque point du globe. Elle est due au fait que la Terre « tombe » sur le centre de masse du système Terre-Lune et que si l’on se place dans le référentiel de la Terre (référentiel relatif), cette force apparaît agir « vers l’extérieur » du système. La relation entre les référentiels absolu et relatif est une translation de R ′ par rapport à R . Le fait d’omettre la rotation de la Terre sur elle même est voulue. L’omission montre que le principe fondamental des marées ne dépend théoriquement pas de cette rotation. La rotation de la Terre sur elle-même joue un rôle cependant assez important à cause des frottements entre les masses d’eau et les fonds marins. Pour donner un ordre de grandeur, si la Terre était entièrement recouverte d’eau, sans qu’il y ait de continent, la hauteur des marées serait de l’ordre de quelques dizaines de cm seulement et non de plusieurs mètres comme c’est la cas en réalité à certains endroits du globe. Cette différence est due à des phénomènes de résonnances et de topographie des côtes. Exprimer la force sur P en fonction de l’angle θ et faire un diagramme des forces aux quatre points Il s’agit à présent d’élaguer un peu l’expression très barbare :

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Dans cette expression, seuls les deux derniers termes sont des fonctions de l’angle θ. Le premier terme est la composante radiale qui est la force d’attraction de la Terre sur le point matériel P . On peut regrouper les deux derniers termes et noter : FLune + Finertie = G On commence par calculer la norme du vecteur position PL en utilisant le théorème du cosinus. ∥PL∥ = R T2 + d 2 − 2R T d cos θ 2 est négligeable, car elle est d’un ordre de grandeur de −4, donc il reste En appliquant l’approximation binomiale (1 + x)n = (1 + nx) pour des valeurs de x très petites on a : ∥PL∥−3 = d −3 1 + 3 On multiplie par PL = AL − AP pour obtenir : ∥PL∥ PL = 2 1 + 3 cos θ · (AL − AP) En substituant ∥PL∥−3 PL dans 10. FLune + Finertie = G On continue la petite récréation algébrique ! FLune + Finertie = G En reprenant 9 et en récrivant le tout, on a finalement la force subie par le point matériel P dans le référentiel relatif R ′ qui vaut : Afin de simplifier l’équation, on peut poser f L = G d 2 p RdT et f T = G Rp2 . Ce qui donne :

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m p ar (P ) = − f T eρ + f L −eρ + cos θŷ1 = − f T + f L eρ + f L cos θ ŷ1 La force se sépare selon deux directions, une vers le centre de la Terre et l’autre est toujours parallèle à la direction Terre-Lune. Cette dernière est maximum quand P est au plus près de la Lune, minimum quand P est au plus loin et nulle aux pôles. Dans le référentiel relatif, on a le diagramme des forces suivant : Fig. 3 – La force se sépare selon deux di- rections, une vers le centre de la Terre (en rouge) et l’autre est toujours parallèle à la direction Terre-Lune (en vert). Cette dernière est maximum quand P est au plus près de la Lune, minimum quand P est au plus loin et nulle aux pôles. La résultante (en bleu) forme deux maximums de part et d’autre de la Terre, ce sont les deux Remarque. On pourrait également donner le résultat dans le repère associé uniquement en posant ŷ1 = cos θ eρ −sin θeφ , mais en faisant ceci, le résultat est beaucoup moins explicite. Il vaut donc mieux garder la forme « mixte » avec ŷ1 et eρ comme vecteurs directeurs.

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