Planche avec bille

Planche et bille en chute libre Soit le montage de la Fig. 1. Fig. 1 – Montage de l’expérience. Trouver les conditions nécessaires pour que l’extrémité de la planche (P ) de masse m et de longueur L , ait une accélération verticale plus grande que l’accélération terrestre g à l’instant t = 0. Le mouvement, filmé avec un stroboscope, est à la Fig. 2. Fig. 2 – Evolution de la chute des deux objets, la Au premier abord, il peut sembler étrange qu’un objet puisse tomber avec une accélération plus grande que g , bien qu’aucune autre force que la pesanteur n’agit sur lui. Cependant, les images suggèrent que c’est possible (Fig. 2). On va donc regarder tout ça en détail. Il faut bien réaliser que ce que l’on va calculer est l’accélération de la planche dans la direction verticale à l’instant t0 = 0 au point P et non l’évolution du mouvement à t > 0. On va chercher les conditions, qui, à l’instant t 0 , provoquent un décollement entre la planche et la bille. Donc, pour quelles conditions obtient-on Le référentiel d’inertie est celui du laboratoire et les systèmes de coordonnées sont les suivants, un repère cartésien (O, ex , e y , ez ) matérialisant le référentiel absolu pour y projeter les grandeurs finales et un repère cylindrique local (O, eρ , eφ , ez ) pour faciliter la résolution. Voilà la situation (Fig. 3). Fig. 3 – Situation. A noter que l’axe ez commun aux repères cartésien et cylindrique sort du L’équation du mouvement de la planche peut être trouvée à l’aide du théorème du moment cinétique, = IˆO 2 = Mext = eρ ∧ −g sin φeg ρ − cos φeφ m Le point de référence étant l’origine, il faut appliquer le théorème de l’axe parallèle pour trouver le moment d’inertie I O selon ez et eφ (on prendra 0 pour le moment d’inertie selon eρ ) :    L  0  0  =  0  ∧ m −g cos φ =  Ce qui se résume à I 0 φ̈ = − mg cos φ, selon la direction ez . La valeur de l’accélération angulaire est alors En coordonnées cylindriques, les accélérations selon les directions eρ et eφ sont : a ρ = ρ̈ − ρ φ̇2 a φ = ρ φ̈ + 2ρ̇ φ̇

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Dans notre cas, ρ = L qui est une constante, donc cela implique que ρ̇ = 0 et ρ̈ = 0. De même, la valeur de φ̇ est nulle étant donné que l’étude se fait à l’instant t 0 où la vitesse tangentielle est nulle. Ce qui donne finalement, pour les accélérations dans le repère cylindrique, les valeurs : L’accélération du point P en coordonnées cylindriques vaut, a φ eφ = L φ̈eφ . Il faut à présent passer dans le repère cartésien, car on nous demande des valeurs pour une accélération verticale, c.-à-d. selon e y . En coordonnées cartésiennes, le vecteur de base eφ , se décompose en eφ = − sin φex + cos φe y Ce qui donne, selon y , l’accélération suivante : a y = −L φ̈ cos φ On veut que la norme de a y soit plus grande que g , autrement dit que : En substituant 1 on a : L’inclinaison de la planche doit être au plus de 35◦ pour que l’extrémité de celle-ci accélère vers le bas avec une accélération plus grande que celle de la gravité.

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