Référentiels accélérés
Le tireur d’élite
référentiels accélérés
Un président corrompu et sénile doit impérativement être abattu. On convoque Craig H. afin d’effectuer la mission. Le tir devra être exécuté en tirant en direction du Sud. La ville où sera effectuée la
mission est à une latitude Nord de λ = 45°. La distance à la cible est de L = 2400 m et la vitesse de
départ du projectile est v 0 = 1000 m/s.
Indication : On néglige tous les frottements (ce n’est bien sûr pas très réel !)
Q1. Quelle serait la déviation en direction et en grandeur du projectile sur une Terre au repos.
Q2. Même question mais en tenant compte de la rotation de la Terre.
Q3. Comment le tireur doit-il programmer son tir s’il veut atteindre la victime à la poitrine.
Réponse à la question 1
On commence par fixer un référentiel absolu à caractère galiléen qui est le référentiel géocentrique matérialisé par le système cartésien (O, 1, 2, 3). Le référentiel relatif est le référentiel lié à la Terre tournante
(A, 1′ , 2′ , 3′ ). O et A sont confondus.
On utilise logiquement un repère associé au point P . Le tireur tire vers le Sud, donc dans la direction ex .
Réponse à la question 1
En l’abscense de rotation de la Terre, nous avons affaire à un mouvement balistique dans le plan formé par
les vecteurs de base ex et ez .
Selon ez , l’équation différentielle du mouvement (MRUA) est z̈ = −g . Selon la direction de tir ex , le mouvement est un MRU.
Le temps mis par la balle pour effectuer la distance de tir L = 2400 m est
En intégrant deux fois par rapport au temps et en introduisant les valeurs initiales adéquates dans l’ED
z̈ = −g on obtient,
∆z = − g ∆t = − g
La balle va donc chuter verticalement d’une hauteur de 28m durant le tir. Le tireur devra régler la hausse
du fusil en conséquence.
La déviation dans le plan vertical est de −28m. La déviation vers la gauche ou la droite est nulle, car
il n’y a aucune force réelle dans ces directions.
AccueilRéponse à la question 2 Réponse à la question 2 Si on tient compte de la rotation de la Terre, les choses se compliquent un peu. On se place alors dans le référentiel accéléré (A, 1′ , 2′ , 3′ ) car on veut connaître ce que voit ou plutôt doit prévoir le tireur. Deux forces d’inertie vont intervenir, la force de Coriolis et la force centrifuge. La force de Coriolis va incurver la trajectoire vers l’ouest et la force centrifuge va faire en sorte que la hauteur de chute de la balle L’accélération absolue au point P dans le référentiel absolu est donnée par l’expression : aa (P ) = aa (A) + ar (P ) + 2Ω ∧ vr (P ) + Ω ∧ (Ω ∧ AP) + Ω̇ ∧ AP. La loi de Newton dans le référentiel accéléré est i − maa (A) − 2mΩ ∧ vr (P ) − mΩ ∧ (Ω ∧ AP) − m Ω̇ ∧ AP Les contraintes du mouvement que sont la vitesse de rotation constante de la Terre, les origines O et A des référentiels confondues et la présence d’une unique force réelle (la gravitation) permettent de simplifier l’expression à la forme : mar (P ) = mg − 2mΩ ∧ vr (P ) − mΩ ∧ (Ω ∧ R) Maintenant il faut bien comprendre que le repère (A, ex , e y , ez ) doit être considéré comme un repère d’inertie. En effet, en y introduisant les forces d’inertie, on a rendu le repère relatif inertiel. Comme à l’accoutumée, on va à présent projeter les forces vectorielles réelles et d’inertie dans le repère relatif et appliquer la loi de Newton selon chacune des directions ex , e y et ez . La projection de Ω est, par inspection de la figure 1, Ω = Ω sin λez − Ω cos λex . On pose vr (P ) = (ẋ, ẏ, ż), on simplifie par m et on a : ∧ 0 ∧ ẏ − ÿ = 0 − Le calcul donne les trois équations du mouvement : ẍ = 2Ω ẏ sin λ + Ω R sin λ cos λ ÿ = −2Ω(ż cos λ + ẋ sin λ) z̈ = −g + 2Ω ẏ cos λ + Ω2 R cos2 λ On aimerait connaître la déviation selon la direction y après t = vL0 secondes. L’intégration des trois équations du mouvement est compliquée, mais on peut faire une approximation raisonnable. On remarque que l’on peut approximer la vitesse selon z par la valeur de t est t = vL0 , donc Cette dernière grandeur est visiblement beaucoup plus petite que v 0 ≈ ẋ . On peut donc négliger ż par rapport à ẋ . On prend l’équation du mouvement pour ÿ et on la simplifie en ignorant le terme avec ż : ÿ = −2Ωẋ sin λ
AccueilRéponse à la question 2 En intégrant par rapport au temps, on obtient : ẏ = −2Ω · x(t ) · sin λ = −2Ω · v 0 t · sin λ Une autre intégration nous donne presque le résultat voulu : y(t ) = −Ωv 0 t 2 sin λ Il n’y a plus qu’à remplacer t = vL0 pour obtenir enfin la déviation recherchée : Il apparait donc non seulement une déviation selon l’axe z , mais également une déviation transversale. Avec les données numériques fournies, cela donne une déviation égale à ≈ −0.3m. La déviation se fait donc vers l’ouest. Le tireur devra donc viser un peu vers l’Est afin d’atteindre sa cible en plein coeur. L’exercice est politiquement très incorrect je l’avoue ! C’est pas bien de vouloir éliminer des politiciens séniles et corrompus.
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