Oscillateurs
Le flotteur
Série 06 – SIE, GC, SC – Exercices 4 – 2024-25
Un pêcheur pêche à l’aide d’une canne à pêche en mangeant une… pomme. A l’extrémité de la canne
à pêche se trouve un flotteur. Ce dernier est de forme cylindrique de rayon r , de hauteur h et de masse
homogène. Le flotteur se tient verticalement dans l’eau et il se déplace de haut en bas. On tient compte
de la viscosité partielle de l’eau sous forme de frottememnt F f = −kηv. La masse volumique du cylindre
vaut les deux tiers de celle de l’eau : ρ c = 23 ρ eau
Q1. Calculez la hauteur du cylindre qui se trouve immergée à l’équilibre.
Q2. Déterminez l’équation différentielle du mouvement du cylindre. Exprimez sa pulsation non amortie ω0 et son coefficient d’amortissement γ en fonction des données du problème.
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Q3. On appuie sur le flotteur et il se met à osciller verticalement jusqu’à retrouver sa position d’équilibre. Que pouvez-vous dire sur le type d’amortissement ? Dessinez l’amplitude de l’oscillation en
Oscillateur harmonique amorti : Le flotteur
Oscillateur harmonique amorti : Le flotteur
Rappel – ED d’un oscillateur harmonique amorti
ẍ + 2γẋ + ω20 x = 0
Équation caractéristique et solutions
¯γ2 − ω2 ¯ < ω0 ∈ R+
Amortissement faible.
et λ2 = −γ − i ω
{A cos(ωt ) + B sin(ωt )}
A et B sont à déterminer en utilisant les conditions initiales, ce qui donne, pour x(t = 0) = x 0 et
x(t ) = e −γt x 0 cos(ωt ) +
Amortissement critique.
λ1 = −γ = −ω0
λ2 = −γ = −ω0
A et B sont à déterminer en utilisant les conditions initiales, ce qui donne, pour x(t = 0) = x 0 et
x(t ) = {x 0 + (v 0 + ω0 x 0 ) t } e −ω0 t
x(t ) = A 1 e λ1 t + A 2 e λ2 t = A 1 e
τ1 = − λ11 = γ−ω
τ2 = − λ12 = γ+ω
A 1 et A 2 sont à déterminer en utilisant les conditions initiales, ce qui donne, pour x(t = 0) = x 0
x 0 + v 0 τ2 − τt
x 0 + v 0 τ1 − τt
Accueil©https://michelsemon.ch λ2 + 2γλ + ω20 = 0 Oscillateur harmonique amorti : Le flotteur RAPPEL – ED D’UN OSCILLATEUR HARMONIQUE AMORTI Fig. 1 – Schéma du flotteur et dia- gramme des forces. Le flotteur est dessiné, se déplaçant de haut en bas. Au début du mouvement le flotteur est en dehors de l’eau. Après quelques oscillation le flotteur s’ »immobilise » à sa position d’équilibre. Le référentiel est la Terre et on choisit un repère cartésien positif vers le bas et ayant la surface de l’eau comme origine. Dans un premier temps, on calcule le mouvement pour 0 ≤ x ≤ h . Calculez la hauteur du cylindre qui se trouve immergée à l’équilibre. L’équation vectorielle du mouvement du flotteur est : avec F A la force d’Archimède, F f la force de frottement visqueux et P le poids du flotteur. La force d’Archimède est verticale et a comme intensité ∥F ∥ A = ρ eau · g · Vimm où Vimm = S · x est le volume immergé du cylindre de surface S . La projection sur l’axe Oex de (15) donne : m ẍ = mg − kηẋ − ρ eau · g · S · x L’état d’équilibre impose que ẍ = ẋ = 0. Si de plus on écrit m = ρ c · S · h , à l’équilibre on a 0 = ρ c · S · h · g − ρ eau · g · S · x e À l’équilibre, le cylindre dépasse de 13 de sa longueur. Oscillateur harmonique amorti : Le flotteur ©https://michelsemon.ch On reprend l’équation « brute » du mouvement déduite sous (16) et on la récrit sous la forme standard en substituant, où cela est judicieux, m = ρ c Sh avec ρ c = 32 ρ eau : m ẍ = mg − kηẋ − ρ eau · g · S · x
AccueilDéterminez l’équation différentielle du mouvement du cylindre. Exprimez sa pulsation non amortie ω0 et son coefficient d’amortissement γ en fonction des données du problème. qui ne fait que ramener l’origine du repère au point d’équilibre. On obtient : En identifiant les grandeurs avec celles de la forme standard en (1), on a, (pulsation propre du système non-amorti) (coefficient d’amortissement) On appuie sur le flotteur et il se met à osciller verticalement jusqu’à retrouver sa position d’équilibre. Que pouvez-vous dire sur le type d’amortissement ? Dessinez l’amplitude de l’oscillation en fonction Le flotteur est en régime d’amortissement faible c.-à-d. que γ < ω0 ou encore, si on considère les données L’allure de la réponse en amplitude du système est du type Fig. 2 – Oscillateur faiblement amorti. Il y a quelques oscillations avant que le flotteur atteigne l’équilibre. Dans le cas motré ci-contre on voit que x 0 vaut 1 et La solution est de la forme partie exponentielle |
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Accueil©https://michelsemon.ch En utilisant le changement de variable : Oscillateur harmonique amorti : Le flotteur Il reste à effectuer un changement de variable pour retrouver finalement la forme décrite à la section 2.