Pendule sous un chariot

Les référentiels accélérés Un pendule de masse m est suspendu par une tige de longueur L à un chariot de masse M pouvant rouler horizontalement sur des rails. Le chariot est accroché à un ressort horizontal de longueur au repos nulle et de constante k . On ignorera tout frottement. (Voir Fig. 1) Fig. 1 – Ressort, chariot et pendule. Le plan de roulement est horizontal. Q1. Définir le référentiels absolu et le référentiel relatif ainsi que les systèmes de coordonnées nécessaires à la résolution du problème. Q2. Trouver les équations du mouvement. Réponse à la question 1 Q1. Définir les référentiels et les systèmes de coordonnées. On a affaire à une situation où l’on va devoir travailler avec un référentiel accéléré (non galiléen ou encore relatif) et un référentiel fixe (galiléen ou absolu). Le référentiel non galiléen sera le chariot et le référentiel fixe sera le plan roulant et le mur auquel est fixé le resssort. Le référentiel fixe est matérialisé par le système de coordonnées cartésiennes (O, x1 , x 2 , x 3 ) et le référentiel relatif par le système (A, y 1 , y 2 , y 3 ). On peut placer un repère cylindrique associé au point P qui est la position de la masse oscillante. Voir Fig. 3. Fig. 2 – (O, x1 , x2 , x3 ) est le référentiel absolu, (A, y 1 , y 2 , y 3 ) le référentiel relatif et (P, eρ , eφ , ez ) un repère cylindrique associé. Réponse à la question 2 Q2. Trouver les équations du mouvement. Loi de Newton dans le référentiel absolu Dans le référentiel absolu, la seconde loi de Newton se conjugue de la manière suivante : Loi de Newton dans le référentiel relatif Dans le référentiel relatif on applique le formalisme suivant. L’accélération du point P dans le référentiel absolu est donnée par la formule générale : aa (P ) = aa (A) + ar (P ) + 2Ω ∧ vr (P ) + Ω ∧ (Ω ∧ AP) + Ω̇ ∧ AP L’accélération absolue est ici donnée en fonction des accélérations réelles et des accélérations d’inertie. En multipliant le tout par la masse du point matériel et en isolant la force mesurée dans le référentiel relatif à gauche de l’équation, on a mar (P ) = maa (P ) − maa (A) − 2mΩ ∧ vr (P ) − mΩ ∧ (Ω ∧ AP) − m Ω̇ ∧ AP. Dans le référentiel absolu, on a, comme vu plus haut (1) la seconde Loi de Newton sous la forme,

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par conséquent, la seconde loi de Newton dans le référentiel relatif est : i − maa (A) − 2mΩ ∧ vr (P ) − mΩ ∧ (Ω ∧ AP) − m Ω̇ ∧ AP Les contraintes géométriques nous permettent d’éliminer tous les termes contenant le vecteur de rotation instantanée Ω car le chariot ne subit aucune rotation. Certes, le pendule possède un mouvement de rotation mais par rapport au référentiel relatif. Il faut maintenant adapter ce formalisme aux grandeurs propres au problème. On commence, comme toujours, par le diagramme des forces. (Voir Fig. 3). Fig. 3 – On ne tient pas compte de la tension du fil sur la masse m car c’est une force interne au système. Le terme mar (P ) représente l’accélération du point P dans le référentiel relatif, multiplié par la masse de ce point P . Dans le repère associé, cette grandeur vaut : mar (P ) = m φ̈Leφ − φ̇2 Leρ Ce sont les forces dues aux accélérations centripète et tangentielle de la bille par rapport à A . Le terme maa (A) concerne la force colinéaire à l’accélération d’entraînement autrement dit c’est l’accélération du pendule et du chariot dans le référentiel absolu multipliée par la masse des deux objets. C’est une des grandeurs que l’on cherche. On va utilisé le terme ẍ pour l’accélération d’entraînement. maa (A) = (M + m)ẍ x̂1 Il reste à traiter la résultante des forces réelles qui est le terme i = FRessort + N1 + N2 + M g + mg Les composantes verticales des forces réelles s’annulent toutes selon x̂2 . La résultante selon l’axe horizontal En substituant (6), (7) et (9) dans (5) on obtient : m φ̈Leφ − φ̇2 Leρ = −kx x̂1 − (M + m)ẍ x̂1

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Il reste cependant encore à projeter toutes les grandeurs sur l’axe Ox1 . Cela donne : (m φ̈L cos φ − φ̇2 L sin φ)x̂1 = −kx x̂1 − (M + m)ẍ x̂1 En récrivant on a la première équation du mouvement qui est : mL(φ2 sin φ − φ̈ cos φ) − kx En plus de l’accélération du chariot, il faut aussi trouver l’accélération angulaire φ̈ du pendule. Pour le faire, on utilise le théorème du moment cinétique au point A . (Voir Fig. 4). Très logiquement, le théorème du moment cinétique subit les mêmes transformations que le théorème du centre de masse (2e loi de Newton pour les solides indéformables) dans le référentiel relatif, il faudra simplement ajouter les moments dû aux forces d’inertie. Dans le référentiel relatif, on a : = Mext − Minertie . Dans le cas présent il s’agit du moment de force dû à l’accélération d’entrainement (AP ∧ m ẍ). φ̈ · mL 2 = AP ∧ mg + AP ∧ m ẍ + AP ∧ T Fig. 4 – On applique le théorème du mo- ment cinétique en A , en tenant compte de la force d’entraînement. Le moment de force avec la tension est nulle. En projetant sur le repère (O, x1 , x 2 , x 3 ) (ou (A, y 1 , y 2 , y 3 )) on obtient, selon x̂3 : φ̈mL 2 = −mg L sin φ − m ẍL cos φ De cette expression, on tire la seconde équation du mouvement pour φ̈, qui est : g sin φ − ẍ cos φ Les équations du mouvement sont : mL(φ2 sin φ − φ̈ cos φ) − kx φ̈ = − g sin φ − ẍ cos φ

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