Le camioneur

Un camionneur a oublié de redescendre la benne de son camion. Celle-ci fait un angle α avec l’horizontale. Un paquet de masse m initialement immobile grâce à la force de frottement sec, se trouve en haut de la benne. (on note µs et µd les coefficients de frottement statique et dynamique). Q1. Déterminez l’angle limite α, lorsque le camion est à l’arrêt, pour que le paquet ne glisse pas. Q2. On suppose que l’angle α est inférieur à l’angle limite. Déterminez la norme minimale de l’accélération horizontale ac du camion nécessaire pour que le paquet se mette en mouvement par rapport à la benne (décrochage du paquet). On suppose que le paquet reste toujours en contact avec la benne. Q3. Que devrait être la même accélération pour que la masse « décolle de la benne ». Q1. Déterminez l’angle limite α, lorsque le camion est à l’arrêt, pour que le paquet ne glisse pas. Le camion est à l’arrêt. On se place dans le référentiel du camion et on utilise le repère Ay 1 y 2 . Si on applique la seconde loi de Newton au point matériel P on obtient : Comme aP doit est une grandeur nulle on peut poser, après avoir projeté les forces sur le repère Ay 1 y 2 , les équations suivantes : En posant F f = N µs , on a 0 = mg sin α − F f mg sin α = mg cos αµs . La condition limite de glissement est donnée par l’inéquation mg sin α ≥ mg cos αµs . D’où on tire que l’angle Q2. On suppose que l’angle α est inférieur à l’angle limite. Déterminez la norme minimale de l’accélération horizontale ac du camion nécessaire pour que le paquet se mette en mouvement par rapport à la benne (décrochage du paquet). On suppose que le paquet reste toujours en contact avec la benne. On a affaire à un problème de référentiel accéléré. Le référentiel absolu qui est la route, est matérialisé par le repère Ox 1 x 2 et le repère relatif, le camion, lui est matérialisé par le repère Ay 1 y 2 . Fig. 2 – Diagramme des forces. Ox1 x2 est le repère cartésien dans le référentiel absolu qui est la route et Ay 1 y 2 est le repère dans le référentiel relatif (le camion). Seul le changement de x̂1 = sin αŷ1 + cos αŷ2 sera nécessaire dans ce problème. On applique le formalisme des référentiels accélérés (voir Référentiels accélérés) qui dit que la seconde loi de Newton dans un référentiel accéléré est Dans le cas présent, vu que la masse est à la limite du déplacement (elle a « presque envie de bouger »), on peut L’accélération aa (A) est l’accélération d’entraînement c.-à-d. ac , l’accélération du camion. aa (A) est également appelée accélération d’entraînement et notée ae . On a alors l’équation vectorielle du mouvement : 0 = P + N + F f − mac On travaille dans le repère Ay 1 y 2 et on sait que aa (A) = ac vaut Afin de pouvoir projeter les forces dans le repère Ay 1 y 2 , il faut avant tout transformer ac , soit : ac = −a c x̂1 = −a c (sin α ŷ1 + cos α ŷ2 ). Pour chacune des forces, on a les décompositions selon y 1 et y 2 suivantes : P = mg sin α ŷ1 − mg cos α ŷ2 N = (mg cos α + ma c sin α) ŷ2 F f = −∥N∥µs ŷ1 = −(mg cos α + ma c sin α)µs ŷ1 mac = −ma c (sin α ŷ1 + cos α ŷ2 ).

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La direction qui nous intéresse est ŷ1 . En isolant les composantes dans cette direction, on a : mg sin α − (mg cos α + ma c sin α)µs + ma c cos α = 0. On peut alors extraire la valeur limite de l’intensité de l’accélération ac du camion qui est g µs cos α − sin α [1] Prof. Paolo Ricci Cours de physique avancée, EPFL 2018. [2] Prof. Christian Gruber Mécanique générale, EPFL 2001. [3] Prof. Georges Meylan Cours de physique pour mathématiciens, EPFL 2007. [4] Prof. Jean-Philippe Ansermet Mécanique, EPFL 2013.

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