Révision mathématiques
Révison
Série 02 – Exercice 1
Énoncé – Cinématique
Q1. Étant donnés deux vecteurs ω et r, dessiner ω×(ω×r).
Q2. Pour trois vecteurs non colinéaires a, b et c, que représente |a·(b×c)| ?
Q3. Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
exp sin x 3 + cos x 2
Q4. Calculer l’intégrale indéfinie (primitive) des fonctions suivantes :
Q5. Étudier la fonction
en déterminant son domaine, son signe, ses limites, ses maximums et minimum. Esquisser son
Q6. Déterminer la primitive de f (x), F (x), telle que F (0) = 0. En déduire le graphique de F (x).
SOLUTION – CINÉMATIQUE
Solution – Cinématique
En prenant ω et r dans le plan de la feuille on obtient, en appliquant les règles du produit vectoriel, un
vecteur ω×r qui “plonge” dans la feuille et un vecteur ω×(ω×r) perpendiculaire à la fois à ω×r et à ω,
donc dans la feuille (voir figure 1).
Fig. 1 – Exercice 2-Q1
• ω est constant,
• ∥r∥ est constant et
• si l’angle entre ω et r est constant,
on a un mouvement circulaire uniforme. ω est la pulsation ou vitesse angulaire et r la position d’un point
matériel P (voir figure 2).
Fig. 2 – Mouvement circulaire uniforme
= (ω×r) = ω× = ω×(ω×r)
AccueilSOLUTION – CINÉMATIQUE Soit a, b et c trois vecteurs non coplanaires et la grandeur scalaire positive Le résultat de b×c (produit vectoriel) est un vecteur perpendiculaire à la fois à b et à c dont la norme vaut la surface du parallélogramme formé par b et c. En multipliant scalairement le vecteur b×c par le vecteur a, on obtient le volume orienté engendré par les En en prenant la valeur absolue, on a le volume du parallélépipède formé par a, b et c.
AccueilSOLUTION – CINÉMATIQUE a) exp sin x 3 + cos x 2 = exp sin x 3 + cos x 2 · sin x 3 + cos x 2 = exp sin x 3 + cos x 2 · cos x 3 + cos x 2 · x 3 + cos x 2 = exp sin x 3 + cos x 2 · cos x 3 + cos x 2 · 3x 2 − 2x sin x 2 = x · exp sin x 3 + cos x 2 · cos x 3 + cos x 2 · 3x − 2 sin x 2 Fig. 3 – f (x) = exp sin x 3 + cos x 2 Fig. 4 – f ′ (x) = x · exp sin x 3 + cos x 2 · cos x 3 + cos x 2 · 3x − 2 sin x 2 3x (x + 1) − 2x(x 3 + 1) 2(x 3 + 1) x(x 3 + 3x − 2)
AccueilSOLUTION – CINÉMATIQUE Fig. 5 – f (x) = cos2 xx 2 +1 Fig. 6 – f ′ (x) = − sin 2(xx 2 +1
AccueilSOLUTION – CINÉMATIQUE dx = ln |x + 1| + C ,
AccueilSOLUTION – CINÉMATIQUE a) Ensemble de définition : La fonction est définie pour 4 − x 2 ≥ 0 donc dans l’intervalle [−2; 2] La fonction est impaire car f (−x) = − f (x) pour tout x de l’ensemble de définition. Sa parité implique que la fonction passe par l’origine et qu’elle a une symétrie centrale par rapport à celle-ci. Il suffit donc d’étudier la fonction sur [0; 2]. c) Zéros de la fonction : La fonction s’annule en 0 et 2, elle est positive sur ]0; 2[. d) Points critiques de la fonction La dérivée de f (x) = x 4 − x 2 est : La dérivée s’annule pour x = 2 et pour x = 0. La dérivée seconde est : 2 la dérivée seconde est négative, le graphe est concave en ce point. On a un maximum. En x = 0 la dérivée seconde s’annulle et comme f ′ (0) est différent de 0, il y a un point d’inflexion “pure” à l’origine et non un palier. Fig. 7 – Graphe de f (x) = x 4 − x 2 .
AccueilOn commence par calculer la primitive de f (x) = x 4 − x 2 . Il faut à présent déterminer la valeur de C satisfaisant la contrainte F (0) = 0. La fonction F cherchée est : et son graphe est à la figure 8. Fig. 8 – Graphe de F (x) = − 13 4 − x 2 2 + 83 C’est une fonction paire, donc symétrique par rapport à l’axe O y . Comme F ′ (x) = f (x) et F ′′ (x) = f ′ (x) on déduit de la partie a) qu’elle a un minimum en 0 et deux maxima en 2 et −2. [1] Prof. Paolo Ricci Cours de physique avancée, EPFL 2018. [2] Prof. Christian Gruber Mécanique générale, EPFL 2001. [3] Prof. Georges Meylan Cours de physique pour mathématiciens, EPFL 2007. [4] Prof. Jean-Philippe Ansermet Mécanique, EPFL 2013.
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