Les équations du 3e degré

Équations du 3e degré Je me base sur une équation du type: (u + v)3 = u3 + 3u2 v + 3uv 2 + v 3 = u3 + v 3 + 3uv(u + v) En ramenant tout d’un côté: (u + v)3 − 3uv(u + v) − (u3 + v 3 ) = 0 L’idée est maintenant d’identifier (1) et (2). (u + v)3 − 3uv(u + v) − (u3 + v 3 ) = 0 ≡ X 3 + pX + q = 0 Afin de faciliter les calculs, on posera: Il s’agit à présent de résoudre le système: On a d’une part, pour v 3 : − v 3 + S(v 3 ) − P = 0 v 3 − S(v 3 ) + P = 0 et, en tenant compte de la symétrie des équations, on a la même chose pour u3 : Ces deux dernières équations donnent deux solutions identiques pour u3 et v 3 qui sont: En substituant les valeurs, dans l’équation ci-dessus, et en ne gardant que u3 (v 3 étant identique), on a: A présent, en posant: et finalement, en se souvenant que X = u + u, on a la formule de Cardan: X = u + u = − + ∆+ 3 − − ∆ X peut-être vu comme l’ensemble des solutions: La formule de Cardan donne les valeurs u3 et u3 . Ces deux valeurs seront des complexes conjugués lorsque ∆ < 0, des réels différents lorsque ∆ > 0 et des réels identiques lorsque ∆ = 0. En fonction de la valeur du discriminant ∆, on peut distinguer trois cas. Le discriminant est plus petit que zéro Dans ce cas u3 est un nombre complexe et u3 son complexe conjugué. C’est l’équation de Cardan (7) qui nous les fournit. La racine cubique d’un nombre complexe est triple et géométriquement on a la situation Figure 1: Les racines réelles x0 , x1 et x2 sont obtenues en sommant des nombres complexes avec leur conjugué. On peut donc écrire: x1 = j · u0 + j · u0 = u1 + u1 x2 = j · j · u0 + j · j · u0 = j 2 · u0 + j · u0 = u2 + u2 Le discriminant est plus grand que zéro Dans ce cas la formule de Cardan nous donne deux nombres réels u3 et u3 . Leurs racines cubiques sont également triples dans l’ensemble des nombres complexes. On peut établir les solutions (x0 , x1 et x2 ) de la même manière que ci-dessus. Seule différence, les solutions x1 et x2 seront complexes conjuguées alors que x0 sera réelle. Figure 2: x0 est réelle x1 et x2 sont complexes conjugués. On peut donc écrire: x1 = j · u0 + j · u0 = u1 + u1 x2 = j · j · u0 + j · j · u0 = j 2 · u0 + j · u0 = u2 + u2 La figure (2) montre l’aspect géométrique des solutions. Il est cependant beaucoup plus simple d’effectuer une division euclidienne du polynôme par la racine obtenue par la formule de Cardan et de résoudre l’équation quadratique restante. Le discriminant est égal à zéro La formule de Cardan devient: X= u + u = − + − =23 − C’est une solution réelle donnée par la formule de Cardan. Les deux autres solutions forment une solution double qui est: Applications numériques Discriminant négatif On commence par calculer le discriminant: Le discriminant est négatif. u = − + ∆+ − − ∆= − +i En passant en notation complexe, on a: x0 = u0 + u0 = 2 cos x1 = j · u0 + j · u0 = ei 3 · ei 9 + e−i 3 · e−i 9 = 2 cos x2 = j 2 · u0 + j · u0 = ei 3 · ei 9 + e−i 3 · e−i 9 u2 = 2 cos Discriminant positif x3 − 18x − 35 = 0 Le discriminant vaut: − + ∆+ − − ∆= x0 = u0 + u0 = 3 + 2 = 5 x1 = j · u0 + j · u0 = ei 3 · 3 + e−i 3 · 2 x2 = j 2 · u0 + j · u0 = ei 3 · 3 + e−i 3 · 2 Formules de Tartaglia (ou de Del Ferro)? Tartaglia n’aimait pas les grandeurs négatives, il a donc utilisé 2 formules différentes selon la forme de l’équation. Il ne faut pas oublier que ces formules sont à la base de la formule de Cardan, qui a eu l’intelligence de les unifier en une seule, la formule de Cardan. Toutefois, les formules de Tartaglia ne sont pas totalement inintéressantes. Tartaglia: 1re formule (u − v)3 = u3 − 3u2 v + 3uv 2 − v 3 = u3 − v 3 − 3uv(u − v) (u − v)3 + 3uv(u − v) = u3 − v 3 On identifie à (8) et on obtient: Ce que l’on récrit: On résout pour u3 et v 3 et on calcule u0 = La solution réelle sera x0 = u0 − v0 . On choisit une des deux paires de solutions ayant les indices identiques, par exemple: On peut donc écrire: x0 = 6 3 + 10 − 6 3 − 10 L’extraction de la racine cubique réelle se fait de manière élégante, ainsi: (a 3 + b)3 = a3 3 3 + 9a2 b + 3 3ab2 + b3 = (3a3 + 3ab2 ) 3 + (9a2 b + b3 ) En identifiant cette dernière expression avec (6 3 + 10) on obtient le système: dont les solutions sont a = 1 et b = 1. ( 3 + 1)3 = 10 + 6 3 D’où évidemment: ( 3 − 1)3 = −10 + 6 3 x0 = u0 − v0 = ( 3 + 1) − ( 3 − 1) = 2 On a la solution réelle de l’équation du 3e degré qui est x = 2. Les autres solutions se trouvent facilement par division euclidienne et par complétion du Tartaglia: 2e formule (u + v)3 = u3 + 3u2 v + 3uv 2 + v 3 = u3 + v 3 + 3uv(u + v) (u + v)3 = 3uv(u + v) + (u3 + v 3 ) On identifie à (10) et on obtient: Ce que l’on récrit: On résout pour u3 et v 3 et on calcule u0 = La solution réelle sera x0 = u0 + v0 . On choisit une des deux paires de solutions ayant les indices identiques, par exemple: On peut donc écrire: x0 = u0 + v0 = 3 + 2 = 5 On a la solution réelle de l’équation du 3e degré qui est x = 5. Les autres solutions se trouvent facilement par division euclidienne et par complétion du