Nageur traversant une rivière

Nageur traversant une rivière Série 2 – Exercice 04 Enoncé – Nageur traversant une rivière La vitesse de l’eau d’une rivière de largeur 2l s’écoulant dans la direction x est donnée par où y est la distance mesurée depuis le milieu de la rivière et v 0 est la vitesse de l’eau au milieu de la rivière. Cette vitesse est supposée connue et constante. Un nageur traverse cette rivière avec une vitesse u constante (par rapport à la berge), perpendiculaire à la berge (donc à x ). A quelle distance la rivière aura-t-elle déporté le nageur au terme de la traversée du nageur ? SOLUTION – NAGEUR TRAVERSANT UNE RIVIÈRE Solution – Nageur traversant une rivière Le schéma est à la figure 1 : On peut voir que la fonction donnant la vitesse du courant est une parabole dont l’axe de symétrie est x , elle est donc paire (pratique dans le cas où il faut intégrer !) Selon y la vitesse est constante. La fonction étant paire on ne s’occupe que de la déportation du nageur de l’origine (milieu de son parcours) à la berge où il accoste. Il n’y aura qu’à multiplier par deux le résultat. Pour obtenir le déplacement à partir de la vitesse, il faut intégrer l’expression de cette dernière par rapport au temps. Il faut donc donner la fonction v(y) en fonction du temps, c’est-à-dire construire une fonction v(t ). Selon l’axe des abscisses (ici y ), on peut poser y = u · t et substituer dans l’expression pour v(y). La distance de déportation du nageur due au courant est donnée par l’intégrale : v 0 1 − 2 dt = v 0 La borne inférieure correspond au temps à l’origine (moitié de la rivière) et la borne supérieure est le temps mis par le nageur pour parcourir la distance l , c’est-à-dire t = ul . 1 − 2 dt = v 0  ut − En multipliant par deux (largeur de la rivière = 2l et fonction paire), on a le déplacement selon x qui vaut On remarque que plus le nageur nage vite moins il sera déporté.

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[1] Prof. Paolo Ricci Cours de physique avancée, EPFL 2018. [2] Prof. Christian Gruber Mécanique générale, EPFL 2001. [3] Prof. Georges Meylan Cours de physique pour mathématiciens, EPFL 2007. [4] Prof. Jean-Philippe Ansermet Mécanique, EPFL 2013.

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