Point matériel
Héliportage
Un hélicoptère de lutte contre les incendies transporte un réservoir d’eau modélisable par une masse
ponctuelle m = 1 tonne au point M . Ce réservoir est attaché à l’hélicoptère par un câble de masse
négligeable de longueur L incliné d’un angle θ . L’hélicoptère se déplace à l’horizontal (selon ex ). Le
réservoir d’eau a une accélération notée a. Le référentiel R g (O, ex , e y , ez ) est supposé galiléen.
Q1. Donner l’expression de l’accélération a du reservoir d’eau en fonction de x, L, θ et des vecteurs
Q2. On suppose maintenant que l’angle θ0 est constant et que l’accélération de l’hélicoptère est
constante de valeur a 0 > 0. Déterminer l’angle θ0 en fonction de a 0 . Que se passe-t-il quand a0
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Q3. Déterminer la tension du câble en fonction de a0 . Que se passe-t-il quand a 0 augmente ?
Série 07 – Exercices 3 – 2023-24
Comme indiqué sur la Fig. 2, on a affaire avec un problème faisant intervenir un référentiel absolu R a ,
l’observateur sur Terre et un référentiel relatif Rr ayant son origine A placée sur l’hélicoptère. Le repère
polaire associé est logiquement centré sur le point qui nous intéresse en l’occurrence la masse d’eau
En première lecture je me suis étonné que la force de frottement de l’air ait été négligée. Finalement
c’est une bonne chose pour deux raisons. La première est que la force de frottement est proportionnelle
au carré de la vitesse pour des vitesses élevées. L’équation différentielle serait donc très compliquée. La
seconde raison est que s’il y avait une force de frottement, on pourrait croire que c’est uniquement cette
force qui est responsable du recul du point P par rapport à l’hélicoptère. Ce déplacement vers l’arrière
est dû aux forces d’inertie lorsque l’hélicoptère accélère.
Fig. 2 – Schéma rectifié. J’ai rectifié un peu le
schéma et les notations afin qu’ils correspondent
au formalisme utilisé de manière générale. Le référentiel absolu galiléen R g de l’énoncé original
est à présent R a et le référentiel relatif ayant
comme origine l’hélicoptère est le référentiel R r .
Le repère polaire associé a été translaté en P .
Sur le diagramme des forces apparaissent uniquement les forces réels, la force d’inertie n’y
Le formalisme utilisé pour la résolution des problèmes faisant intervenir des référentiels accélérés est :
aa (P ) = aa (A) + ar (P ) + 2Ω ∧ vr (P ) + Ω ∧ (Ω ∧ AP) + Ω̇ ∧ AP 1
Le repère relatif Ay 1 y 2 y 3 est en translation uniforme par rapport au référentiel absolu Ox 1 x 2 x 3 donc le
vecteur de rotation instantanée Ω est nul. L’équation (2) devient :
aa (P ) = aa (A) + ar (P )
maa (P ) = maa (A) + mar (P )
On récrit cette équation en substituant à maa (P ) la somme des forces extérieures
de Newton) et en isolant mar (P ).
La somme des forces réelles est T + mg et l’accélération du point A dans Ox y z est aa (A) = ah ŷ1 , donc :
mar (P ) = T + mg − m ẍ ŷ1
1. Voir https://michelsemon.online/docs/referentiels-acceleres/
AccueilDonner l’expression de l’accélération a du réservoir d’eau en fonction de x, L, θ et des vecteurs de ©https://michelsemon.ch Décomposition des accélérations En utilisant les accélérations en coordonnées polaires, on peut poser En appliquant la contrainte géométrique r = L = const ⇒ r˙ = r¨ = 0, on obtient Projections des forces réelles et d’inertie Pour les forces réelles et d’inertie, on a : T + mg − m ẍ ŷ1 = mg cos θ − T + m ẍ sin θ er + −mg sin θ + m ẍ cos θ eθ En appliquant la seconde loi de Newton dans chacune des directions, on obtient le résultat demandé : θ̈ = − L sin θ + ẍ cos θ On remarque que si l’accélération de l’hélicoptère est nulle, on retrouve l’ED d’un oscillateur harmonique dans la seconde équation de (8), autrement dit l’ED : On suppose maintenant que l’angle θ0 est constant et que l’accélération de l’hélicoptère est constante de valeur a0 > 0. Déterminer l’angle θ0 en fonction de a0 . Que se passe-t-il quand Déterminer la tension du câble en fonction de a0 . Que se passe-t-il quand a 0 augmente ? L’accélération étant constante, on posera ẍ = a 0 dans (8). L’angle étant fixe, on posera également θ = θ0 et θ̇ = θ̈ = 0. Cela donne : 0 = mg cos θ0 − T + ma 0 sin θ0 , 0 = −mg sin θ0 + ma 0 cos θ0 De la deuxième équation on tire que Lorsque l’accélération augmente, l’angle θ0 augmente. Pour le calcul de l’intensité de T, il est plus facile de faire le calcul dans le repère Ay 1 y 2 . Dans ce repère, la somme des forces réelles et d’inertie, à l’équilibre, est naturellement T + mg + ma0 = 0. T − ma 0 ŷ1 + mg ŷ2 = 0
Accueil©https://michelsemon.ch mL θ̈ = −mg sin θ + m ẍ cos θ −mL θ̇ 2 = mg cos θ − T + m ẍ sin θ, −mL θ̇ 2 = mg cos θ − T + m ẍ sin θ, ar (P ) = −L θ̇ 2 er + L θ̈ eθ ar (P ) = (r¨ − r θ̇ 2 )er + (r θ̈ + 2r˙θ̇)eθ d’où l’on peut calculer l’intensité de T qui est : La tension augmente avec l’accélération.
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