Bloc sur disque

Référentiels accélérés Une masse m située en P est reliée par une tige rigide au centre d’un disque tournant. La vitesse angulaire Ω est constante. Quelle est la tension de la tige dans le référentiel absolu. Le référentiel absolu est galiléen et l’origine de son système de coordonnées O est au centre du disque. Calculer la tension T dans la tige. Même question dans le référentiel relatif qui est le disque. L’origine A du référentiel relatif est située au point P où se trouve la masse m . Voir Fig.1. Expliquer le résultat. On utilise le formalisme ci-dessous, car nous avons affaire à un problème de référentiels accélérés. a L’accélération du point P dans le référentiel absolu est : aa (P ) = aa (A) + ar (P ) + 2Ω ∧ vr (P ) + Ω ∧ (Ω ∧ AP) + Ω̇ ∧ AP La deuxième loi de Newton dans un référentiel absolu est : d’où l’équation dynamique : Fi = maa (A) + mar (P ) + 2mΩ ∧ vr (P ) + mΩ ∧ (Ω ∧ AP) + m(Ω̇ ∧ AP) La loi de Newton dans un référentiel accéléré se déduit de (3) : i − maa (A) − 2mΩ ∧ vr (P ) − mΩ ∧ (Ω ∧ AP) − m Ω̇ ∧ AP a. Voir la démonstration des formules dans le rappel théorique Les référentiels accéléré Dans le référentiel absolu, matérialisé par le repère (O, x1 , x2 , x3 ), on utilise la forme « normale » de la seconde On peut placer un repère cylindrique associé au point P pour faciliter la projection des forces. (Voir Fig. 2 ). L’équation vectorielle de la seconde loi de Newton est : mω ∧ (ω ∧ OP) = T On projette cette équation vectorielle sur le repère cylindrique. Cela donne : mωez ∧ (ωez ∧ r eρ ) = T eρ On obtient une unique équation selon la direction eρ qui est :

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Dans le référentiel absolu, La tension T est dirigée vers le centre et son intensité est Le référentiel (A, y1 , y2 , y3 ) matérialise le référentiel accéléré. (Voir Fig. 3 ). On utilise la loi de Newton donnée en (4). Les différentes composantes sont, en fonction des données du mar (P ) = 0 (Accélération du point P dans le référentiel relatif.) maa (A) = −mω2 r y2 2mω ∧ vr (P ) = 0 mω ∧ (ω ∧ AP) = 0 (Accélération de l’origine du repère relatif dans le repère absolu.) (L’accélération de Coriolis est nulle car la vitesse de P est nulle dans A ) ( A est confondu avec P ) (La pulsation ω est constante.) i − maa (A) − 2mΩ ∧ vr (P ) − mΩ ∧ (Ω ∧ AP) − m Ω̇ ∧ AP 0 = −T y2 + mω2 r y2 . C’est l’expression des forces dans le référentiel relatif. Dans le référentiel absolu, l’observateur voit une force centripète qui attire le plot vers le centre. Dans le référentiel relatif, l’observateur, qui voit un plot immobile, remarque également la tension T dirigée vers le centre. Le plot étant immobile, il est nécessaire d’avoir une force opposée d’intensité identique pour que la résultante soit nulle. Cette force, +mω2 r , est la force centrifuge.

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