Frottement fluide

Frottement fluide, poussée d’Archimède Frottement fluide, poussée d’Archimède Une masse m1 est posée sur un plan incliné faisant un angle α avec l’horizontale. Cette masse subit une force de frottement sec avec la surface du plan incliné, ses coefficients de frottement sec statique et dynamique sont µs et µd , respectivement. Elle est attachée à l’aide d’un fil inextensible et d’une poulie sans masse à une deuxième masse m2 plongée dans un liquide. Cette deuxième masse subit une force F A due à la poussée d’Archimède et dirigée vers le haut, ainsi qu’une force de frottement visqueux Fvisqueux = −βv, avec v la vitesse de la masse m2 et β le coefficient de frottement visqueux. Fig. 1 – Schéma du problème. Q1 : Faites un schéma du problème à l’équilibre en indiquant les forces présentes et le repère Q2 : Déterminez la valeur minimale de la masse m 1 pour que celle-ci descende le long du plan Q3 : On suppose maintenant la masse m1 supérieure à la valeur trouvée au point précédent : a. Déterminez l’équation du mouvement de la masse m1 . b. Calculez la valeur de l’accélération qu’elle subit en fonction du temps. Quelle sera sa vitesse limite, en supposant la rampe assez longue pour qu’elle soit atteinte et ceci avant que la masse m 2 ne sorte du liquide ? On considérera l’origine du temps au moment où le système se met en mouvement : v 0 = v(0) = 0. Q1. Faites un schéma du problème à l’équilibre en indiquant les forces présentes et le repère choisi. Fig. 2 – Diagramme des forces. On nous demande faire ce diagramme à l’équilibre, donc la force de frottement sec sera dirigée vers le haut. Après avoir fait le diagramme des forces, on utilise la seconde loi de Newton (ma = i Fi ext ) sous sa forme vectorielle. Pour l’instant, on ne s’occupe pas des repères, mais uniquement de l’aspect vectoriel On peut partager le problème en deux sous-systèmes, S 1 et S 2 , associés respectivement aux masses m1 et m 2 . La tension dans le fil permettra de relier les deux systèmes. Pour le sous-système S 1 on peut écrire : m 1 a1 = T1 + N + m 1 g + F f ,1 m 2 a2 = T2 + F A + m 2 g − βv et pour le sous-système S 2 , On remarquera que toutes les grandeurs vectorielles ont été prises positivement sauf la force de frottement visqueuse. Ceci parce que la force de frottement visqueuse sera TOUJOURS opposée à la vitesse. On fera de même pour la force de rappel d’un ressort qui sera TOUJOURS opposée à la direction d’allongement de ce dernier. À présent on projette chacune des forces sur les repères choisis (voir Fig.2). Avant de poser les équations, on peut préalablement calculer la force de frottement sur le plan incliné. Celle-ci doit être considérée de deux manières différentes, l’une avec le coefficient statique µs et l’autre avec le coefficient dynamique Fd f ,1 = Nµd = m 1 g cos αµd ex Fs f ,1 = Nµs = m 1 g cos αµs ex Les diverses projections sont : m 1 ẍ 1 = T1 − m 1 g sin α + m 1 g cos αµd m 2 z̈ = T2 + F A − m 2 g − βż

Accueil

Le fil reliant les deux masses est inélastique et la poulie de masse nulle. Les contraintes reliant les deux systèmes sont donc : En combinant les systèmes en tenant compte des contraintes on obtient : m 1 ẍ 1 + m 1 g sin α − m 1 g cos αµd = −m 2 ẍ − F A + m 2 g − βẋ (m 1 + m 2 )ẍ + βẋ = −F A + m 2 g − m 1 g sin α + m 1 g cos αµd qui est l’équation du mouvement.

Accueil

Q2. Déterminez la valeur minimale de la masse m 1 pour que celle-ci descende le long du plan En l’absence de tout mouvement, l’équation 6 devient 1 : 0 = −F A + m 2 g − m 1 g sin α + m 1 g cos αµs Afin que la masse m 1 « descende », il faut que : m 1 g sin α > −F A + m 2 g + m 1 g cos αµs sin α − µs cos α 1. Il ne faut pas oublier de changer le coefficient de frottement dynamique contre le coefficient de frottement statique.

Accueil

Q3 : On suppose maintenant la masse m 1 supérieure à la valeur trouvée au point précédent : a. Déterminez l’équation du mouvement de la masse m1 . (Voir (6)). b. Calculez la valeur de l’accélération qu’elle subit en fonction du temps. Quelle sera sa vitesse limite, en supposant la rampe assez longue pour qu’elle soit atteinte, et ceci avant que la masse m2 ne sorte du liquide ? On considérera l’origine du temps au moment où le système se met en mouvement : v 0 = v(0) = 0. On commence par récrire l’équation du mouvement (6) de manière plus concise. On a (m 1 + m 2 )ẍ + βẋ = −F A + m 2 g − m 1 g sin α + m 1 g cos αµd . En posant C = −F A + m 2 g − m 1 g sin α + m 1 g cos αµd l’équation différentielle du mouvement devient (m 1 + m 2 )ẍ + βẋ = C De la réponse à la question 1, on voit que C < 0. Pour résoudre cette ED on pose ẍ = dv dt et ẋ = v. On a donc, On sépare les variables, −βv + C m 1 + m 2 On intègre à gauche et à droite, On applique la fonction exponentielle de chaque côté de l’égalité, Il faut à présent déterminer la valeur de K 1 . On sait que v(0) = 0, autrement dit que le système possède une vitesse nulle à l’instant t = 0. En substituant cette condition initiale dans l’ED, on obtient la valeur de la constante K 1 . La solution de l’ED est alors : L’accélération en fonction du temps est la dérivée de la fonction vitesse v(t ) :

Accueil

La vitesse limite est obtenue en effectuant la limite de la fonction vitesse pour t → ∞. C −F A + m 2 g − m 1 g sin α + m 1 g cos αµd

Accueil

Accueil