Oscillateurs
Le bal des pendules
Mouvements oscillants simples et complexes
Q1 : On considère un pendule simple, de longueur L et de masse m . Ce pendule est soumis à la
force de pesanteur et oscille dans un plan vertical. On néglige les frottements.
a. Déterminez l’ (les) équation(s) du mouvement du système dans le cas de l’approximation
des petits angles. En déduire la pulsation propre de ce pendule en vous basant sur l’ (les)
équation(s) ainsi obtenue(s).
b. A partir de l’ (des) équation(s) du mouvement, déterminez l’ (les) équation(s) horaire(s), si
on lâche le pendule avec une vitesse initiale nulle et un angle initial θ0
Q2 : On plonge ce même pendule dans l’eau. Il en résulte une force de frottement visqueux dont
le coefficient est noté η
a. Déterminez la (les) nouvelle(s) équation(s) du mouvement du système dans le cas de l’approximation des petits angles.
b. Tracez l’évolution de l’angle du pendule en fonction du temps pour les différents types
d’amortissement, en considérant un angle initial nul et une vitesse initiale non nulle.
Q3 : La tour Taipei 101 à Taiwan, d’une hauteur totale de 508 m, était la tour la plus haute du
monde jusqu’en 2010. Taiwan étant une zone particulièrement exposée aux typhons et aux
tremblements de terre, cette tour doit être très résistante aux vibrations. Pour ceci, un amortisseur harmonique a été intégré à la structure de la tour. Cet amortisseur harmonique est un
pendule fait de 660 tonnes d’acier couplé à la tour elle-même (illustration). Les oscillations de
ce pendule sont amorties par des pistons hydrauliques.
Fig. 1 – https://www.youtube.com/
watch?v=qnSh8C40i1s.
On modélise ce système par deux pendules de masse m et de longueur L oscillant dans un
plan vertical et couplés par un ressort, de longueur au repos l 0 et de raideur k . Les pendules
sont soumis à la pesanteur et on néglige les frottements. Les points d’attache fixes des deux
pendules sont séparés par une distance l 0 (voir schéma). Déterminez l’ (les) équation(s) du
mouvement du système dans l’approximation des petits angles, pour la(les)quelle(s) le ressort
Indication : On rappelle que dans l’approximation des petits angles sin θ ≈ θ et cos θ ≈ 1 − θ2
Fig. 2 – Illustration
AccueilOn considère un pendule simple, de longueur L et de masse m . Ce pendule est soumis à la force de pesanteur et oscille dans un plan vertical. On néglige les frottements. a. Déterminez l’ (les) équation(s) du mouvement du système dans le cas de l’approximation des petits angles. En déduire la pulsation propre de ce pendule en vous basant sur l’ (les) équation(s) b. A partir de l’ (des) équation(s) du mouvement, déterminez l’ (les) équation(s) horaire(s), si on lâche le pendule avec une vitesse initiale nulle et un angle initial θ0 . Il existe deux méthodes pour arriver à l’équation du mouvement. Commençons par utiliser le théorème du = Mforces extérieures Fig. 3 – Méthode utilisant le théorème du moment cinétique. Le tenseur d’inertie I et le vecteur de rotation instantanée donné dans le référentiel inertiel Ox y z sont : Seule la force de pesanteur participe à la somme des moments de force étant donné que la force de tension T est colinéaire au vecteur position OM. La somme des moments est par conséquent : L ∧ mg = 0 ∧ −mg sin θ = En appliquant (1) on obtient : mL 2 θ̈ = −mg L sin θ On peut également utiliser la seconde loi de Newton. Vectoriellement, celle-ci s’écrit :
AccueilOn a un repère polaire associé dans lequel les formules pour les accélérations sont connues. En tenant compte des contraintes géométriques du mouvement, on a : Fig. 4 – Diagramme des forces et repère Les projections des forces mg et T sur les vecteurs de bases eθ et er donnent F r = mg cos θ − T. En égalant les accélérations multipliées par m et les forces dans chacune des directions, on obtient : m θ̈L = −mg sin θ Selon er : − mL θ̇ 2 = −mg cos θ − T La première, selon eθ , est l’équation du mouvement recherchée qui la même qu’au point (2), mL θ̈ = −mg sin θ Pour la résoudre, on utilise l’approximation des petits angles, autrement dit on pose sin θ = θ . On obtient : La solution est du type θ(t ) = A cos ωt + ϕ où θ̇ = ω. Les dérivées premières et secondes sont : θ̇ = −Aω sin ωt + ϕ θ̈ = −Aω2 cos ωt + ϕ On voit facilement qu’en substituant la dérivée seconde et la solution θ(t ) dans l’équation du mouvement Les conditions initiales sont : En substituant θ0 dans la solution θ(t ) on a :
AccueilPour v 0 = 0, on a, en substituant dans la dérivée première : De cette substitution on déduit que ϕ = 0 car ni A ni ω ne sont nuls. Ensuite, on déduit de la première substitution que A = θ0 . La solution finale est :
AccueilOn plonge ce même pendule dans l’eau. Il en résulte une force de frottement visqueux dont le coefficient est noté η a. Déterminez la (les) nouvelle(s) équation(s) du mouvement du système dans le cas de l’approximation des petits angles. b. Tracez l’évolution de l’angle du pendule en fonction du temps pour les différents types d’amortissement, en considérant un angle initial nul et une vitesse initiale non nulle. Fig. 5 – Diagramme des forces et repère associé polaire (cylindrique) utilisé. La seconde loi de Newton dans le cas du frottement visqueux devient En utilisant les accélérations et vitesses en coordonnées polaires puis, en projetant les forces sur les vecteurs de base choisis, on obtient : − mL θ̇ 2 = mg cos θ − T mL θ̈ = −mg sin θ − ηL θ̇ L’équation du mouvement est donnée par l’expression selon eθ qui est la direction du mouvement. Cette équation du mouvement est l’équation différentielle : mL θ̈ = −mg sin θ − ηL θ̇ En appliquant l’approximation des petits angles, on a : La résolution de cette ED se fait de la manière suivante, premièrement on fait quelques changements dans les paramètres, en posant θ̈ + 2p θ̇ + ω20 θ = 0
AccueilOn suppose, à juste titre, que la solution sera quelque chose du style θ(t ) = C e r t , avec r ∈ C et C une constante 1 . Les dérivées premières et secondes sont : En substituant dans (10) et en factorisant on obtient : C e r t (r 2 + 2pr + ω20 ) = 0 La parenthèse s’appelle l’équation caractéristique de l’ED. L’exponentielle e r t ne s’annulant jamais, on va chercher les solutions de l’équation caractéristique. En appliquant les formules de Viète, on voit de suite que les deux solutions r 1 et r 2 sont Le comportement de la solution va dépendre de la parenthèse sous la racine. On a 3 cas possibles qui sont Cas i) – Amortissement fort Si le discriminant est plus grand que zéro, les valeurs de r 1 et r 2 sont réelles et la solution est le la forme θ(t ) = C 1 e r 1 t + C 2 e r 2 t On est dans le cas dit d’amortissement fort dont la courbe caractéristique est à la Fig. 6. Fig. 6 – Amortissement fort. Le système n’arrive « jamais » au point d’équilibre, autrement dit le pendule n’est jamais à la Cas ii) – Amortissement critique et la solution est le la forme Si le discriminant est égal à zéro, les valeurs de r 1 et r 2 sont égales θ(t ) = (C 1 + C 2 t )e r t On est dans le cas dit d’amortissement critique dont la courbe caractéristique est à la Fig. 7. 1. Voir cours de résolution d’équations différentielles.
AccueilFig. 7 – Amortissement critique. Le sys- tème arrive au point d’équilibre vertical sans « passer de l’autre côté ». Cas iii) – Amortissement faible Si leqdiscriminant est plus petit que zéro, les valeurs des zéros sont complexes et doubles de la forme −p ± i ω20 − p 2 . Dans ce cas, la solution à la forme θ(t ) = e −pt (C 1 cos ω1 t +C 2 sin ω1 t ) La grandeur ω1 est la pseudo-pulsation, c.-à-d. la pulsation du mouvement amorti. La pseudo-pulsation est plus petite que ω0 qui est la pulsation propre du pendule non amorti. En d’autres termes, le frottement visqueux diminue la pulsation du mouvement. On est dans le cas dit d’amortissement faible dont la courbe caractéristique est à la Fig. 8. Fig. 8 – Amortissement faible. Le sys- tème oscille avec des oscillations de plus
AccueilLa tour Taipei 101 à Taiwan, d’une hauteur totale de 508 m, était la tour la plus haute du monde jusqu’en 2010. Taiwan étant une zone particulièrement exposée aux typhons et aux tremblements de terre, cette tour doit être très résistante aux vibrations. Pour ceci, un amortisseur harmonique a été intégré à la structure de la tour. Cet amortisseur harmonique est un pendule fait de 660 tonnes d’acier couplé à la tour elle-même (illustration). Les oscillations de ce pendule sont amorties par des pistons On modélise ce système par deux pendules de masse m et de longueur L oscillant dans un plan vertical et couplé par un ressort, de longueur au repos l 0 et de raideur k . Les pendules sont soumis à la pesanteur et on néglige les frottements. Les points d’attache fixes des deux pendules sont séparés par une distance l 0 (voir schéma). Déterminez l’ (les) équation(s) du mouvement du système dans l’approximation des petits angles, pour la(les)quelle(s) le ressort reste horizontal. Fig. 9 – Diagramme des forces et re- pères polaires (cylindriques) associés. l 0 est la longueur au repos du ressort de constante k . Fr,1 et Fr,2 sont les forces de rappels, elles ont des intensités égales et des directions opposées (3e loi de Newton). Les masses m sont identiques, mais attention, T1 et T2 ne sont identiques au Comme les longueurs des fils sont égales et que l’on utilise l’approximation des petits angles, on peut supposer que le ressort reste horizontal et que donc, les intensités des forces Fr,1 et Fr,2 sont égales. °Fr,1 ° = °Fr,2 ° = kL sin θ1 + l 0 + kL sin θ2 − l 0 = kL(sin θ1 + sin θ2 ) En appliquant l’approximation des petits angles on a : °Fr,1 ° = °Fr,2 ° ≈ kL(θ1 + θ2 ) La seconde loi de Newton sur les chacune des masses m donne : ma1 = T1 + mg + Fr,1 ma2 = T2 + mg + Fr,2 Les accélérations selon er,1 et er,2 sont respectivement et celles selon eθ2 et eθ2 , respectivement
AccueilL’approximation des petits angles pour le cosinus est cos α = 1 − α2 . On a, en égalisant les accélérations et les forces qui y correspondent, les 4 équations −mL θ̇ 2 = mg 1 − θ1 − T1 − kL (θ1 + θ2 ) θ1 selon er,1 mL θ̈ = −mg θ − kL (θ + θ ) 1 − θ1 −mL θ̇ 2 = mg 1 − θ2 − T2 − kL (θ1 + θ2 ) θ2 selon er,2 mL θ̈ = −mg θ − kL (θ + θ ) 1 − θ2 Les équations du mouvement sont dans les directions eθ1 et eθ2 . θ̈ + θ + (θ + θ2 ) 1 − 1 = 0 θ̈2 + θ2 + (θ1 + θ2 ) 1 −
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