Référentiels accélérés
K7 cassée
Prenons une ancienne cassette des années 70 et démontons-la. Sortons les deux bobines autour desquelles la bande magnétique de 300 m est enroulée. Supposons que chaque bobine porte 150 m de
bande magnétique, de manière à ce que le rayon de chacune soit identique.
On passe un crayon par l’ouverture de l’une des bobines et on laisse tomber l’autre bobine en « chute
libre », comme le montre le schéma de la Fig. 1.
Les bobines sont de masse identique m et de rayon identique r . La bande magnétique, bien que souple
peut être considérée comme inélastique. On ne tiendra pas compte du poids de la bande entre les deux
Q1. Quelle est l’accélération du centre de masse de la bobine B un peu après l’avoir lâchée ?
Q2. Quelle est l’accélération en fonction du rayon et de la masse des bobines ?
Fig. 2 – Étude géométrique du mouvement.
On commence par faire un petit dessin (Fig. 2) de ce qui se passe afin de pouvoir relier les divers accélérations
entre elles. La bande magnétique étant inélastique, son allongement provient forcément des réserves de
bande enroulées sur des bobines A et B . La bande est supposée « sans masse » (du moins entre les bobines)
ce qui signifie que la tension T dans la bande, est la même partout. L’allongement de la bande peut être
exprimé par l’équation temporelle,
L(t ) = L 0 + θ A · r + θB · r
En dérivant cette expression deux fois par rapport au temps, on obtient la valeur L̈ qui est l’accélération
totale que l’on nous demande. La valeur de cette accélération est la somme des accélérations due à la
rotation des bobines. Ces deux accélérations sont respectivement notées a A et aB et leur somme est notée
a T = L̈ = θ̈ A · r + θ¨B · r = a A + a B
Le rayon des bobines étant identique, on a :
Maintenant, il s’agit de choisir un référentiel et un système de coordonnées.
La bobine A est fixe et la bobine B est accélérée. Le référentiel fixe sera le plafond où est attachée la bobine
A . On choisit la bobine B comme référentiel accéléré (ou encore relatif). Le système de coordonnées est
un axe unique positif vers le bas. L’origine de ce repère est le point O où la bande est tangente à la bobine B .
Le formalisme pour les référentiels accélérés peut être trouvé dans la brochure consacrée à ces référentiels,
certes particuliers, mais bien pratiques. Le point P dont on va calculer l’accélération relative est le centre
AccueilFig. 3 – Référentiel absolu et référentiel relatif de masse de la bobine B . La formule donnant l’accélération relativement à l’origine du référentiel accéléré est : − maa (A) + FCoriolis + Fcentrifuge + FEuler Le référentiel de la bobine B étant accéléré en translation uniquement, les forces de Coriolis, centrifuge et d’Euler sont nulles, il reste : Dans notre problème de la K7, on peut attribuer les grandeurs suivantes : ma B = (mg − T ) − ma A L’accélération due au déroulement de la bobine A (a A ) est appelée accélération d’entraînement. Il faut calculer aB . Pour ce faire, je prends l’origine O comme point de rotation et j’applique le théorème du moment cinétique 1 en ce point. Comme ce point n’est pas le centre de la bobine, il faut appliquer le théorème des axes parallèles (ou de Steiner) pour trouver la valeur du moment d’inertie de la bobine à I O = IG + mr 2 = mr 2 + mr 2 = mr 2 = M =⇒ I 0 αB = r (mg − ma A ) Entre l’accélération angulaire et l’accélération tangentielle il y a la relation α = ar . Donc, A présent, on a vu en 2 que les accélérations de chaque bobine sont identiques dans leur référentiel propre et que l’accélération totale est la somme des deux (voir 1). Donc en posant a A = a B = a on a a = 5 . 1. Malencontreusement appelé loi de Newton pour la rotation.
AccueilL’accélération totale par rapport au référentiel absolu est finalement : a T = a A + a B = 2a = En regardant la réponse à la question précédente, on voit que l’accélération ne dépend que de la constante de gravitation g , donc la masse ou le rayon des bobines n’importent pas.
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