Potentiel gravifique

Un corps pesant de masse m est posé en équilibre instable au sommet d’une demi-sphère de rayon r . Avec une perturbation minimale, il commence à glisser sans frottement. Q1. Ecrire les équations du mouvement (en coordonnées sphériques) sans les résoudre. ©https://michelsemon.ch Q2. Trouver le point D = (r D .θD , φD ) de décollement. Série 07 – Exercices 4 – 2023-24 Chute d’une bille sur une sphère Chute d’une bille sur une sphère Écrire les équations du mouvement (en coordonnées sphériques) sans les résoudre. Fig. 1 – Schéma de l’exercice. Le référentiel du laboratoire, dans lequel on travaille, est matérialisé par le repère Ox y z . Afin de simplifier le calcul des projections des forces, on fixe un repère associé sphérique dont l’origine est au point P de masse m . Ce repère est d’orientation directe et ses vecteurs de bases sont (er , eθ , eφ ). Les deux seules forces qui agissent sur le point matériel P sont la réaction de la demi-sphère N et la pesanteur P = mg. On commence par écrire les valeurs « brutes » des vitesses et des accélérations en coordonnées sphériques selon chacune des trois directions er , eθ et eφ . Chute d’une bille sur une sphère Expressions des vitesses et des accélérations en coordonnées sphériques ©https://michelsemon.ch Pour les vitesses on a : vφ = r φ̇ sin θ eφ Pour les accélérations on a ar = r¨ − r θ̇ 2 − r φ̇2 sin2 θ er aθ = r θ̈ + 2r˙θ̇ − r φ̇2 sin θ cos θ eθ aφ = (r φ̈ sin θ + 2r˙φ̇ sin θ + 2r θ̇ φ̇ cos θ) eφ Équations du mouvement L’expression vectorielle de la seconde loi de Newton est Les contraintes géométriques sont : La réécriture des accélérations en tenant compte de ces contraintes géométriques donne :

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Il n’y a pas de force à projeter selon eφ car la bille descend en suivant une ligne de longitude. Les projections des forces externes sur les vecteurs de bases er et eθ sont : Fr = (N − mg cos θ) er −mr θ̇ 2 = N − mg cos θ Les deux équations du mouvement recherchées sont r θ̈ − g sin θ = 0 Trouver le point D = (r D , θD , φD ) de décollement. La contrainte dynamique qui traduit le décollage de la bille de la sphère est obtenue lorsque la force de réaction N devient nulle. Donc, les équations du mouvement deviennent r θ̇ 2 − g cos θ = 0 r θ̈ − g sin θ = 0 La deuxième équation est facile à intégrer. En la multipliant par θ̇ on obtient r θ̈ θ̇ − g sin θ θ̇ = 0 La seconde équation implique que R2θ̇ + g cos θ est une constante. Cette grandeur étant une constante, elle est identique en tout point avant le décollage de la bille. En choisissant l’instant t = 0 c.-à-d. lorsque la vitesse angulaire θ̇ est nulle et que l’angle θ également, on La constante est g , donc + g cos θ − g = 0 De la première des deux équations du mouvement, on a r θ̇ 2 = g cos θ, donc + g cos θ − g = 0 + g cos θ − g = 0

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mr θ̇ 2 + N − mg cos θ = 0 ©https://michelsemon.ch Chute d’une bille sur une sphère Les secondes lois de Newton selon chacune des directions sont : Finalement, l’angle de décollage est Le point recherché est D = (r, arccos 32 , φ) avec φ ∈ [0; 2π]. Chute d’une bille sur une sphère

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