Oscillateur sur plan incliné

Oscillateur sur un plan incliné Un point matériel pesant, de masse m, est astreint à se déplacer sur une droite inclinée d’un angle α par rapport à l’horizontale. Il n’y a pas de frottement. Le point matériel est retenu par un ressort de longueur au repos L 0 et de constante élastique k . 1. Etablir le bilan des forces. 2. Trouver l’équation différentielle du mouvement. 3. Résoudre cette ED et déterminer la période des oscillations du bloc ? Le référentiel est le laboratoire et le système de coordonnées nous est donné. Le bloc est astreint à se déplacer uniquement le long de l’axe x . Comme on travaille sans force de frottement, la force de reaction du plan incliné R nous est inutile dans les calculs que l’on nous demande de faire. 1. Bilan des forces extérieures et différentes positions du bloc (voir figure 2). Fig. 2 – Différentes positions du système et diagramme des forces. L’origine est le point d’attache du ressort dans le mur La force de rappel du ressort est donnée par : FR = −k (x − L0 ) où L0 est la position au repos du ressort. La seconde loi de Newton sous sa forme vectorielle est Fextérieurs = mg + R + FR 2. L’équation du mouvement du bloc est obtenue en projetant la forme vectorielle de la seconde loi de Newton sur l’axe Ox . Les deux uniques forces qui agissent sur le bloc, selon l’axe Ox sont la force de rappel F R du ressort et la projection du poids du bloc sur l’axe Ox . Cette projection vaut mg sin α. L’équation du mouvement recherchée : m ẍ = −k(x − L 0 ) + mg sin α que l’on récrit ainsi : https://pmichelsemon.ch (x − L 0 ) − g sin α = 0 On a une ED linéaire du second ordre. 3. Au cours de mathématiques, on nous apprend à résoudre cette équation de différentes manières. Ici, je vais faire un peu d’improvisation, car je ne me souviens plus exactement comment on fait ! Par contre, je me souviens parfaitement que la solution de l’ED homogène X (t ) = A cos (ωt ) + B sin (ωt ) où A et B sont des coefficients qui dépendent des valeurs initiales, vitesse et position, à Je commence par transformer un peu l’expression (3) de cette manière : (x − L 0 ) − g sin α = 0 À présent je pose X = x − L 0 − x − L 0 − g sin α = 0 et je remarque que Ẍ = ẍ . Je suis donc en droit de poser la substition X = x − L 0 − Je connais la solution de cette dernière ED, c’est (5) ! En resubstituant en retour ma valeur pour X (t ) j’ai : X (t ) = x − L 0 − = A cos (ωt ) + B sin (ωt ), on peut finalement écrire la solution complète qui est : x(t ) = A cos (ωt ) + B sin (ωt ) + L 0 + On remarque que ça joue parfaitement, lorsque A = t = 0 (voir supplément), c.à.d lorsque le bloc est au repos, x vaut la longueur initiale du ressort plus le déplacement dû au poids du De manière générale, on pose l’oscillation. L’équation (7) devient : x(t ) = A cos (ωt ) + B sin (ωt ) + L 0 + https://pmichelsemon.ch est appellée pulsation de 4. Pour calculer la période on va prendre la grandeur et se dire que si il y existe une période T du mouvement, celle-ci doit forcément être incluse dans cette expression, c’est un cosinus et on sait que c’est une fonction périodique donc cos (ω(t + T )) = cos (ωt + 2π) cos (ωt + ωT )) = cos (ωt + 2π) d’où on déduit, par identification, que la période du mouvement est T = 2π ω . La période dépend de la masse et de la rigidité du ressort. La valeur α de l’angle d’inclinaison n’apparaît pas dans cette solution, cela veut dire que quel que soit cet angle α, la période du mouvement  Attention, ce n’est pas forcément intuitif ! Calculons les coefficients A et B de (7) pour des conditions initiales v(t = 0) = v 0 et x(t = 0) = x 0 . On a les deux équations : x(t ) = A cos (ωt ) + B sin (ωt ) + L 0 + v(t ) = ẋ(t ) = −Aω sin (ωt ) + B ω cos (ωt ) A l’instant t = 0, cela donne : x0 = A · 1 + B · 0 + L 0 + v(0) = ẋ(0) = −A · 0 + B ω · 1 A est l’amplitude de l’oscillation. En effet si l’on retranche la longeur à vide du ressort et l’allongement dû à la masse du bloc de A , on a le point d’allongement maximum par rapport au point On voit donc que le fait d’avoir pris le cas particulier d’un plan incliné avec un angle α, nous permet de généraliser pour n’importe quelle valeur de α. Pour α = 0, on a un mouvement oscillant horizontal et pour α = π2 un mouvement oscillant vertical. La période est la même quelque soit α. La seule chose qui change est le point d’équilibre du système. Dans le cas du mouvement horizontal, le point d’équilibre est L 0 et dans le cas vertical, le bloc oscille autour du point L 0 + k . Encore une fois, la période est la même quelque soit α. On pourrait donc parfaitement faire un coucou suisse avec une Heidi qui se balance horizontalement ou encore retourner complètement le coucou ! https://pmichelsemon.ch

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