Avion à commande en U

Avion à commande en U Ce problème concerne un « avion à commande en U », un modèle réduit d’avion qui vole en cercle sous l’effet combiné d’un moteur et de fils de commande. L’avion a une masse m et est relié au « pilote » par un fil de commande très léger de longueur L. Le pilote a réglé la portance des ailes de façon à ce que l’avion vole dans un cercle stable et horizontal, la ligne de contrôle fait un angle θ avec la verticale. Le moteur de l’avion lui permet de se déplacer à une vitesse constante v dans un cercle horizontal. On demande la tension T dans le fil, en fonction des variables du problème. F IG . 1 – Schéma. la force de portance N résulte de l’interaction des ailes avec les molécules d’air. La nature exacte de cette interaction n’est pas importante, mais la force de portance est toujours perpendiculaire à la surface des ailes. Quelques explications sur l’avion à commande en U. Video : https://youtu.be/-MHJJhbCmdA F IG . 2 – Schéma. Le référentiel est la surcace terrestre, symbolisé par le système cartésien (e1 , e2 , e3 ). Le système de coordonnées utilisé est le système local sphérique symbolisé par les vecteurs de base (er , eθ , eφ ) (Fig. 3). F IG . 3 – Référentiel et système de coordonnées utilisés Dans un formulaire, on trouvera les accélérations en coordonnées sphériques pour chacune des directions. ar = r¨ − r θ̇ 2 − r φ̇2 sin2 θ er aθ = r θ̈ + 2r˙θ̇ − r φ̇2 sin θ cos θ eθ aφ = (r φ̈ sin θ + 2r˙φ̇ sin θ + 2r θ̇ φ̇ cos θ)eφ Les contraintes géométriques (L est constante, ω est constante et θ est constant) du système, influencent les variables et leurs dérivées de la façon suivante, r = L =⇒ r˙ = 0 et r¨ = 0 θ = constanteL =⇒ θ̇ = 0 et θ̈ = 0 φ ∈ [0; 2π] =⇒ φ̇ = ω et φ̈ = 0 Les équations 1 à 3 deviennent, ar = −Lω2 sin θer aθ = −Lω sin θ cos θeθ Le diagramme des forces qui agissent sur l’avion est à la Fig. 4 Il faut maintenant projeter ces forces selon les deux directions intéressantes, r et θ et poser 2 fois la seconde loi de Newton, une pour chacune des directions. ma r = m(−Lω2 sin2 θ) = −T − mg cos θ ma θ = m(−Lω sin θ cos θ) = −N + mg sin θ L’avion suit un MCU de rayon r = L sin θ, donc la relation entre la vitesse tangentielle v qui est donnée et la vitesse angulaire ω que l’on a utilisée est, http://michelsemon.online F IG . 4 – Diagramme des forces Il faut trouver la tension T . On va utiliser l’équation 7 et substituer ω par la grandeur que l’on vient de m(−Lω2 sin2 θ) = −T − mg cos θ =⇒ Si θ = π2 , la corde retenant l’avion est horizontale et on a T = mv https://michelsemon.online EXC-005-avion-en-u.pdf http://michelsemon.online