Le salaire de la peur

Q1. Donner l’équation horaire H (t ) du point de contact entre la roue et la route (n.b. Prendre l’origine des temps lorsque la roue se trouve à mi-chemin entre un creux et une bosse). Q2. Déduire l’équation du mouvement du point matériel de H (t ) (mouvement dans la direction Q3. Trouver l’amplitude des vibrations du point matériel en fonction de la vitesse. Donner la condition de résonance. Que peut-on dire de la vitesse du véhicule pour que le confort soit optimal ? Fig. 1 – Schéma du système simplifié. Vous pouvez télécharger le film qui a inspiré l’exercice avec le lien suivant. Ce n’est pas super légal, mais c’est pour la science ! Le salaire de la peur /H-G. Clouzot, 1953 On désire modéliser le passage d’un camion chargé de nitroglycérine sur un champ de bosses. La partie supérieure du camion est assimilée à un point matériel de masse m et de vitesse horizontale constante v . La masse est reliée à un dispositif comportant un ressort de constante élastique k , de longueur au repos nulle (n.b. pour simplifier !) et de masse négligeable. Au bout du ressort, une roue de masse négligeable suit le profil du sol. Le rayon de la roue est négligeable par rapport au rayon de courbure de la route. Les “bosses” sont des sinusoïdales de hauteur H et de longueur L . Le salaire de la peur ©https://michelsemon.ch Série 09 – Ex.3 – 2023/2024 – Hogge Le salaire de la peur L’exercice est inspiré du film Le salaire de la peur tourné en 1953 par H.-G. Clouzot. Les principaux acteurs sont Véra Clouzot, Yves Montand et Charles Vanel. Deux équipes de deux camionneurs chacune doivent convoyer quelques centaines de kilos de nitroglycérine pour éteindre un derrick en feu à quelques centaines de km. Après quelques kilomètres de route, ils arrivent à un endroit ou la route est bosselée. Si ils roulent trop lentement, les oscillations ont trop d’amplitude d’où un fort danger d’explosion. Il leur faut donc arriver avec une certaine vitesse sur le tronçon bosselé afin que la réponse en amplitude soit plus petite. Les deux camions finissent par passer sans problème, mais un peu plus loin, dans un moment d’inattention….boum ! Regardez le film ! Donner l’équation horaire H (t ) du point de contact entre la roue et la route (n.b. Prendre l’origine des temps lorsque la roue se trouve à mi-chemin entre un creux et une bosse). Le mouvement oscillant étudié ici est un mouvement oscillant forcé (le régime forcé est donné par les roues qui sont en contact à tout moment avec le sol bosselé) mais sans amortissement. H (t ) est la fonction qui donne la distance entre la masse ponctuelle M et la route. Avant de trouver H (t ), il est plus facile de trouver la valeur de H (x) (x étant pris le long de la route). La longueur d’onde des bosses de la route est L , le sinus est une fonction périodique de T = 2π. La fonction a une amplitude de H2 . La fonction H (t ) selon x est donc La valeur x est reliée au temps par la relation x = v t , donc : ©https://michelsemon.ch Le salaire de la peur Déduire l’équation du mouvement du point matériel de H (t ) (mouvement dans la direction verticale). Fig. 2 – Diagramme des forces . Le mouvement horizontal se fait selon x et le mouvement vertical selon z . On commence (toujours !) par appliquer la seconde loi de Newton M a − Fext = 0 . L’unique direction qui nous intéresse étant z ,

Accueil

M z̈ = −M g − k(z − H (t )) où z−H (t ) est l’allongement du ressort mesuré de M à l’axe de la roue. On a donc l’équation différentielle du mouvement oscillant forcé non amorti qui est : M z̈ + kz + M g = k · H (t ) M z̈ + kz + M g = k sin où H (t ) est l’oscillation forcée. L , on peut écrire : M z̈ + kz + M g = k car on sait que la solution d’une telle équation est : kz + M g ≡ ku =⇒ z = u − On substitue dans 1 et on obtient : ©https://michelsemon.ch Trouver l’amplitude des vibrations du point matériel en fonction de la vitesse. Donner la condition de résonance. Que peut-on dire de la vitesse du véhicule pour que le confort soit optimal ? Il faut à présent trouver u 0 qui est l’amplitude de la réponse du système (2). = u 0 · ω cos (ωt ) = −u 0 · ω2 sin (ωt ) En substituant les valeurs de u et ü dans (2) on obtient : Il s’agit à présent d’interpréter ce résultat. L’amplitude u 0 de la réponse du système dépend de ω qui dépend de la vitesse du camion. Il y a 3 cas intéressants.

Accueil

On voit qu’il faut que : Le salaire de la peur L’équation du mouvement doit être réécrite sous la forme a) Le cas où le camion roule à une vitesse très réduite : Dans ce cas, il y a des vibrations d’amplitude H2 donc boum ! b) Le cas où la parenthèse du dénominateur s’annule est le pire des scénarios. Pour ωr = ω = la réponse |u 0 | est infinie…plus de camion ! C’est la fréquence de résonance. Le salaire de la peur c) Lorsque le camion va très vite, la fréquence angulaire ω devient très grande et par conséquent |u 0 | devient petit. C’est la vitesse de confort où ça ne fera pas boum ! Fig. 3 – Réponse en amplitude en fonction de ©https://michelsemon.ch

Accueil

Accueil