Pendule dans un train

Les référentiels accélérés Un train sur une voie horizontale rectiligne a une accélération constante a. Un pendule est accroché au plafond du train. Le pendule est immobile. Q1. Trouver l’angle θ que fait le pendule avec la verticale. Faire le calcul dans le référentiel absolu terrestre et le référentiel relatif du train. Dans le référentiel relatif Soit le schéma de la Fig.1. Fig. 1 – (O, x1 , x2 ) est le système de coordonnées utilisé dans le réferentiel terrestre (absolu) et (O, y 1 , y 2 ) celui dans le référentiel du train (relatif). Dans le référentiel absolu : Dans le référentiel absolu, la seconde loi de Newton se formule de la manière suivante : Après avoir fait le diagramme des forces, la projection sur les axes portant les vecteurs de base donne : 0 = −mg + T cos θ On déduit tan θ = ga . Dans le référentiel relatif Dans le référentiel relatif on applique le formalisme suivant : aa (P ) = aa (A) + ar (P ) + 2Ω ∧ vr (P ) + Ω ∧ (Ω ∧ AP) + Ω̇ ∧ AP La formule est celle de l’accélération absolue d’un point P dans le référentiel absolu, donnée en fonction des accélérations réelles et des accélérations d’inertie. En multipliant le tout par la masse du point matériel et en isolant la force mesurée dans le référentiel relatif à gauche de l’équation, on a mar (P ) = maa (P ) − maa (A) − 2mΩ ∧ vr (P ) − mΩ ∧ (Ω ∧ AP) − m Ω̇ ∧ AP. Dans le référentiel absolu, on a, comme vu plus haut (1) la seconde Loi de Newton sous la forme, par conséquent, la seconde loi de Newton dans le référentiel relatif cette fois, est : i − maa (A) − 2mΩ ∧ vr (P ) − mΩ ∧ (Ω ∧ AP) − m Ω̇ ∧ AP Le mouvement du train est rectiligne donc, Ω = Ω̇ = 0. L’expression (6) se simplifie en

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Dans le référentiel relatif La masse m située en P étant immobile par rapport au train, donc mar (P ) = 0 et on a également aa (A) = a pour l’accélération de l’origine A du repère relatif. Donc, En projetant selon les axes de coordonnées, on obtient, 0 = T sin θ − ma, 0 = −mg + T cos θ En résolvant le système, on obtient évidemment le même angle c.-à-d. tan θ = ga .

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