Les équations du 3e degré

1 Propulsion d’une fusée 1.1 Introduction Il faut poser préalablement quelques conditions pour l’étude de notre fusée. On va supposer qu’il n’y a aucun frottement et que les effets des forces d’inertie dues à la rotation de la Terre sont négligeables. Notre fusée est « parfaite » et on va étudier son mouvement sur une petite distance. Pour fixer un ordre de grandeur, on va étudier son mouvement dans les premières centaines de mètres de son vol, ceci afin de pouvoir considérer l’accélération terrestre g comme constante. La fusée est considérée comme un système sur lequel agit une force unique, la gravité. Pourquoi ne pas considérer la poussée du moteur? La réponse est que dans le cas d’une fusée, la force de poussée est interne au système. Notre système est la fusée (avec son combustible) et la poussée est due à l’expulsion d’une certaine quantité de ce même combustible. La masse de gaz expulsée fait partie de la masse du système. Dans un problème de mécanique, on commence par dessiner un diagramme des forces puis on en déduit la seconde loi de Newton X Fext = mr̈. Dans notre cas, la masse m de la fusée n’est pas une constante, par contre la masse du système gaz-fusée est constante! Il faut utiliser une approche un peu différente afin de pouvoir finalement utiliser la seconde Loi de Newton. Le référentiel choisi est celui du « laboratoire » (surface de la Terre), c.-à-d. un référentiel inertiel vérifiant la première loi de Newton. Le système de coordonnées est un système cartésien avec un seul axe Oex choisi positif vers le haut. Étude du cas sans force extérieure Afin de bien comprendre ce qui se passe, on va commencer par faire abstraction de la gravité et de toute autre force extérieure usuelle. La situation est celle illustrée à la figure 1: Soit un corps en mouvement rectiligne uniforme. On pose m(t ) la masse de ce corps à l’instant t . La vitesse de cette masse est v(t ). À une certaine distance de ce corps se trouve une petite masse ∆m qui a une vitesse u(t ). Les deux masses se situent sur la même droite et vont dans le même sens. L’intensité de v(t ) est un peu plus élevée que celle de u(t ), de sorte que m(t ) rattrape ∆m qui se colle à la grosse masse m(t ). Les deux continuent à une vitesse v(t + ∆t ) = v(t ) + ∆v et la masse de la grosse particule est à présent m(t + ∆t ) = m(t ) + ∆m . Il faut bien voir ce schéma comme un schéma général. La petite masse pourrait aussi être éjectée de la grosse masse par une force intérieure au système. Le traitement mathématique serait identique dans ce cas, sauf que la grosse masse perdrait la petite masse ∆m et la vitesse u(t ) changerait en conséquence. Faisons un bilan des quantités de mouvement avant et après le choc. Avant le choc, le système formé des deux masses a la quantité de mouvement Avant le choc: pav = mv + ∆m u, (1) 1 michelsemon.org – 2026 La fusée Propulsion d’une fusée La fusée puis, Après le choc: pap = (m + ∆m)(v + ∆v) (2) Remarque: La vitesse relative de ∆m par rapport à m est V = u − v. Calculons la différence des quantités de mouvement ∆P = pap − pav : ∆P = pap − pav = (m + ∆m)(v + ∆v) − (mv + ∆m u) = mv + m ∆v + ∆mv + ∆ {z∆v} −mv − ∆mu | m =0 = m ∆v + ∆m(v − u) = m ∆v − V∆m À présent on s’intéresse à la dynamique en divisant le tout par ∆t , on a: ∆P ∆v ∆m =m −V ∆t ∆t ∆t En passant à la limite, c.-à-d. en posant ∆t → 0, on obtient l’équation fondamentale du mouvement: Fext = m dv dm −V = m v̇ − Vṁ dt dt (3) Étudions à présent trois cas particuliers de cette expression: 1er cas: u = 0 =⇒ V = −v Cela signifie que la petite masse est à une vitesse nulle dans le référentiel absolu. L’équation (3) devient: V =−v F ext = m v̇ − V ṁ z}|{ =⇒ F ext = m v̇ + v ṁ = d(mv) dt (4) Exercice 1.1: Wagon sur voie horizontale Soit un wagon de chemin de fer de masse M qui roule à une vitesse v 0 sur une voie horizontale. À partir de t 0 , le wagon est chargé avec du charbon. Le charbon tombe dans le wagon depuis un tapis roulant (la vitesse horizontale de chute du charbon est négligeable). On s’intéresse à l’évolution de la vitesse v du wagon sachant qu’une masse m de charbon y a été versée. 2 michelsemon.org – 2026 Figure 1: En haut, le système avant le choc inélastique et en bas, après le choc. Après le choc, les deux masses sont collées. Propulsion d’une fusée La fusée Solution 1.2: Wagon sur voie horizontale Soit la vitesse initiale V0 du wagon, prise positive dans la direction Ox . Le référentiel est la voie. La force extérieure Fext est nulle et donc on a: 0 = m v̇ + v ṁ On peut récrire cette équation différentielle de la manière suivante: m =⇒ La résolution est: dv dm =− =⇒ v m dm dv = −v dt dt dv dm =− v m =⇒ Z V Z m+M 1 1 dv = − dm m V0 v M µ ¶ µ ¶ µ ¶ V m+M M ln = − ln = ln V0 M m+M V M = V0 M + m La solution est V = MM +m V0 . 2e cas: Une fusée sur un plan horizontal Si la fusée est sur un plan horizontal alors la résultante des forces verticales est nulle et aucune force externe horizontale n’agit. La valeur V est la vitesse d’éjection des gaz et la grandeur ṁ est négative, car la fusée perd de la masse sous forme de gaz de combustion. [M ] m kg La grandeur V dm dt à les dimensions d’une force [V ] [T ] = s s = N. Cette force est la poussée F P due au réacteur. L’équation fondamentale 3 devient 0=m ¶¶ µ µ dv dm − V − dt dt m =⇒ dv dm +V dt dt =⇒ m dv dm = −V dt dt (5) En projetant cette ED sur un axe Ox positif dans le sens de déplacement de la fusée, on a: m dv dm = −V dt dt =⇒ dv = −V dm m Intégrons en posant mc la masse du combustible, M la masse de la fusée avec son combustible et V0 la vitesse initiale de la fusée si elle en a une. V f est la vitesse finale, lorsque la fusée a consommé tout son carburant. Z Z Vf M −m 0 1 dm m V0 M µ ¶ µ ¶ M − m0 M = V ln V f − V0 = −V ln M M − m0 µ ¶ M V f = V0 + V ln M − m0 dv = −V 3e cas: Une fusée décollant verticalement. Dans ce cas on va naturellement tenir compte de la force externe de gravitation. On va se baser sur l’équation 3 comme pour les cas précédents. On a: Fext = mg = m dv dm −V = m v̇ − Vṁ dt dt Le référentiel inertiel est la surface terrestre et on choisit un repère cartésien positif vers le haut. En projetant 3 michelsemon.org – 2026 0 = m v̇ + v ṁ Propulsion d’une fusée La fusée l’équation précédente sur cet axe, on obtient: m dm dv − (−V ) = −mg , dt dt ou encore m dv dm = −V − mg . dt dt (6) La fusée perd de la masse, donc dm dt est négatif. En en tenant compte, on a: m dv dm =V − mg . dt dt (7) Dans l’expression (6) il y a deux grandeurs qui sont des constantes de vol, ce sont les valeurs g et V . En effet lorsque l’on construit une fusée, on sait en général quel combustible on va utiliser et sur quelle planète on se trouve! On invente un facteur de qualité τQ = Vg , dont l’unité est la seconde. Par exemple, pour une vitesse d’expulsion de 3000 m s−1 , on a sur Terre, la constante τQ = 300 s. On transforme l’expression (6) en la divisant par m ·V , en la multipliant par dt et en y substituant τQ . Cela donne: dm 1 dv =− − dt . V m τQ À présent on peut intégrer en prenant les bornes d’intégrations [0; v f ] (vitesse initiale et vitesse finale), [m 0 ; m f ] (masse initiale et masse finale) et [0; τc ] (temps initial et temps de combustion). 1 V L’intégration donne et la vitesse finale de la fusée est Récrivons (8) de la manière suivante: Z vf 0 Z mf dv = − dm 1 − m τQ m0 Z τc dt 0 ¶ m0 τc − = ln V mf τQ (8) ¶ µ µ ¶ m0 τc . v f = V ln − mf τQ (9) vf µ ¶ vf m0 τc ln = + mf V τQ µ m0 et résolvons pour le rapport m . Cela donne f v f τ m0 + c = e V τQ . mf À présent m0 est le poids de la fusée plus celle du combustible m c donc m 0 = m f + m c d’où: vf m f + mc =e V mf Ce qui permet de récrire: τ Q + τc . v f τ mc + c = e V τQ − 1 mf (10) 4 michelsemon.org – 2026 Pour que la fusée accélère vers le haut (sens positif), il faut que V dm dt > mg . C’est à dire, il faut que la poussée soit plus grande que la force de gravitation. De manière générale, V est constant, car la vitesse d’expulsion du gaz est due à une réaction chimique particulière qui est identique jusqu’à épuisement des réserves. Propulsion d’une fusée La fusée qui est une formule très intéressante, car en connaissant le facteur de qualité τQ , la vitesse d’éjection V , le temps de combustion, la vitesse finale désirée, on peut calculer le rapport de masse nécessaire entre la masse du combustible et la masse de la fusée à vide. michelsemon.org – 2026 Michel Semon https://michelsemon.org – 2026 Doc-P-fusee.pdf 5