Point matériel
Chariot et mur
Un chariot assimilable à un point matériel de masse m , est mobile sans frottement sur un plan horizontal ;
ce chariot est muni à son extrémité d’un ressort de raideur k pouvant se comprimer. Par l’intermédiaire
de ce ressort, le chariot, animé d’une vitesse v 0 , heurte un obstacle fixe (supposé de masse infinie) ; le
ressort se comprime alors, puis se détend, et le chariot repart en sens inverse. On admettra que le choc
est parfaitement élastique et que la longueur à vide du ressort est nulle.
Q1. Déterminer l’intervalle de temps ∆t pendant lequel le ressort reste en contact avec l’obstacle
(durée du choc), l’enfoncement maximal x max du ressort et la force maximale Fmax exercée par
Q2. Vérifier que le résultat obtenu à la question précédente conserve bien l’énergie mécanique du
Q3. Déterminer les expressions de ∆t , x max et Fmax dans la limite k → ∞.
où F correspond, dans ce modèle, à la force élastique exercée par le ressort.
Q5. Établir l’expression de la seconde loi de Newton, en calculant explicitement l’intégrale suivante
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Q4. Déterminer l’expression de la quantité de mouvement après le choc en fonction de la quantité
de mouvement avant le choc.
Série 10 – Ex.2 – 2023/2024 – Hogge
Le mouvement se fait selon Ox . Il n’est pas nécessaire d’utiliser les vecteurs, les signes plus et moins
vont suffire pour donner les directions des grandeurs vectorielles.
Pour le calcul de l’intervalle de temps on va utiliser la définition de l’impulsion qui est donnée par
pfinal − pinitial =
Dans le cas qui nous intéresse ne connait pas l’évolution de la force du ressort en fonction du temps,
c.-à-d. on ne connait pas F(t ). Par contre on connait la force moyenne durant le temps du choc. La
force du ressort est donnée par FR = −kx. C’est une fonction linéaire dont la valeur moyenne, selon Ox ,
2 . L’équation (1) devient :
−mv 0 − (+mv 0 ) = −2mv 0 = −
Le temps de collision est t = kx
Déterminer l’intervalle de temps ∆t pendant lequel le ressort reste en contact avec l’obstacle (durée
du choc), l’enfoncement maximal x max du ressort et la force maximale Fmax exercée par le ressort.
Au point x max , l’énergie cinétique est nulle donc :
L’enfoncement maximum est xmax =
− mv 02 = − kx max
La force est maximale en intensité lorsque l’enfoncement du ressort est maximum :
Vérifier que le résultat obtenu à la question précédente conserve bien l’énergie mécanique du système.
AccueilE cin f − E cini = ©https://michelsemon.ch L’enfoncement maximal x max peut être calculer en utilisant le théorème de l’énergie cinétique qui est : E méc = E cin + E pot = mv 2 + kx 2 = mv 2 + kx 2 = K L’énergie mécanique étant constante à tout moment avant, pendant et après le collision on peut donner à la constante lune valeurs de l’énergie mécanique choisie à n’importe quel moment. Par exemple on peut choisir une parmi les valeurs mv 02 ou kxmax Par exemple, si l’on substitue xmax dans la constante on a : Déterminer les expressions de ∆t , x max et Fmax dans la limite k → ∞. ©https://michelsemon.ch Déterminer l’expression de la quantité de mouvement après le choc en fonction de la quantité de mouvement avant le choc. Le choc est élastique donc il y a conservation d’énergie cinétique et de la quantité de mouvement avant et après le choc. On peut écrire Conservation quantité de mouvement ¡ ′ ¢2 1 ¡ ′ ¢2 Conservation énergie cinétique En transformant un peu, pour pouvoir exprimer les vitesses finales en fonction des valeurs du problème,
Accueilmv 2 + kx 2 = mv 02 = kx max Les forces du système, ou plûtot l’unique force, celle du ressort est une force conservative. Il y a donc conservation de l’énergie mécanique tout au long de la collision, de même qu’avant et après. On a donc : Les vitesses finales sont : Dans notre cas on peut poser V ≈ 0 et v = v 0 , ce qui donne : On peut calculer les limites pour M → ∞ et on a le résultat attendu : Établir l’expression de la seconde loi de Newton, en calculant explicitement l’intégrale suivante ∆p x = R0 F x dt Prenons par exemple la direction Ox : p f x − p i x = − kx A présent on peut poser : p f x − p i x = −kx · ∆t p(t + ∆t ) − p(t ) = −kx∆t En divisant par ∆t et en prenant la limite pour ∆t → 0 on a finalement la loi de Newton pour un ressort p(t + ∆t ) − p(t ) p(t + ∆t ) − p(t )
AccueilOn a le théorème de l’impulsion : ©https://michelsemon.ch où F correspond, dans ce modèle, à la force élastique exercée par le ressort. Il suffit de faire la même opération dans chacune des directions pour obtenir
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