Oscillateur harmonique – Conditions initiales

L’équation horaire du mouvment d’un oscillateur harmonique est donnée par : x(t ) = C cos ωt + φ = A cos(ωt ) + B sin(ωt ) Q1. Établir les relations entre les constantes A , B et C . Q2. Exprimer les constantes A , B et C en fonction des conditions initiales (x 0 , v 0 ) à t = 0 et de la pulsation ω. Déterminer une relation entre φ et les conditions initiales (x0 , v 0 ) à t = 0. ©https://michelsemon.ch cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b Oscillateur harmonique : Conditions initiales Oscillateur harmonique : Conditions initiales Établir les relations entre les constantes A , B et C . cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b L’équation horaire du mouvement oscillant non amorti est donnée par l’expression x(t ) = C cos ω0 t + φ = A cos(ω0 t ) + B sin(ω0 t ). Cette double équation est la solution de l’équation différentielle du mouvement ẍ + ω20 x(t ) = 0, où — x(t ) est une coordonnée généralisée quelconque, c.-à-d. une coordonnée cartésienne, un angle ou une abscisse curviligne. — ω0 est la pulsation du mouvement qui est constante. Pourquoi la solution de l’équation différentielle d’un mouvement harmonique contient-elle un sinus et un cosinus ? En fait sinus et cosinus sont tous deux des solutions et la combinaison linéaire de deux solutions est également une solution des équations différentielles linéaires. On demande trouver les relations entre les valeurs A , B , C et φ de (3). Ce sont des coefficients constants (attention ! ce ne sont pas des constantes du mouvement). Une constante du mouvement est une combinaison de conditions initiales des variables. Cette grandeur reste constante même lorsque ces variables évoluent (voir plus loin). On les appelle également intégrales premières. À l’aide de (2) on peut développer (3) ainsi : C cos ω0 t + φ = C cos(ω0 t ) cos φ − C sin(ω0 t ) sin φ = A cos(ω0 t ) + B sin(ω0 t ) Ces équations sont égales dans le temps, donc par identification, on déduit les deux égalités Ces deux égalités sont toujours vraies, par conséquent : A 2 + B 2 = C 2 cos2 φ + (−C )2 sin2 φ = C 2 (cos2 φ + sin2 φ) = C 2 Oscillateur harmonique : Conditions initiales ©https://michelsemon.ch Ces deux égalités déterminent φ de manière univoque et il est de loin préférable de calculer φ à l’aide de ces deux relations plutôt qu’à l’aide de celle qui consiste à écrire 3 cos(ω0 t ) + sin(ω0 t ).

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Pour le déphasage φ, on peut poser les deux égalités On a déterminé φ de manière univoque grace à « un tir croisé » à l’aide des valeurs du sinus et du cosinus En utilisant la formule avec la tangente, on a : Afin de décider laquelle des deux valeurs à choisir, il faut étudier les valeurs de A et B pour savoir dans quel quadrant l’on se trouve. Donc, ce n’est pas très pratique ! Exprimer les constantes A , B et C en fonction des conditions initiales (x 0 , v 0 ) à t = 0 et de la pulsation ω0 . Déterminer une relation entre φ et les conditions initiales (x 0 , v 0 ) à t = 0. Les valeurs x 0 et v 0 sont appelées les conditions initiales du mouvement harmonique donné par l’ED Oscillateur harmonique : Conditions initiales Elles vont permettre de déterminer manière univoque les valeurs de A , B , C et φ. L’une des conditions initiales (v 0 ) est une vitesse. Il faut donc commencer par calculer ẋ : ẋ = −Aω0 sin(ω0 t ) + B ω0 cos(ω0 t ) À présent on substitue les valeurs x(t = 0) = x 0 et v(t = 0) = v 0 dans les équations (3) et (8) : x 0 = A cos(0) + B sin(0) v 0 = −Aω0 sin(0) + B ω0 cos(0) ©https://michelsemon.ch ẍ + ω20 x(t ) = 0. Il est beaucoup plus simple d’écrire l’équation horaire du mouvement sous la forme x(t ) = x 0 cos(ω0 t ) + De plus la combinaison x(t ) et v(t ) peut-être également écrite sous forme matricielle :

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On peut vérifier que la grandeur Oscillateur harmonique : Conditions initiales Constante du mouvement G(x, v) = v(t )2 + ω20 x(t )2 est une constante puisque v(t )2 + ω20 x(t )2 = ω20C 2 . Par conséquent, la grandeur G(x, v) = G(x 0 , v 0 ) = ω0C = ω0 x 0 + est une constante du mouvement ou encore une intégrale première du mouvement harmonique. Finalement, on déduit que les orbites sont des ellipses de demi-axes v max = v 02 + ω20 x 02 ©https://michelsemon.ch Espace des phases et orbites du mouvement d’un oscillateur harmonique.

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