Particule dans un champ magnétique

Particule dans un champ électromagnétique Série 02 – Exercice 4 Enoncé – Particule dans un champ électromagnétique Le mouvement d’une particule chargée en présence d’un champ électrique, E, et d’un champ magnétique, B, peut être décrit par l’expression : Où v est la vitesse de la particule et ω est un scalaire proportionnel à la fréquence des oscillations de la Q1. Exprimer v en fonction de ω, B et E. Rappel – Triple produit vectoriel L’identité suivante est l’identité de Lagrange ou encore parfois nommée l’identité BAC-CAB, par souci Cette identité peut être décliné ainsi : A×(B×C) = B(A·C) − C(A·B) Le produit vectoriel étant anticommutatif on a également : (A×B)×C = −C×(A×B) = −A(C·B) + B(A·C) Solution – Particule dans un champ électromagnétique On commence par multiplier vectoriellement par B des deux côtés de (1). ωv×B − (v×B)×B = E×B Le produit vectoriel est anticommutatif donc on peut récrire : ωv×B + B×(v×B) = E×B On s’occupe de l’expression B×(v×B) que l’on développe en utilisant l’équation de Lagrange (BAC-CAB). B×(v×B) = vB 2 − B(B·v). En substituant (5) dans (4) on a : ωv×B + vB 2 − B(B·v) = E×B E×B − vB 2 + B(B·v) A présent on multiplie (1) scalairement par B, cela donne : ωv·B − (v×B)·B = E·B Le produit mixte (v×B)·B est nul donc : En substituant (7) dans (6) et ensuite (6) dans (1), cela donne : En mettant les éléments contenant v à gauche, = (E×B) + 2 B(E·B) + E v(ω2 + B 2 ) = (E×B) + D’où on tire finalement v, qui vaut : ωE×B + B(E·B) + ω2 E [1] Prof. Paolo Ricci Cours de physique avancée, EPFL 2018. [2] Prof. Christian Gruber Mécanique générale, EPFL 2001. [3] Prof. Georges Meylan Cours de physique pour mathématiciens, EPFL 2007. [4] Prof. Jean-Philippe Ansermet Mécanique, EPFL 2013.

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