Deux chariots

Imbroglio de chariots Un petit chariot de masse m peut rouler verticalement sur un grand chariot de masse M comme indiqué sur la figure ci-dessous. Un fil relie les deux chariots. Q1. Calculer l’accélération de chacun des chariots. On néglige les frottements. Fig. 1 – Chariot sur chariot. Calculer l’accélération de chacun des chariots. On néglige les frottements. L’important est de voir qu’il y a deux systèmes. Le petit chariot, que je noterai S p et le grand chariot qui sera noté S g . Dans un premier temps, on traitera chaque système comme étant isolé. Dans un second temps, il faudra trouver quelles grandeurs (contraintes, liaisons), communes aux deux systèmes, pourront être utilisées pour les lier entre eux. On suppose que le fil et les poulies sont de masse négligeable. Ce n’est pas indiqué dans l’énoncé et c’est une erreur. Le fil est inextensible, cela n’est pas indiqué non plus !. Ces indications sont importantes, car si les poulies étaient de masse non nulle, les tensions avant et après chacune d’elles seraient différentes. Si le fil était élastique, l’intensité des tensions oscillerait avec le temps. Diagrammes des forces et équations vectorielles du mouvement On commence toujours par former l’équation du mouvement (deuxième loi de Newton) en écrivant la « version » vectorielle de cette cette seconde loi. Ceci se fait à l’aide d’un diagramme des forces (voir Fig. Fig. 2 – Diagramme des forces pour le système formé par le petit chariot S p . mam = T4 + mg + Rm . De même, l’équation vectorielle pour le grand chariot (Fig. 3) est : M aM = T1 + T2 + T3 + RM + S + M g Fig. 3 – Diagramme des forces pour le système formé par le grand chariot S g .

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Contraintes du mouvement et système de coordonnées On commence par établir la relation entre les intensités des deux accélérations, celle du petit chariot qui est notée a m et celle du grand chariot, notée a M . Pour ce faire on commence par déterminer la longueur du fil. La fonction donnant la longueur du fil est constante dans le temps, donc la dérivée première de cette fonction sera nulle, de même que sa dérivée seconde. D corde (x, y) = (x − L) + H + x + y + 2πr = 2x + y + H − L + 2πr. Fig. 4 – Eléments pour le calcul de la longueur de la corde. Aux longueurs signalées sur la figure il faut ajouter l’équivalent d’un tour de poulie ℓ = 4 · 41 · 2πr = À présent dérivons la fonction donnant la longueur de la corde par rapport au temps (dérivée temporelle) d(D corde ) d(2x + y + H − L + 2πr ) La première dérivée donne et la dérivée seconde En identifiant ÿ à l’intensité de l’accélération du petit chariot am et ẍ à l’intensité de l’accélération du grand chariot, c.-à-d. a M , on peut voir que le rapport entre les intensités est : À présent on utilise la masse négligeable des poulies. L’absence de masse des poulies implique que les tensions de chaque côté de chacune des trois poulies sont égales. 1 ∥T1 ∥ = ∥T2 ∥ = ∥T3 ∥ = ∥T4 ∥ = ∥T∥ Finalement, en appliquant la troisième loi de Newton (action = réaction), on peut écrire la troisième des laisons entre les deux systèmes qui est : ∥Rm ∥ = ∥RM ∥. Il est nécessaire de fixer un référentiel absolu dans lequel on puisse travailler. Le référentiel d’inertie est le référentiel du laboratoire. Afin de pouvoir effectuer des calculs, on doit munir le référentiel d’un repère, cartésien dans ce cas. Le repère choisi est indiqué à la Fig. 5. 1. La preuve est très simple, si ce n’était pas le cas, c.-à-d. si il y avait une différence de tension à un endroit quelconque de la corde de masse nulle, celle-ci, selon la seconde loi de Newton aurait une accélération infinie, ce qui n’est pas le cas.

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Fig. 5 – Repère cartésien commun aux deux systèmes. Ce repère va porter les projections de chacunes des forces agissant sur chacun des systèmes. On aura donc 4 équations, 2 pour chacun des systèmes selon chacune des directions Ox et Projection des forces et résolution L’équation du mouvement pour le système S p est donnée en (1). Les projections de cette équation sur le repère, en tenant compte des contraintes et égalités définies plus haut, sont : m · 2ẍ M = mg − T Pour le système S g on a : L’équation (5) peut également s’écrire m ẍ M = R car l’accélération horizontale des deux chariots est identique. En substituant cette valeur et celle de la tension T de (6) dans (7), on obtient l’accélération du grand chariot dans le référentiel inertiel qui vaut : L’accélération vers le bas du petit chariot est le double de l’accélération horizontal du grand donc elle dans le référentiel lié au grand chariot. Dans le référentiel inertiel, le petit chariot a une accélération vers le bas et une accélération vers la droite. L’acélération résultante est la somme des deux :

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