Fourmi immobile

Les référentiels accélérés Sur la platine d’un tourne-disque en rotation uniforme, une fourmi parcourt un chemin circulaire de telle manière qu’elle apparaisse immobile par rapport au châssis du tourne-disque. Q1. Calculer séparément l’accélération de Coriolis et l’accélération centripète dans le référentiel lié à la platine en rotation. La situation est la suivante (Fig. 1) : Fig. 1 – Le référentiel absolu est ma- térialisé par le repère (O, 1, 2, 3). Le référentiel relatif est désigné par le repère (A, 1′ , 2′ , 3′ ). On a O = A , car les origines sont confondues. La fourmi immobile par rapport au référentiel absolu est en P . Le repère cylindrique associé est dans le réferentiel relatif. Le référentiel relatif subit une rotation ω constante. On doit s’attendre à une force (accélération) de Coriolis ou/et à une force (accélération) centrifuge. On commence par faire une liste des expressions dont on aura La relation entre les vitesses est va (P ) = vr (A) + vr (P ) + ω ∧ AP aa (P ) = aa (A) + ar (P ) + 2ω ∧ vr (P ) + ω ∧ (ω ∧ AP) + ω̇ ∧ AP et celle entre les accélérations, Les contraintes sont : (La fourmi est immobile dans le référentiel absolu.)) (Les origines des repères sont confondues.) (La vitesse angulaire est constante.) En substituant les contraintes dans (1), on obtient : 0 = vr (P ) + ω ∧ R vR (P ) = −ω ∧ R L’accélération de Coriolis est, par définition, aCoriolis = 2ω ∧ vr (P ). Dans notre cas, elle vaut : aCoriolis = 2ω ∧ (−ω ∧ R) = 2ω2 R · ez ∧ (−ez ∧ eρ ) = 2ω2 R · eρ . L’accélération centripète est ac = ω ∧ (ω ∧ R), ac = ω ∧ (ω ∧ R) = ω2 R · ez ∧ (ez ∧ eρ ) = −ω2 R · eρ On peut justifier ces résultats de la manière suivante. Le référentiel relatif provoque une accélération d’entraînement d’intensité ω2 R dirigée vers l’intérieur. La fourmi se déplace avec une vitesse d’intensité ωR

Accueil

dans un sens de rotation inverse à celui du disque. Son accélération centripète est donc également de (−ω)2 R = ω2 R vers le centre. Mais la fourmi est au repos ! L’accélération de Coriolis est là pour remettre les pendules à l’heure car elle vaut 2ω2 R et est dirigée vers l’extérieur donc on a bien une résultante nulle Pour s’en convaincre on peut utiliser la loi de Newton dans le référentiel relatif qui est : i − 2mω ∧ vr (P ) − mω ∧ (ω ∧ R) Dans cette formule on doit avoir une résultante des forces nulle. En effet, i = −mar (P ) − 2mω ∧ vr (P ) − mω ∧ (ω ∧ R) = (−mω R + 2mω R − mω R)eρ = 0. On peut donc retrouver le résultat observé dans le référentiel absolu, à savoir que la fourmi est immobile, en combinant les forces réelles et les forces d’inertie observées dans le référentiel relatif.

Accueil

EXC-012-fourmi-immobile.pdf

Accueil