Divers sujets de physique
Relativité entre les champ E et B
Relativité entre les champs E et B
Relativité des champs électriques et magnétiques
Les champs magnétique et électrique peuvent être profondément liés selon l’expérience considérée.
Ceci même dans le cas où le champ magnétique est dû à un courant d’intensité constante (champ
magnétostatique) et le champ électrique dû à des charges statiques (champ électrostatique).
Chacun se souvient des cours d’électromagnétisme du gymnase (lycée) durant lesquels on nous a
appris que la force électrique était donnée par
et que la force de Lorentz 1 était elle, donnée par l’expression un peu bizarre:
Qui ne s’est pas demandé au moins une fois, mais la vitesse v par rapport à quel référentiel? Dans
la plupart des cas c’est bien entendu la vitesse par rapport au laboratoire dans lequel le fil est immobile.
Imaginons la situation suivante:
Soit une particule chargée se déplaçant parallèlement à un fil électrique dans lequel passe un courant
I d’intensité constante. Le courant crée un champ magnétique B et donc, d’après l’équation (2) la
particule va ressentir une force due à ce champ. La particule va être attirée ou repoussée dans une
direction à la fois perpendiculaire au champ B et au vecteur vitesse v.
On appellera cette situation la situation dans le référentiel au repos 2 S (voir figure 1).
Dans le référentiel S′ , on va imaginer que l’observateur se déplace avec la charge. La charge ne
bougeant pas pour cet observateur, elle ne peut pas réagir au champ magnétique, car sa vitesse est
nulle dans S′ . Cependant, il est évident que la charge va également être attirée par le fil, c’est le
principe de relativité qui l’exige. Mais au fait existe-t-il un champ magnétique autour d’un fil qui se
déplace? Par quoi la charge est-elle attirée? Un champ électrique sortit du chapeau d’un magicien?
Pourtant un fil électrique est neutre même si un courant le parcourt?
La réponse est que c’est bien un champ électrique qui attire la particule, mais que ce champ
électrique est dû à un effet relativiste et finalement que le magicien s’appelle Einstein.
1Aussi appelée force magnétique ou force d’Ampère.
2 Le terme « au repos » est bien sûr un choix!
RELATIVITÉ DES CHAMPS ÉLECTRIQUES ET MAGNÉTIQUES
Situation dans le référentiel S au repos avec le fil
Figure 1: Illustration de la situation dans le référentiel au repos S : Le fil a une section A. Les électrons
dans le fil se déplacent à la vitesse v− = v0 vers la droite et la particule chargée à une vitesse de v = v0 également
vers la droite. Le courant I se déplace vers la gauche et représente le « déplacement » des protons fixes dans le fil,
v+ = 0. La règle de la main gauche (on a une charge négative) nous donne la force d’intensité F dirigée vers le fil.
La grandeur ρ+ est la densité des charges positives et ρ− celle des électrons de conduction. Le courant I est opposé
au déplacement des électrons, ce n’est pas une erreur, mais un coup de malchance! Benjamin Franklin avait une
chance sur deux! Il s’est trompé.
Figure 2: Illustration de la situation dans le référentiel de la particule S′ : Le fil a une section d’aire A. Le
fil se déplace à une vitesse d’intensité v0 vers la gauche. Les électrons de conductions se déplacent à une vitesse
v′− = v − v0 = 0 dans S′ (on choisit v = v0 ) donc les électrons sont immobiles. Les protons se déplacent vers la
gauche à la vitesse v′+ = −v0 puisqu’ils sont immobiles dans le fil.
Situation dans le référentiel S au repos avec le fil
Pour un observateur immobile dans S, on dira que la vitesse de la charge est v0 et que la vitesse des
électrons de conduction se déplaçant dans le conducteur est v. Le courant est I, ρ− et ρ+ sont les
densités des électrons et respectivement des protons dans le fil. Le fil apparaissant comme neutre, il
faut que ρ+ = ρ− et de ce fait il n’y a aucun champ électrique à l’extérieur de celui-ci. La force de
Lorentz devient alors:
F L = q (E + v ∧ B) = q (v ∧ B)
Dans le reste du paragraphe, on utilise la relation c = √ε10 µ0 pour en exprimer la valeur µ0 = ε 0 c2 en
lieu et place de µ0 , ceci pour mettre l’accent sur l’aspect relativiste des équations que l’on va voir.
Le calcul de B peut être fait en utilisant la loi d’Ampère:
AccueilRELATIVITÉ DES CHAMPS ÉLECTRIQUES ET MAGNÉTIQUES 1.2 Situation dans le référentiel en repos avec la particule L’utilisation de la force de Lorentz donne: A présent on peut poser que le courant est égal à la quantité de protons de conduction3 passant par la section A en une seconde: En substituant cette valeur dans (3) on a la force s’exerçant sur la particule dans le référentiel au Situation dans le référentiel en repos avec la particule Dans le référentiel S′ le fil se déplace à la vitesse −v0 . Les charges positives qui se déplacent avec le fil vont créer un champ magnétique B′ au point où se trouve la particule. La particule étant au repos dans S′ , il n’y a pas de force magnétique agissant sur elle. Il faut cependant trouver une force sur la particule, car elle s’incurve vers le fil. Cette force ne peut être due qu’à un champ électrique. Il faut donc que ce soit le fil en mouvement qui crée ce champ. Mais il ne peut le faire que s’il apparaît chargé. Donc il faut admettre qu’un fil neutre, parcouru par un courant, apparaît chargé quand il est Pour l’explication on va se concentrer sur les densités des charges positives et négatives. Les électrons « fixes » sont à tout moment en parfait équilibre de charge avec les protons des noyaux. Les seuls protons qui sont importants ici sont ceux dont l’électron « équivalent » est un électron de conduction. On rappelle que la charge électrique est un invariant relativiste et, quelle que soit la vitesse d’un électron, sa charge restera et sera mesurée comme une constante. On utilise à présent les transformations de Lorentz. Dans S′ , le fil est en mouvement, il subit donc une contraction de sa longueur pour un observateur immobile (la particule chargée) dans S′ . La longueur « réelle » L sera dans notre cas dans S. Que mesure un observateur à l’arrêt dans S′ lorsqu’il voit passer la grandeur L? On calcule la contraction apparente de cette longueur pour un observateur immobile dans S′ à l’aide de l’équation: d’où on déduit que L′ = γL = L · direction du mouvement. 1 − vc2 . On a bel et bien un raccourcissement du fil dans la 3 Les seuls électrons se déplaçant dans le fil sont les électrons de conduction. Dans le cas du cuivre par exemple, il y en a une moyenne de 1.3 par atome. Les densités auxquels on se réfère sont les densités des électrons de conductions et de leurs équivalent en protons.
AccueilRELATIVITÉ DES CHAMPS ÉLECTRIQUES ET MAGNÉTIQUES 1.2 Situation dans le référentiel en repos avec la particule Maintenant si une longueur diminue alors logiquement, la densité de charge augmente. Supposons de manière générale une longueur L et une densité ρ dans un référentiel au repos puis, L′ et ρ′ les grandeurs correspondantes dans un référentiel en mouvement. La quantité de charges est donnée par Q = AρL . La quantité de charges est un invariant relativiste et la section A ne subit aucune contraction vu qu’elle se déplace perpendiculairement. On a donc: Q = AρL = Aρ′ L′ La densité de charge augmente! On est sur le bon chemin. A la figure (1), la densité des charges positives ρ+ est au repos dans S. Par conséquent sa valeur dans S′ augmente et devient: Les charges négatives sont au repos dans S′ . Elles ont donc leur densité au repos dans ce référentiel. Elles ont la densité ρ− quand le fil est au repos, c’est-à-dire dans le référentiel S où les charges négatives ont une vitesse v0 . Pour les électrons de conduction, nous avons alors ρ′− = ρ− · 1 − 2 la densité de charges totales ρ′ est: ρ′ = ρ′+ + ρ′− = q + ρ− · 1 − 2 . On a vu que le fil apparaît non chargé dans S autrement dit dans S, on a ρ− = −ρ+ d’où: − 1 − vc2 = ρ+ q Cette valeur est positive, on a donc à présent une charge capable de créer un champ électrique, cette charge étant positive, elle va attirer l’électron au repos. Il faut à présent vérifier la symétrie de la situation de manière quantitative. Un fil chargé positivement donne un champ électrique dont l’intensité à une distance r du fil vaut: où λ′ est la densité linéique du fil qui vaut Aρ′+ Le champ électrique créé par le fil est alors: 2πϵ0 r 1 − v2 /c2
AccueilRELATIVITÉ DES CHAMPS ÉLECTRIQUES ET MAGNÉTIQUES 1.2 Situation dans le référentiel en repos avec la particule En multipliant par la charge q de la particule, on obtient la force sur celle-ci dans S′ : Le sens de FS′ est le même que FS (4). Cependant il y a encore une toute petite différence en effet: Il y a ce terme γ = 1 − vc2 qu’il s’agit d’expliquer. Certes à des vitesses du fil de l’ordre que quelques cm/h (qui est également la vitesse de dérive des électrons de conduction dans le fil) ce n’est pas bien grave! Mais bon! Soyons précis et jouons le jeu jusqu’au bout. D’où peut bien venir ce facteur γ. Il s’applique à la force qui attire la particule vers le fil, donc dans une direction perpendiculaire à celle du fil. Étudions ce qui se passe dans chacun des deux Dans S on peut déduire de F = dt que pour ∆t on aura une quantité de mouvement ∆py telle que: En raisonnant de même dans S′ on obtient: ∆p′y = FS′ ∆t′ Mais ∆py = ∆p′y vu que y est perpendiculaire au mouvement et qu’il n’y a donc aucune contraction de longueur dans cette direction. FS ∆t = FS′ ∆t′ Cependant, si les distances se contractent dans la direction du mouvement, le temps lui ne suit pas cette loi (voir horloge relativiste d’Einstein), il se dilate dans toutes les directions. Si l’on prend l’équation de Lorentz, on a (lorsque la particule bouge dans S′ ): FS ∆t = FS′ ∆t′ FS ∆t = FS′ ∆t On a ainsi bouclé la démonstration qui montre que champ électrique et champ magnétique sont deux aspects d’un phénomène unique. E et B sont toujours mélangés. Si nous avions choisi encore un autre système de coordonnées, nous aurions trouvé un mélange différent des champs E et B. La
AccueilRELATIVITÉ DES CHAMPS ÉLECTRIQUES ET MAGNÉTIQUES 1.2 Situation dans le référentiel en repos avec la particule division de cette interaction en partie électrique et magnétique dépend du référentiel choisi pour la description. Mais une description électromagnétique complète est invariante. L’électricité et le magnétisme, considérés, ensemble, sont en accord avec la relativité d’Einstein. [Feynman] Il reste quand même un petit problème concernant la représentation graphique des champs. Le champ électrique pointe radialement vers l’extérieur du fil et le champ magnétique entoure le fil. Ce sont les deux situations extrêmes. Que se passe-t-il lorsqu’il y a un « mélange » des deux champs?
Accueil[Feynman] R. Feynmann : Cours de physique EM1, chap. 17, 196x.
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