L’agent Logan du FBI

Lancé à la poursuite d’un criminel, l’agent Logan du FBI doit traverser une rivière d’une largeur de 1600 m qui coule à 0.80 m/s en un minimum de temps et se rendre directement en face de son point de départ. Sachant qu’il peut ramer à 1.50 m/s et courir à 3.00 m/s, décrivez la route qu’il devrait suivre (en bateau et à pied le long de la rive) pour traverser ce cours d’eau le plus rapidement possible. Déterminez le temps minimal requis pour cette traversée. Fig. 1 – Deux solutions s’offrent à l’agent Logan, soit il nage perpendiculairement à la berge en direction de la rive opposée et ensuite rejoint le point B en courant, soit il va directement en ligne droite du point A au point B en nageant « de travers ». Que doit choisir le brave agent Logan du FBI ? C’est un agent de terrain, style 007 donc pas forcément une Les deux possibilités décrites à la Fig. 1 sont les solutions qui viennent à l’esprit de Logan lorsqu’il arrive en A . La rivière fait tout de même 1600m de large ! Cela vaut la peine de faire rapidement un petit calcul pour chacune des situations. S’il nage perpendiculairement à la rive, il mettra 1600 1.5 = 1066 secondes pour arriver sur l’autre berge. Il devra alors revenir en B en courant à la vitesse de 3.00 m/s sur une distance de 1066s · 0.8 m/s = 853m qui est la distance de déportation vers l’aval due au courant. Pour parcourir cette distance Logan aura besoin de 3.00 = 284 secondes. Le temps total sera donc de 1066+284 = 1350 secondes. Si il choisit uniquement de nager « en biais »pdirectement vers le point B sans devoir courir par la suite, sa vitesse résultante en direction de B sera de 1.52 − 0.82 = 1.27 m/s. Pour parcourir les 1600m cela lui prendra 1.27 = 1259 secondes. Logan choisit cette solution ! Une fois sa mission terminée, Logan se pose la question suivante. Aurait’il pu aller plus vite en combinant de manière judicieuse les deux stratégies ? Après tout, il a tout juste réussi à attraper le méchant criminel avant que celui-ci ne s’échappe en avionnette avec son chargement de drogue en direction de Miami ! Mais heureusement, que Logan à un fils qui étudie la microtechnique à l’EPF de Lausanne en Suisse. Il lui écrit et son fils lui envoie la réponse suivante. Réponse du fils de Logan à son père Cher Papa ! Voilà la réponse à ta question. Soit la figure 2. Les grandeurs utilisées y sont décrites. Fig. 2 – vL est la vitesse de Logan en bateau, vc est la vitesse du courant, vR est la vitesse résultante (vR = vc + vL ). L est la largeur de la rivière et d la distance que Logan doit parcourir à pieds à la vitesse

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Commençons par écrire les vitesses sous forme vectorielle : On a que vR = vc + vL , donc la vitesse résultante de Logan dans la rivière est En divisant la deuxième ligne de composantes par la première, on obtient la distance d : v R cos α v c + v L · cos β L Logan parcourt la distance d à la vitesse v p . Le temps td qu’il met pour cette distance est (v c + v L · cos β) · v p Logan parcourt la distance L avec la vitesse v L sin β, qui est la projection de vL sur l’axe O y . Le temps que mets Logan pour parcourir cette distance est Le temps total t t (β) que met Logan est la somme de t d et t L , c.-à-d. t t (β) = t d + t L = (v c + v L · cos β) · v p v L sin β Il faut maintenant chercher le minimum de cette fonction en la dérivant par rapport à β et en égalant cette dérivée à zéro. Le calcul est long et sans intérêt. Le temps minimum est atteint pour un angle β égal à Pour les résultats numériques, on a : β = 1.98 = 113, 2◦ Certes le temps minimum est plus petit que le temps qu’a mis Logan pour traverser avec la stratégie qu’il a choisi, mais on voit que le gain n’est pas énorme, 1241 contre 1259 secondes ! Finalement le choix de Logan a été le bon quand on pense au temps qu’il aurait perdu en faisant ces calculs.

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EXC-018-agent-logan.pdf

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