Ascenseur accéléré

Référentiels accélérés Une tige rigide verticale est fixée au plafond d’un ascenseur. Une masse m est fixée à cette tige. Donner la tension T dans la tige en fonction de l’accélération a0 de l’ascenseur. L’accélération peut être dirigée vers le haut ou vers le bas et prendre n’importe quelle valeur. Autrement dit, ∥a0 ∥ = a 0 ∈ [0; ∞[. À présent la masse m est fixée au plafond. À l’instant t 0 , la masse est libérée et tombe. Quelles sont l’accélération mesurée par un observateur A au repos dans l’ascenseur (référentiel relatif ) et celle mesurée par l’observateur O au repos dans le référentiel absolu. À l’instant t 0 , l’ascenseur commence à accélérer. Au même instant, la masse est libérée. Quel est le temps t A mesuré par l’observateur A lorsque la masse touche le sol de l’ascenseur. Que vaut le temps tO mesuré par l’observateur O. Même question qu’en 3, mais cette fois-ci on aimerait connaître, dans chacun des référentiels, les valeurs v r (P ) et v a (P ), les vitesses avec lesquels le point P (la masse) touche le sol de l’ascenseur. Que peut-on en déduire ? On utilise le formalisme ci-dessous, car nous avons affaire à un problème de référentiels accélérés. a L’accélération du point P dans le référentiel absolu est : aa (P ) = aa (A) + ar (P ) + 2Ω ∧ vr (P ) + Ω ∧ (Ω ∧ AP) + Ω̇ ∧ AP La deuxième loi de Newton dans un référentiel absolu est : d’où l’équation dynamique : Fi = maa (A) + mar (P ) + 2mΩ ∧ vr (P ) + mΩ ∧ (Ω ∧ AP) + m(Ω̇ ∧ AP) La loi de Newton dans un référentiel accéléré se déduit de (3) : i − maa (A) − 2mΩ ∧ vr (P ) − mΩ ∧ (Ω ∧ AP) − m Ω̇ ∧ AP a. Voir la démonstration des formules dans le rappel théorique Les référentiels accéléré On effectue la mesure de la tension de la tige dans l’ascenseur, c.-à-d. dans un référentiel accéléré. L’ascenseur est le référentiel relatif qui est matérialisé par le système de coordonnées (A, y1 , y2 , y3 ) et la Terre est le référentiel de base, matérialisé par le système de coordonnées (O, x1 , x2 , x3 ), comme indiqué sur le schéma F IG . 1 – Schéma. Le référentiel A (l’ascenseur) est accéléré dans la direction verticale, c.-à-d. selon les axes x2 et y2 . La masse m est située au point P . Le diagramme des forces (tension T et poids mg) est également à la Fig (1). L’ascenseur est en translation accélérée et ne possède pas de rotation Ω. La formule ( 3), en tenant compte de l’absence de rotation, devient : Fi = maa (A) + mar (P )

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La masse est fixe dans l’ascenseur donc l’accélération relative mar (P ) est nulle et on a : Après projection sur l’axe 2 on obtient : La réponse à la question est : Si a 0 = 0 alors logiquement la tension est mg . Si a 0 + g = 0 alors la tension dans la tige est nulle car l’ascenseur est en « chute libre ». Tant que a 0 +g est positif, alors tige est en extension. Si a 0 +g est négatif alors la tige est en compression, car l’ascenseur accélère vers le bas avec une accélération supérieure à Une accélération supplémentaire vers le bas c’est comme une force vers le haut. Une accélération vers la droite c’est comme une force vers la gauche. On prend la formule (1). On la récrit en posant Ω = 0 aa (P ) = aa (A) + ar (P ), 1. Dans le référentiel absolu l’accélération de la masse m est bien sûr −g . 2. Dans le référentiel relatif, on a : ar (P ) = aa (P ) − aa (A) En posant pour l’accélération relative de m dans O la valeur −g et pour la valeur de l’accélération du référentiel A dans O, la valeur a 0 , cela donne, après projection sur l’axe 2, a r (P ) = −g − (+a 0 ) = −(g + a 0 ). La valeur de l’accélération du point P dans le référentiel de l’ascenseur est −(g + a 0 ). Si a 0 = −g alors l’accélération de P dans A est nulle, c’est logique, car l’ascenseur tombe en même temps que la masse m. Si l’accélération de l’ascenseur est nulle, on retrouve la valeur −g , la valeur trouvée en 1.,c’est donc logique également. 1. Dans le référentiel relatif (ascenseur) : Posons h, la hauteur de l’ascenseur. L’objet doit parcourir la distance −h avec une accélération de a r (P ) = −(a 0 + g ). On a : −h = − (a 0 + g )t A2

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2. Dans le référentiel absolu : Dans O, l’accélération est de −g . La distance à parcourir pour la masse m sera de h − 12 a 0 tO2 car l’ascenseur monte avec une accélération a 0 durant le temps tO . Après projection, l’équation est : −h + a 0 tO2 = − g tO2 On remarque que les temps sont les mêmes dans chacun des référentiels. 1. Dans le référentiel relatif (ascenseur) : L’accélération dans le référentiel A est a r (P ) = −(a 0 + g ), les temps étant les mêmes dans chaque référentiel, on pose t A = tO = t . v r (P ) = −(a 0 + g )t 2. Dans le référentiel absolu : L’accélération est −g , donc : En combinant, on peut écrire : v r (P ) = −a 0 t + v a (P ) La grandeur a 0 t est la vitesse du référentiel relatif dans le référentiel absolu, c’est donc v a (A). Donc, v r (P ) = −v a (A) + v a (P ) v a (P ) = v a (A) + v r (P ) Cette formule est très logique, la vitesse du point P dans le référentiel absolu est la somme de la vitesse du point P dans le référentiel relatif plus la vitesse de l’origine du référentiel relatif dans la référentiel absolu. De manière générale, pour un système subissant également une rotation instantanée, on a : vr (P ) = va (A) + vr (P ) + Ω ∧ AP. On peut déduire que les référentiels inertiels (ou galiléens) conservent le temps et les accélérations, tandis que les référentiels accélérés ne conservent que le temps. Les grandeurs position et vitesse ne sont conservées dans aucun des deux cas. Les transformations de Lorentz, en relativité, ne conservent pas le temps non plus. Le temps se dilate en fonction de la vitesse.

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