Analyse dimensionnelle
3 problèmes d’analyse dimensionnelle
Analyse dimensionnelle
Série 01 – Exercice 2
Enoncé – Analyse dimensionnelle
Q1. Quelle doit être la dimension de la constante universelle de la gravitation G pour que l’expression de la
entre deux masses M1 et M2 séparées d’une distance r soit homogène ?
Q2. La physique d’un pendule simple (masse accrochée à un fil) est gouvernée par la longueur du fil l , la masse
m et l’accélération de la pesanteur g . Retrouvez par analyse dimensionnelle la formule de la période T du
pendule simple à une constante multiplicative sans unités, k , près.
Q3. Grâce à l’observation d’un film de l’explosion d’une bombe atomique imprudemment rendue publique par
les militaires américains et grâce à l’analyse dimensionnelle, Sir Geoffrey Ingram Taylor a pu estimer en
1950 l’énergie dégagée par l’explosion, alors que cette information était classée « top secret ».
Fig. 1 – Photos rendues publiques
Taylor avait noté que le processus d’expansion donnant le rayon de la sphère de gaz dépend des paramètres
suivants : le temps t , l’énergie E dégagée par l’explosion et la masse volumique de l’air avant l’explosion
ρ0 (ρ0 ≈ 1.25kg/m3).
a) Retrouver par l’analyse dimensionnelle, la formule donnant le rayon de la sphère de l’explosion en fonction des paramètres identifiés.
b) Vérifiez si la formule trouvée est correcte en utilisant les données extraites du film.
c) Que pouvez-vous dire sur la valeur de l’énergie de l’explosion ?
SOLUTION – ANALYSE DIMENSIONNELLE
Solution – Analyse dimensionnelle
À l’aide des grandeurs fondamentales, L , M , T , la force ( f = ma ) peut s’écrire
En isolant la constante G de FG = G Mr1 M
et en appliquant les grandeurs fondamentales on obtient :
On considère la longueur, la masse et le temps comme unités fondamentales. On considère le changement d’unités
l ′ = λl , m ′ = µm, t ′ = τt .
On nous précise que la période d’un pendule “pourrait” dépendre de sa masse m , de la longueur du fil l , de
la pesanteur g . On peut également ajouter la position initiale θ0 . Un angle étant un rapport de longueur, cette
valeur est sans unité.
On commence par appliquer le théorème d’homogénéité en lui appliquant le changement d’unité (2).
T (m ′ , l ′ , g ′ , θ0 ) = T µm, λl , 2 g , θ0 = τ T (m, l , g , θ0 )
On pose à présent :
Ceci permet d’écrire que
l , ¡ g ¢ g , θ0 ) = T (1, 1, 1, θ) =
T (m, l , g , θ0 ),
En appliquant les lois de la dynamique, la période d’un pendule est T = 2π gl .
T (1, 1, 1, θ0 ) = θ0
La période ne dépend pas de la masse !
Sur la Terre, g ⊕ ≈ 10, ce qui donne pour une période de 1 seconde, une longueur de ficelle de :
Sur le soleil, où g ⊙ vaut 275m/s2 pour une période identique, la ficelle (pour autant qu’elle ne brûle pas !) sera
AccueilSOLUTION – ANALYSE DIMENSIONNELLE On considère la longueur, la masse et le temps comme unités fondamentales. On considère les changements d’unités suivants : l ′ = λl , m ′ = µm, t ′ = τ. Le rayon de la sphère de gaz dépend du temps t , de l’énergie libérée E et de la masse volumique ρ 0 de l’air avant l’explosion et d’une constante sans dimension C . Les unités fondamentales de l’énergie et de la masse volumique sont : On applique le théorème d’homogénéité en tenant compte de la transformation (4) : R(t ′ , ρ ′ , E ′ ,C ) = R(τt , ρ, 2 E ,C ) = λ R(t , ρ, E ,C ). À présent, on pose : En substituant la première équation dans la deuxième, on obtient : On fait un choix judicieux des coefficients τ en posant En substituant tout ceci dans 5 : E ,C ) = R(1, 1, 1,C ) = 5 La fonction donnant le rayon de la sphère de gaz en fonction du temps est : On demande de vérifier la formule r (t ) = C 5 Eρt à l’aide des photos données. Soit r (t ) = C E 5 ρ − 5 t 5 . On va donc pouvoir calculer la constante k = C E 5 ρ − 5 . En recherchant d’autres informations sur internet, j’ai trouvé les photos de l’essai atomique Trinity du 16 juillet 1945 (Fig. 2 et 3). Ce n’est apparemment pas la même explosion que dans l’énoncé, mais cela va permettre de
AccueilSOLUTION – ANALYSE DIMENSIONNELLE calculer ou du moins estimer la valeur de la constante k . Même si ce n’est pas la même explosion, c’est une constante dépendant de C, de l’énergie dégagée et de la masse volumique de l’air, donc en supposant que les deux explosions ont eu lieu sur Terre (supposition raisonnable, il me semble !), la constante ne devrait pas changer d’une explosion à l’autre. Fig. 2 – Après 16ms, le diamètre est de 212 ± 5m Fig. 3 – Après 25ms, le diamètre est de 257 ± 5m Le calcul donne les valeurs k 16 = 562 et k25 = 548. En prenant la valeur moyenne et en faisant un rapide calcul d’erreur (2% sur r et 5% sur t ), on obtient la constante On peut à présent calculer le rayon de la sphère de gaz en fonction du temps à l’aide de Dans le corrigé donné, on nous donne les valeurs mesurées par Taylor sur les images de la figure 1, ces valeurs sont données dans le premier des deux tableaux qui suivent.
AccueilLes calculs à l’aide de la formule sont donnés dans le deuxième tableau. Les résultats sont tout à fait concluants, toutes les valeurs mesurées se trouvent dans l’intervalle des valeurs Il nous manque cependant le principal, à savoir l’énergie dégagée lors de l’explosion. En utilisant les notations données et en isolant l’énergie E dans (6), on a : La valeur de C est inconnue et ne peut pas être déterminée avec ce que l’on a. Taylor, au cours d’une étude plus approfondie, a montré que cette constante dépendait du coefficient adiabatique de l’air γ et que sa valeur était proche de l’unité pour l’explosion atomique C = 0.856 et ainsi on obtient pour l’énergie dégagée, une valeur moyenne de 7.5 · 1013 Joules si on utilise les données de l’énoncé et de 5.75 · 1013 Joules si on utilise les photos que j’ai trouvées sur internet. Une tonne de TNT libère 4.184 · 109 J , donc dans le cas des photos de l’énoncé cela correspond à 18′ 000 tonnes de TNT et dans le second cas à 14′ 000 tonnes de TNT. La bombe a apparemment libéré l’équivalent de 20′ 000 tonnes de TNT. L’approximation est donc bonne. [1] Prof. Paolo Ricci Cours de physique avancée, EPFL 2018. [2] Prof. Christian Gruber Mécanique générale, EPFL 2001. [3] Prof. Georges Meylan Cours de physique pour mathématiciens, EPFL 2007.
Accueil[4] Prof. Jean-Philippe Ansermet Mécanique, EPFL 2013.
Accueil
Accueil