Mécanique 1 – Dossier d’exercices et brochure de solutions

Dossier d’exercices et brochure de solutions 2.2 Grandeurs physiques, analyse dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Vecteurs, rotation dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Bref rappel sur le mouvement circulaire uniforme . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Gravité et énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Centre de masse, quantité de mouvement et chocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3 Solutions détaillées des exercices 3.1 Grandeurs physiques, analyse dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Vecteurs, rotation dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Gravité et énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Centre de masse, quantité de mouvement et chocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dossier d’exercices – Mécanique 1 – Ce dossier d’exercices traite de la mécanique newtonienne. Celle-ci se divise en deux parties qui sont la cinématique et la dynamique. La cinématique est l’étude du mouvement d’un point ou d’un corps, sans s’occuper de ce qui provoque le mouvement. La dynamique se généralise à l’étude des mouvements ainsi que des forces qui les provoquent. Les exercices que vous trouverez dans cette brochure sont inspirés de nombreux livres de physique ainsi que d’exercices reçus par mes élèves en classe. Une connaissance de base du calcul différentiel et intégral est nécessaire pour la plupart des exercices. Je sais que les notions de dérivées et d’intégrations ne sont malheureusement introduites que très tard au gymnase. Je ne vois cependant pas comment faire de la physique sans connaissance de ces outils mathématiques. La plupart des exercices sont résolus de manière littérale, car il me semble que l’aspect mathématique de la physique doit être souligné. Une interprétation qualitative des résultats est beaucoup plus importante qu’une interprétation quantitative. Une fois en possession du résultat sous forme littérale il est très simple de s’inventer des situations concrètes et d’en calculer les résultats. Le contraire n’est pas possible. Les exercices notés d’un astérisque sont pour les élèves d’option maths-physique ou de mathsrenforcées, les exercices notés avec deux astérisques sont des exercices difficiles de niveau de début de premier cycle universitaire. ◦ Le symbole marque la fin d’une démonstration ou un résultat important. ◦ Le symbole −→ signifie que le passage de l’expression de gauche à l’expression de droite est basée sur des règles simples d’algèbre ou de logique. C’est en sorte une implication moins stricte que ⇒, qui elle, sera utilisée pour la locution logique « si … alors … ». Grandeurs physiques, analyse dimensionnelle En unités de mesures SI (mètre, kilogramme, seconde), la force a pour unité le newton. En unité CGS (centimètre, gramme, seconde) l’unité de la force est le dyne. Combien de dynes faut-il pour faire un newton. À l’aide de l’analyse dimensionnelle, prouver que la période d’un pendule simple est indépendante de sa masse. (Indication : Choisir une transformation d’unités adéquate et utiliser le théorème d’homogénéité). Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 2.3 Vecteurs, rotation dans le plan On observe que la vitesse v des vagues au large de l’océan dépend de leur longueur d’onde λ, mais pas de leur amplitude. En admettant que les grandeurs dont dépend v sont λ, l’accélération terrestre g et la masse spécifique de l’eau ρ, établir le résultat suivant : (Indication : Choisir une transformation d’unités adéquate et utiliser le théorème d’homogénéité). Un amas globulaire typique contient 30’000 étoiles à l’intérieur d’une sphère de rayon égal à 5 années-lumière. Estimer la distance moyenne entre deux étoiles en fonction du diamètre du Vecteurs, rotation dans le plan Un train est en mouvement par rapport au sol avec la vitesse vts = 3i + 4j. Un projectile est tiré depuis le train avec une vitesse vpt = 15i − 6j par rapport au train. Quelle est la vitesse du projectile par rapport au sol ? A la figure (1), on observe une rotation θ entre les systèmes de coordonnées cartésiennes S Dans S : A = Axbi + Aybj et dans S 0 : A = A0xbi0 + A0ybj0 . a) Démontrer les relations suivantes entre les coordonnées : Ax = A0x cos θ − A0y sin θ Ay = A0x sin θ + A0y cos θ Ces relations donnent les coordonnées du vecteur A dans S en fonction de ses coordonnées dans le sytème S 0 . b) Chercher les relations inverses. C’est à dire les valeurs de A0x et A0y en fonction de Ax et c) Pour Ax = 1, Ay = 1 et θ = π4 , trouver les coordonnées de A dans le système S 0 . Montrer que la norme du vecteur A est la même dans les deux systèmes de coordonnées. d) Montrer que le produit scalaire de deux vecteurs est un invariant pour une rotation d’angle θ, c’est à dire que : A0 • B0 = A • B = Ax Bx + Ay By = A0x Bx0 + A0y By0 Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 2.4 Mouvements simples Figure 1 – Exercice 2.3.2 Du haut d’une tour de 100 m on lance une pierre en l’air avec une vitesse initiale de 10 m/s. a) la hauteur maximum atteinte par la pierre ainsi que le temps mis pour atteindre cette b) Au bout de combien de temps la pierre se trouvera-t-elle à une hauteur de 50 m en dessus du sol et quelle sera sa vitesse à cet instant ? Un singe est suspendu à un palmier à une hauteur h du sol. Un vétérinaire, situé à une distance d du pied de l’arbre, le vise au ventre pour l’endormir. Il tire exactement au moment ou le singe lâche prise. Démontrer que si la vitesse initiale de la seringue hypodermique répond Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 2.4 Mouvements simples alors le singe ne peut pas échapper à un petit somme. Une balle A est lâchée du haut d’un immeuble de hauteur H. Au même moment une balle B est lancée verticalement du sol à la rencontre de la première balle A. Au moment de la collision, à la hauteur h, A a une vitesse double de celle de B. Que vaut le rapport H collision ? On suppose que la collision a lieu lorsque la balle B monte. Bref rappel sur le mouvement circulaire uniforme Soit la figure (2) on voit le vecteur position r définit en coordonnées cartésiennes, c’est décomposé selon les directions x et y qui sont le support des vecteurs unitaires bi = bj = 0 . R est la norme de r, donc le rayon du cercle. Figure 2 – Mouvement circulaire uniforme Vecteur position Le vecteur donnant la position du point P à l’instant t est : r = R(cos ωtbi + sin ωtbj) ; |r| = (R cos ωt)2 + (R sin ωt)2 = R Dossier d’exercices – Mécanique 1 – Vecteur vitesse Le vecteur vitesse est la dérivée vectorielle par rapport au temps du vecteur = Rω θ = Rω(− sin ωtbi + cos ωtbj) ; Vecteur accélération Le vecteur accélération est la dérivée vectorielle par rapport au temps r = −Rω 2 (cos ωtbi + sin ωtbj) ; Remarque : On s’appercoit que l’on a tout naturellement créé les vecteurs unitaires r = (cos ωtbi + sin ωtbj) θ = (− sin ωtbi + cos ωtbj) qui sont les vecteurs d’un système de cordonnées en mouvement. L’origine en est le point P à chaque instant t. Ceci signifie que ce système de coordonnées n’est jamais « au repos ». Il est intéressant de remarquer qu’en coordonnées curvilignes polaires, le mouvement circulaire uniforme possède un vecteur position qui se décompose uniquement selon b r, un vecteur vitesse uniquement selon θ et un vecteur accélération uniquement selon −b Calculer l’accélération de la lune lors de sa « chute » sur la Terre. La période orbitale de la Lune est de 28 jours et le rayon moyen de l’orbite, de 380’000 km. Un pilote de jet descend verticalement à une vitesse de 600 km/h. Il supporte une accélération maximale de 5 g. À quelle altitude minimale doit-il amorcer son virage pour effectuer un quart de tour et se retrouver volant parallèlement au sol ? Une personne est sur son vélo et avance au plat à vitesse constante. Lorsque la valve du pneu avant est le plus proche du sol on fixe ce point comme origine. Calculer la position, la vitesse et l’accélération de la valve au moment t, sachant que le rayon de la roue est de R = 25 cm. Quelle est la vitesse maximum de la valve par rapport au sol si la vitesse du vélo est de 10 m/s ? Soit deux masses m1 = 3 kg et m2 = 2 kg posées sur une table. Le coefficient de frottement entre la table et les masses est nul. On applique sur m2 une force horizontale de 10 N. Calculer Dossier d’exercices – Mécanique 1 – l’accélération du système et la force avec laquelle m2 pousse m1 . Soit deux masses m1 = 3 kg et m2 = 2 kg, posées sur une table et attachées par une corde de masse négligeable. Le coefficient de frottement entre la table et les masses est nul. On tire la masse m2 avec une force de 10 N. a) Quelle est l’accélération du système et quelle est la tension dans la corde ? b) On reprend le même situation avec deux masses m1 = 2.9 kg et m2 = 1.9 kg. La corde à cette fois, une masse de 200 gr. Quelle est l’accélération du système et quelle est la différence de tension entre le début et la fin de la corde ? La force centrifuge existe-t-elle ou non ? Une masse m est suspendue à deux fils attachés au plafond (voir figure (3)). Trouver la tension dans chaque fil. Figure 3 – Exercice 2.5.4 Un bloc de masse m est posé sur un bloc de masse M . Ce dernier est relié à un mur par un ressort de constante k (figure (fig-exldn5a)). Entre les deux blocs le coefficient de friction est µ. Les deux blocs sont posés sur une table. Le coefficient de friction entre le bloc M et la table est Dossier d’exercices – Mécanique 1 – Figure 4 – Exercice 2.5.5 a) Jusqu’à quelle distance maximum, peut-on éloigner le système du point de repos x0 , de manière que lorsqu’on les lâche, les deux blocs restent soudés ensembles. b) Même question, mais cette fois avec un coefficient de frottement µ0 non nul, entre le bloc Une masse m est suspendue à un fil de masse nulle au plafond d’un autobus. Le bus démarre et maintient une accélération constante a. Quel angle formera le fil avec la verticale ? Soit deux ressorts de longueur à vide identique et de constantes k1 et k2 . Que vaut résultante kR si l’on monte ces ressorts Un wagonnet de grand huit est au plus haut point à l’intérieur d’un cercle de rayon R à une vitesse double de la vitesse minimum nécessaire pour effectuer le tour sans perdre le contact avec a) Quelle force le rail exerce-t-il sur le wagonnet ? b) Même question si le wagonnet se trouve au point le plus bas du cercle. Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 2.6 Travail et énergie Soit un plan incliné et deux masses M et m comme dessiné à la figure (5). Le coefficient de friction statique est µs . Les masses sont initiallement au repos. On suppose que la masse de m Figure 5 – Exercice 2.5.9 peut varier de manière continue. a) Quelle grandeur doit avoir m pour que le système entier commence à glisser vers le bas ? b) Idem pour que le système commence à glisser vers le haut ? Soit le système de la figure (6). La poulie et la corde sont de masse nulle et les poids sont au repos lorsqu’on les lâche. Figure 6 – Exercice 2.6.1 a) À quelle vitesse la masse de 14 kg touche-t-elle le sol ? Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 2.7 Gravité et énergie mécanique b) Jusqu’à quelle hauteur peut monter le poids de 8 kg si il n’est dérangé ni par la corde ni Soit une force donnée par F (x) = Ax 2 , trouver le travail fournit pour amener un objet de x = 0 à x = 2. Solution Un bloc de masse m glisse le long d’un plan incliné après lui avoir reçu une petite tape pour le faire avancer. L’angle formé par le plan est avec l’horizontale est θ. L’objet part d’une hauteur h. Quelle est la vitesse du bloc lorsqu’il arrive en bas ? Une masse m tombe sur un ressort de constante k, d’une hauteur h. Quelle est la compression maximum du ressort ? Trouver le travail fourni par la force F = x2 y 3bi + x3 y 2bj le long de 3 différents trajets menant du point (0; 0) au point (1; 1). Montrer que cette force est conservative et trouver la fonction potentiel U (x; y) de laquelle la force dérive. Même question qu’à l’exercice 2.6.5 pour la force Quand est-il de la fonction potentielle ? Gravité et énergie mécanique Les deux expressions qui suivent sont correctes. Elles donnent toutes les deux la quantité d’énergie mécanique d’un corps m près de la surface terrestre. Comment les concilier, car il y a Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 2.8 Centre de masse, quantité de mouvement et chocs apparemment contradiction ? (MT est la masse de la Terre, G la constante de gravitation universelle, g l’accélération terrestre, m la masse d’un objet quelconque, h sa distance au sol et RT le rayon terrestre). Calculer la vitesse de libération à la surface de la Terre, c’est-à-dire la vitesse minimum qu’il faut donner à un corps, pour que celui-ci atteigne une vitesse nulle à l’infini. Calculer l’énergie mécanique d’un satellite orbitant autour de la Terre en fonction de son énergie potentielle. Quelle est la période de révolution du système solaire autour du centre de la galaxie ? Pour la galaxie, utiliser une masse ponctuelle équivalente de 4 · 1041 kg et pour le rayon de la galaxie une distance de 3.4 a.l. Une météorite se trouve à 80’000 km de la Terre et sa vitesse est de 2000 m/s. Quelle sera sa vitesse lors de son entrée dans l’atmosphère ? Quel est le rayon de l’orbite géosynchrone ? Centre de masse, quantité de mouvement et chocs Soit les masses m1 = 4 kg, m2 = 3 kg et m3 = 2 kg de coordonnées respectives P1 = (0; 2), P2 = (2; 0) et P3 = (6; 2). Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 2.8 Centre de masse, quantité de mouvement et chocs a) Chercher les coordonnées du centre de gravité du système formé par les 3 masses. b) Faire faire au système une rotation de 60 degrés, de sens direct, centrée à l’origine. Trouver les nouvelles coordonnées des 3 points et du centre de gravité. Un carré de deux mètres de côté a une masse de 4 kg. Le centre du carré a pour coordonnées a) Par des arguments de symétrie, démontrer que le centre de masse du carré est à l’origine. b) On enlève la partie de 1m sur 1m qui se situe dans le quatrième quadrant. Où se trouve le nouveau centre de masse ? c) Même situation qu’en b) mais cette fois on calcule les coordonnées du centre de masse en supposant que le quatrième quadrant possède une masse de -1 kg. d) Soit un disque de rayon R centré à l’origine. À l’intérieur de ce disque on élimine un autre disque de diamètre 2 centré en − 2 ; 0 (voir figure 7). Où se trouve le centre de masse ? Figure 7 – Exercice 2.8.2 Deux étoiles identiques distantes de R et de masse M orbitent autour de leur centre de masse. Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 2.8 Centre de masse, quantité de mouvement et chocs Soit deux personnes P1 et P2 , de masses respectives m1 et m2 , placées aux deux extrémités d’une planche de longueur L qui est posée sur une patinoire. Entre la planche et la patinoire, la friction est inexistante. P1 lance une boule de pétanque P3 , de masse m3 à son compagnon P3 . La vitesse de la boule est v. a) Quelle est la vitesse V de la planche lorsque la boule de pétanque est en l’air ? b) Quel temps met la boule de pétanque pour atteindre P2 ? c) De quelle distance s’est déplacée la planche durant ce laps de temps ? Trouver le centre de masse d’un cône de rayon R et de hauteur h. Un bloc A de masse m avance sur un rail à air à une vitesse v0 en direction d’un bloc B de masse 2m, à l’arrêt. À la droite du bloc B, il y a un troisième bloc C, de masse m, à l’arrêt également. Sachant que toutes les collisions sont élastiques. Quelles sont les vitesses finales de Une boule de billard fonce, à une vitesse v0bi, vers deux autres boules qui elles, sont à l’arrêt (voir figure (8)). En supposant que l’on est dans le monde parfait des mathématiques et de la physique (pas de frottement et chocs élastiques), trouver la direction et l’intensité de tous les vecteurs vitesses après le choc. Une balle de tennis est posée sur un ballon de basket. Les deux sont lâchées ensemble d’une hauteur de 5 mètres. Jusqu’à quelle hauteur va rebondir la balle de tennis après le contact du système avec le sol. Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 2.9 Dynamique du solide Figure 8 – Exercice 2.8.7 Soit un rectangle de longueur b selon x et de largeur a selon y (voir figure (9)). Calculer le moment d’inertie du rectangle lorsque : Figure 9 – Exercice 2.9.1 a) le rectangle tourne autour de l’axe x (et par symétrie y). b) le rectangle tourne autour de l’axe passant par l’origine et perpendiculaire au plan x, y. Une hélice d’avion a trois pales. Chacune a une longueur L et une masse m. Elles sont placées à 120 degrés relativement l’une à l’autre. On assimile chaque pale à une tige. a) Trouver le moment d’inertie ICM autour du centre de masse. b) Si un moment τ agit sut l’hélice, quel sera le temps nécessaire pour atteindre une vitesse angulaire de ω rad/sec. Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 2.9 Dynamique du solide c) Combien de révolutions complètes l’hélice aura-t-elle effectuées avant d’atteindre la vitesse Un bloc de masse mb = 4.8 kg glisse le long d’un plan incliné à 30 degrés avec une accélération de 1.9 m/s2 . Il est attaché à une poulie de rayon r = 8 cm et de masse mp = 1.7 kg. La hauteur du plan incliné est de 1 m. (Voir figure 2.9.3). Figure 10 – Exercice 2.9.3 a) Trouver la valeur du coefficient de frottement dynamique µk entre le bloc et la surface du b) Quelle est la vitesse du bloc lorsqu’il arrive au bas de la pente ? Faire le problème de deux manières différentes. Un disque 1, de rayon R, de masse M et de vitesse angulaire ω1 = 0 est lâché sur un disque 2, en rotation de masse m de rayon r et de vitesse angulaire ω2 . Trouver la vitesse finale ω12 et faire le bilan énergétique. Le gyroscope de la figure 11 est constitué d’un disque de rayon R monté le long d’un bras de masse négligeable et de longueur `. Il tourne à une vitesse angulaire ω et possède une vitesse angulaire de précession ωp . Quelle est, en fonction de ω, ωp , g et R la longueur ` du bras du Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 2.9 Dynamique du solide Figure 11 – Exercice 2.9.5 Deux billes de masse m sont capables de glisser sur une barre de longueur ` et de masse M (voir figure ). La barre est en rotation autour de son centre à vitesse angulaire ω0 . Au début de l’expérience, les billes se situent sur le centre de rotation. Petit à petit, les billes commencent à se déplacer à vitesse constante vers les extrémités. Figure 12 – Exercice 2.9.6 a) Trouver la vitesse angulaire du système lorsque les billes sont à une distance r du centre. b) Que vaut ω au moment où les billes quittent la tige. Que va-t-il se passer avec la vitesse angulaire lorsque les billes auront quitté la tige ? c) Pourquoi n’a-t-on pas tenu compte de la friction entre les billes et la barre ? Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 2.10 Equilibre et statique Equilibre et statique Si la somme des forces et des moments agissant sur un système sont nuls, celui-ci ne peut pas se déplacer et on parle de statique. Une bobine de fil est tirée comme indiqué à la figure . Si l’on tire la bobine avec un angle de 0 degré, la bobine se déplacera vers la droite. Si l’on tire la bobine avec un angle de 90 degrés celle-ci se déplace vers la gauche. Pour quel angle la bobine restera-t-elle immobile ? On suppose que la bobine roule sur le sol sans glisser. Le rayon extérieur de la bobine est R et le rayon du Figure 13 – Exercice 2.10.1 Soit une boule de masse M et de rayon R suspendue à un fil de manière à ce que le prolongement du fil touche le diamètre horizontal de la sphère à 32 R du mur (voir figure 14). Quelle doit être la valeur minimum du coefficient de frottement entre le mur et la boule de manière à maintenir l’équilibre décrit sur la figure ? Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 2.11 Lois de Képler Figure 14 – Exercice 2.10.2 Une échelle de longueur ` = 6 mètres et de masse m = 15 kg est posée contre un mur. L’échelle forme avec le mur un angle θ = 30 degré. Le coefficient de frottement entre le mur et l’échelle est nul. Le coefficient de frottement entre l’échelle et le sol est de µs = 0.4. Jusqu’à quelle hauteur peut grimper un homme de masse M = 70 kg avant d’avoir quelques Soit une planète de masse M et de rayon R sans mouvement de rotation propre et sans atmosphère. Un satellite est lancé avec une vitesse initiale v0 et avec un angle de 20 degrés par rapport à la verticale locale. Lorsque le satellite est à son apoapse (apogée si la planète était la Terre), elle se trouve à une distance de 5R. Quelle est sa vitesse initiale v0 ? Pourquoi le satellite ne pourrait-il même pas effectuer une révolution dans ce cas de figure ? Dossier d’exercices – Mécanique 1 – Solutions détaillées des exercices Grandeurs physiques, analyse dimensionnelle Corrigé exercice 2.2.1 Notons les grandeurs observables du sytème SI par [M] = masse, [L] = longueur et [T] = temps. Désignons les mêmes observables, mais dans le système CGS par [M]0 , [L]0 et [T]0 . De manière générale, entre deux systèmes de mesures on a les relations : [L]0 = 0 [L] = λ [L] Les valeurs de µ, λ et τ représente la valeur de la nouvelle unité en fonction de l’ancienne. Ce qui, pour le cas qui nous intéresse se traduit par : La seconde loi de Newton nous apprend que la force est donnée par F = m · a, donc En substituant les valeurs obtenues en (6), (7), (8) dans l’équation de droite ci-dessus, on obtient : La relation cherchée est : 1 dyne = 10−5 newton 1 newton = 105 dynes Corrigé exercice 2.2.2 Rappel : Les changements d’unités obéissent au théorème des fonctions Une fonction f de n variables est homogène sur son domaine de définition si : f (α1 · x1 , α2 · x2 , …, αn · xn ) = γ · f (x1 , x2 , …, xn ) Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.1 Grandeurs physiques, analyse dimensionnelle Figure 15 – Exercice 2.2.2 La période T du pendule est, a priori, une fonction des variables apparaissant sur la figure T = T (θ0 , `, m, g) où θ0 est l’angle de départ. θ0 est une grandeur sans unité car c’est le rapport de deux distances. Les grandeurs physique fondamentales de ces variables sont [L] pour la longueur `, [M] pour la masse m, [T] pour le temps (période T du pendule) et [G] = [T] 2 pour le champ de gravité Pour le passage d’un système d’unité à l’autre on peut écrire les relations : (voir exercice (2.2.1) En tenant compte du fait que la valeur (intrinsèque) de la période du pendule T ne dépend pas du système d’unités et en appliquant le théorème des fonctions homogènes, on peut écrire : g) = τ T (θ0 , `, m, g) Il n’y a pas, théorétiquement, de système d’unités privillégié, on peut donc très bien choisir le système d’unités qui nous plait ou celui qui nous arrange. Il est intéressant de choisir un système d’unités suivant, car en le substituant dans (10) on a : T (θ0 , 1, 1, 1) = T (θ0 ) = T (θ0 , `, m, g) −→ T (θ0 , `, m, g) = T = T (θ0 , `0 , m0 , g 0 ) = T (θ0 , λ`, µm, On voit donc que quelle que soit la valeur de m, l’analyse dimensionnelle nous permet d’affirmer que la période du pendule dépend de la longueur de celui-ci, de la gravité, mais pas de la masse. Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.1 Grandeurs physiques, analyse dimensionnelle Corrigé exercice 2.2.3 On suppose être en présence d’une loi de la forme : c’est à dire d’une loi dépendant de la longueur d’onde de la vague, de la gravité et de la masse volumique de l’eau. Les grandeurs physiques associées sont respectivement ` = [L], g = [T] 3 et la vitesse v = [T] . Si on effectue un changement d’unités on observera les relations, entre les unités fondamentales et les relations, entre les unités composées. En substituant et en appliquant le théorème des fonctions homogènes on a : v(`0 , g 0 , ρ0 ) = v(λ`, Il faut à présent choisir les valeurs de λ, τ et µ de manière à ce que les arguments de la fonction prennent tous la valeur 1. On pose, v(`0 , g 0 , ρ0 ) = v( · `, g` · g, m v(1, 1, 1) = q` · v (`, g, ρ) ( K est une constante) On voit donc que la vitesse d’une vague ne dépend pas de la densité de l’eau, mais de sa longueur d’onde. Il est intéressant de remarquer que cette formule justifie la vitesse phénoménale d’un tsunami en haute mer (grande longueur d’onde) et sa vitesse modérée lorsqu’il arrive en vue d’une côte où, sa longueur d’onde diminue. Corrigé exercice 2.2.4 On imagine que l’étoile est le centre d’une sphère de volume égal à 300 000 du volume de l’amas globulaire. Le double du rayon r de chacune des « petites » sphères représente la distance de entre 2 étoiles. R est le rayon de l’amas globulaire et vaut 5 AL (AL = Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.2 Vecteurs, rotation dans le plan En « googlant » un petit peu, on trouve que : 1 · AL = 9.5 · 1015 m diamètre du soleil : 1 · ∅s = 1.4 · 109 m 1 · AL ≈ 6.8 · 106 · ∅s En substituant (13) dans (12) on obtient : · 6.8 · 106 · ∅s ≈ 2.2 · 106 ∅s Chaque étoile est distante de ses voisines d’environ 2’000’000 de diamètres solaires. Vecteurs, rotation dans le plan Corrigé exercice 2.3.1 Les mouvements du train et du projectile peuvent être considérés comme non relativistes donc et appartenant à des référentiels galiléens. Entre deux référentiels galiléens en l’occurrence le sol et le train, on applique la loi d’addition vectorielle. vps = vpt + vts = (3bi + 4bj) + (15bi − 6bj) = (3 + 15)bi + (4 − 6)bj = 18bi − 2bj Corrigé exercice 2.3.2 Il faut bien comprendre, dans cet exercice, que A est un seul et unique vecteur que l’on désire décomposer dans deux systèmes de coordonnées différents. Le vecteur A ne subit aucune rotation. a) En s’aidant de la figure (16) on commence par écrire les composantes des vecteurs unitaires bi0 et bj0 de S 0 en fonction des vecteurs unitaires bi et bj de S : bi0 = bi cos θ + bj sin θ bj0 = −bi sin θ + bj cos θ Le vecteur A est A = A0xbi0 + A0ybj0 dans le système S 0 . En remplaçant les valeurs de bi0 et bj0 par (14) et (15) on obtient : A = A0x (bi cos θ + bj sin θ) + A0y (−bi sin θ + bj cos θ) = (A0 cos θ − A0 sin θ)bi + (A0 sin θ + A0 cos θ)bj Par identification : Ax = A0x cos θ − A0y sin θ Ay = A0x sin θ + A0y cos θ b) On reprend le système précédent. Ax = A0x cos θ − A0y sin θ Ay = A0x sin θ + A0y cos θ Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.2 Vecteurs, rotation dans le plan Figure 16 – Exercice 16 C’est un système de deux équations à deux inconnues (A0x et A0y ) que l’on récrit sous forme matricielle pour simplifier sa résolution. Il faut à présent de calculer l’inverse de la matrice en transposant la matrice des cofacteurs (Cof) multipliée par l’inverse du déterminant. En multipliant l’équation (16) des deux côtés par la matrice inverse, Ax cos θ + Ay sin θ −Ax sin θ + Ay cos θ on obtient le résultat désiré, qui est : A0x = Ax cos θ + Ay sin θ A0y = −Ax sin θ + Ay cos θ Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.3 Mouvements simples Remarque : On peut retrouver la matrice inverse (17) de manière beaucoup plus simple. Il suffit de se rendre compte que l’opération inverse d’une rotation de θ degrés est une rotation de −θ degrés. En remplaçant dans la matrice de l’équation (16) θ par −θ, et en appliquant les propriétés des fonctions paires et impaires cos(−θ) − sin(−θ) sin(−θ) cos(−θ) c) Pour Ax = 1, Ay = 1 et θ = π4 : A0y = −Ax sin θ + Ay cos θ = − A0x = Ax cos θ + Ay sin θ = (A0x ; A0y ) = ( 2; 0) = 2 + 02 = 2 |(Ax ; Ay )| = |(1; 1)| = 12 + 12 = 2 d) Pour un vecteur quelconque B et la même rotation d’angle θ nous avons les relations : Bx = Bx0 cos θ − By0 sin θ By = Bx0 sin θ + By0 cos θ Bx0 = Bx cos θ + By sin θ By0 = −Bx sin θ + By cos θ Le produit scalaire dans le système S 0 vaut : A0x Bx0 + A0y By0 = (Ax cos θ + Ay sin θ)(Bx cos θ + By sin θ) +(−Ax sin θ + Ay cos θ)(−Bx sin θ + By cos θ) = Ax Bx (sin2 θ + cos2 θ) + Ay By (sin2 θ + cos2 θ) La notion d’invariance d’une transformation est très importante, elle permet à deux observateurs situés dans des référentiels (ou des systèmes de coordonnées) différents de se mettre d’accord sur une certaine grandeur ayant la propriété d’invariance. Corrigé exercice 2.4.1 Les deux formules nécessaires pour ce problème sont : y(t) = − gt2 + v0 t + y0 y 0 (t) = v(t) = −gt + v0 Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.3 Mouvements simples où g est la constante de gravitation. Une troisième formule très utile est obtenue en isolant t de (19) et en le substituant dans (18) : v(y)2 = v02 + 2g(y − y0 ) On commence par déterminer les valeurs initiales du problème, dans notre cas, y0 = 100 m et v0 = 10 m/s. L’accélération g est dirigée vers le bas. a) La hauteur maximum est atteinte lorsque la vitesse du projectile est nulle, c’est à dire lorsque la dérivée première de la fonction x(t) s’annule : y 0 (t) = v(t) = −10t + 10 = 0 En substituant t dans (18) on obtient la hauteur maximum : y(t) = −5t2 + 10t + 100 b) Il faut trouver la valeur que prend t dans l’équation (18) lorsque x(t) = 50 : y(t) = −5t2 + 10t + 100 = 50 −→ t1 = 1 + 11 ≈ 4.31 sec et t2 = 1 − 11 On laisse de côté le résultat t2 car il n’a aucun sens réel car l’expérience commence à La vitesse est obtenue en substituant t1 dans (19) : v(t) = −gt + v0 = −10t + 10 −→ v(1 + 11) ≈ −33 Le signe négatif signifie que le projectile se dirige vers le bas. Corrigé exercice 2.4.2 La seringue et la balle sont soumis à la même accéleration g. Au moment de l’impact, le singe et la seringue ont quittés leur point d’origine depuis le même laps de temps donc, sont exactement à la même hauteur. Le singe ne peut pas échapper à la seringue. Cependant, pour que la seringue atteigne le singe il est nécessaire qu’elle arrive à l’arbre avant que le singe ne soit arriver au sol. Mais ceci doit être démontré. Nous avons ici un problème à deux dimensions (voir figure 17). Il faut donc décomposer les mouvements du singe et de la seringue selon les axes x et y. Fixons l’origine à l’endroit ou se trouve le vétérinaire. Il est très important de noter les conditions initiales de tir : i) Le vétérinaire tire au moment même où le singe lâche prise, ii) la tangente de l’angle de tir est tan θ = hd = cos Positions du singe au temps t : (le singe tombe verticalement) Positions de la seringue hypodermique au temps t : X(t) = v0 cos θ · t Y (t) = v0 sin θ · t − gt2 Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.3 Mouvements simples Figure 17 – Exercice 2.4.2 Le temps nécessaire à la seringue pour atteindre l’arbre est : A ce moment les hauteurs du singe et de la seringue sont : Y (T ) = v0 sin θ · T − gT 2 Il faut donc prouver que y(T ) = Y (T ) : L’égalité y(T ) = Y (T ) est vraie ssi la tangente de l’angle de tir est égale à hd , ce qui est la condition initiale de départ que nous avons fixée. Calculons encore la condition de réussite de l’expérience en fonction de la vitesse initiale de Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.3 Mouvements simples Corrigé exercice 2.4.3 Voir figure (18). Figure 18 – Exercice 2.4.3 On écrit les équations de mouvements pour chacune des balles : − gt2 + v0A t + y0A = H − gt2 − gt2 + v0B t + x0B = v0 t − gt2 A l’instant de la collision, on a les égalités suivantes : t = tc (instant de la collision). 2g(H − h) = 4 · (v02 − 2gh) Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.3 Mouvements simples Au moment de la collision la valeur absolue de la vitesse de la boule A est le double de celle de la boule B, ce qui se traduit par : A présent on pose : Corrigé exercice 2.4.5 Le mouvement de la Lune autour de la terre est un mouvement circulaire uniforme. On s’intéresse à l’accélération qui dans ce cas est dirigée vers le centre, en l’occurrence la terre. La valeur scalaire de l’accélération est donnée par |a| = a = ω 2 R où R est la distance Terre, Lune et ω la vitesse angulaire de la lune. ω = 2π T où T est la période du · 3.8 · 108 = 0.0025634 2 ≈ Corrigé exercice 2.4.6 Soit la situation (fig. 19). On combine les deux équations : Figure 19 – Exercice 2.4.6 Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.3 Mouvements simples On sait que l’accélération maximum supportéé est 5g d’où : Le pilote doit amorcer son virage à au moins à 566 m d’altitude en dessus du sol. Figure 20 – Exercice 2.4.7 Corrigé exercice 2.4.7 La trajectoire décrite par la valve s’appelle une cycloïde. On se sert de la figure (20) pour poser l’égalité vectorielle suivante : −−→ −→ −→ −−→ Il s’agit à présent de décomposer cette équation selon les axes x et y. OA = |OA|bi = v0 tbi = θ(t)Rbi = Rωtbi −−→ −−→ b −−→ b CP = CP x i + CP y j = −R sin ωtbi − R cos ωtbj En séparant les composantes de OP = r(t) : x(t) = Rωt − R sin ωt = R(ωt − sin ωt) y(t) = R − R cos ωt = R(1 − cos ωt) La vecteur vitesse est la dérivée par rapport au temps du vecteur position r(t) : vx (t) = x0x (t) = Rω(1 − cos ωt) vy (t) = x0y (t) = Rω sin ωt La vecteur accélération est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse v(t) : ax (t) = vx0 (t) = Rω 2 sin ωt ay (t) = vy0 (t) = Rω 2 cos ωt Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.3 Mouvements simples La norme du vecteur accélération est une constante et vaut Rω 2 , sa direction est donnée par la tangente de l’angle formé par la doite verticale passant par le centre de la roue et le vecteur a. = tan ωt = tan(θ(t)) L’accélération est dirigée vers le centre de la roue, comme on pouvait s’y attendre (figure 21). Figure 21 – Exercice 2.4.7 La direction à tout moment t du vecteur vitesse est un peu plus difficile à deviner : Donc, à tout instant t le vecteur vitesse pointe vers le somment de la roue (voir figure 22). Calcul de la vitesse scalaire de la valve par rapport au sol. Par rapport au sol la vitesse scalaire de la valve sera maximum lorsque celle-ci sera au sommet de la roue. La vitesse sera minimum et même nulle lorsque la valve se trouvera près du sol. Soit la vitesse scalaire de la valve : |v(t)| = v = (Rω sin(ωt))2 + (Rω(1 − cos(ωt)))2 En analysant cette dernière expression, on peut voir que la grandeur Rω est la vitesse d’un point sur le pourtour de la roue, donc elle vaut v0 = 10 m/s (par rapport au centre de la roue). La grandeur ωt correspond à l’angle θ. Afin de simplifier les calculs on effectue les substitutions : Cela permet de simplifier la dérivée et surtout de pouvoir dériver par rapport à l’angle θ qui est la valeur qui nous intéresse. |v(θ)| = v = (10 sin(θ))2 + (10(1 − cos(θ)))2 On dérive et on égale à zéro pour trouver les extrema : Dossier d’exercices – Mécanique 1 – 3.3 Mouvements simples Figure 22 – Exercice 2.4.7 En substituant θ = π dans (26), on obtient v = 20 m/s. La vitesse au sommet de la roue vaut le double de celle du centre. Que se passe-t-il avec la vitesse de la valve lorsque celle-ci est au plus près du sol ? La vitesse en ce point vaut clairement 0 m/s. Comment se fait-il que ce résultat ne soit pas apparu lorsque l’on a égalé la dérivée à zéro ? La réponse peut être tirée de la figure (23) montrantle graphe de la vitesse de la valve en fonction de l’angle θ. Les points où la vitesse s’annule sont en fait les Figure 23 – Exercice 2.4.7 bornes de l’intervalle de définition de la fonction périodique donnant la vitesse à chaque moment. Il se trouve qu’en ce point la fonction est discontinue et que la dérivée n’y est pas définie. Dossier d’exercices – Mécanique 1 – Corrigé exercice 2.5.1 La situation est représentée à la figure (24). Pour chacune des deux Figure 24 – Exercice 2.5.1 masses m1 et m2 on peut poser une équation basée sur la seconde loi de Newton. Ces deux équation forment le système L’accélération du système formé par les deux masses est de 2 m/s2 et la masse m2 pousse la masse m1 avec une force de f = 6 N. La masse m2 subit une force nette de 4 N. Figure 25 – Exercice 2.5.2 Corrigé exercice 2.5.2 a) La résultante des forces agissant sur la corde est nulle, si tel n’était pas le cas, la corde aurait une accélération infinie, car sa masse est nulle. Le système tout entier a la même accélération a. Dossier d’exercices – Mécanique 1 – De la figure (25) on déduit le système d’équations :