Le lièvre et la tortue

Le lièvre et la tortue Série 02 – Exercice 1 Énoncé – Le lièvre et la tortue Le lièvre et la tortue font une course sur une distance L . La tortue démarre avec une vitesse constante v t et le lièvre également avec une vitesse constante v l (le lièvre ne prend pas la course au sérieux, donc v l < v t ). Lorsque la tortue arrive sur un pont situé à une distance L ′ < L du départ, le lièvre réalise son erreur et accélère avec une accélération constante a . Q1. Représenter sur un graphique les positions de la tortue et du lièvre en fonction du temps. Q2. Mettre les données sous forme mathématique et donner la condition sur l’accélération a , en fonction de L, L ′ , v t et v l , pour que le lièvre arrive à remporter la course. Q3. Vérifier que le résultat obtenu est cohérent au niveau des unités. Choisir des cas limites pertinents et vérifier qu’en faisant tendre la solution vers ces cas limites, on obtient bien ce à quoi on s’attend. Rappel – Mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA) L’équation du mouvement est l’équation différentielle, selon la direction x , qui est donnée par où a 0 est l’accélération constante. En posant les conditions initiales v(t = 0) = v 0 et x(t = 0) = x 0 et en intégrant par rapport au temps entre 0 et t , on obtient la vitesse ẋ : En utilisant le fait que pour t = 0 on a v(t = 0) = v 0 on a : ẋ(t ) = a 0 · t + v 0 . En intégrant une seconde fois et en utilisant le fait que x(t = 0) = x 0 , on obtient : x(t ) = a 0 · t 2 + v 0 · t + x 0 . SOLUTION – LE LIÈVRE ET LA TORTUE Solution – Le lièvre et la tortue Le graphique se trouve à la figure 1. Fig. 1 – Le lièvre et la tordue L’équation horaire de la tortue est simplement x tortue (t ) = v t · t . L’équation horaire du lièvre est une fonction continue et dérivable par morceaux, La fonction At 2 + B t + C est une parabole. Pour déterminer les valeurs des coefficients A , B et C , il faut avoir 3 contraintes. Ces contraintes sont la pente au point P et les coordonnées des deux points P et Q . En observant le graphique, on voit que ℓ = v l · T ′ et que T ′ = vLt , donc ℓ = Lv·vt l Par conséquent, on a : (At 2 + B t + C )′ = 2At + B = v l

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En substituant les coordonnées des points P et Q dans At 2 + B t + C , on obtient le système à résoudre : A vLt + B vLt + C = ℓ = v t l ,  A L 2 + B L + C = L. La solution qui nous intéresse est celle pour A , car c’est ce coefficient qui contient la courbure, c.-à-d.. l’accélération a demandée : Si on regarde l’équation (1) on peut, par identification, poser que : 2v t L(v t − v l ) L’accélération demandée est donnée par : 2v t L(v t − v l ) En utilisant les grandeurs fondamentales L (longueur) et T (temps), on peut écrire : ce qui est consistant. Choisissons pour commencer le cas limites où L ′ → L , on a : 2v t L(v t − v l ) ce qui est juste, le lièvre doit accéléré très fort pour rattraper la tortue. Un deuxième cas limite est lorsque v l tend vers v t , dans ce cas 2v t L(v t − v l ) le lièvre n’a pas a accéléré vu qu’il est continuellement à hauteur de la tortue. [1] Prof. Paolo Ricci Cours de physique avancée, EPFL 2018. [2] Prof. Christian Gruber Mécanique générale, EPFL 2001. [3] Prof. Georges Meylan Cours de physique pour mathématiciens, EPFL 2007.

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[4] Prof. Jean-Philippe Ansermet Mécanique, EPFL 2013.

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