2 poulies et 2 masses

On considère la situation suivante avec deux poulies et deux masses où — les poulies sont de masse nulle, — la corde est de masse nulle et inextensible, — on néglige les frottements. Q1. Dessiner les forces qui agissent sur le système formé par les poulies et la corde. Quelles sont les forces Q2. Identifiez les forces extérieures agissant sur les systèmes formés par m A seule, m B seule et chacune des deux poulies seules. Q3. Exprimez la condition que la corde est inextensible. Q4. Trouvez l’accélération des masses A et B et déterminez la tension dans la corde. Indication : placez l’origine verticale au centre de la poulie a (pourquoi ?). Fig. 1 – Schéma de l’exercice. Les pou- lies sont sans masse et la corde également. De plus, cette dernière inextensible, donc sa longeur reste constante dans le Deux poulies et deux masses Série 04 – Exercices 4 – 2023-24 ©https://michelsemon.ch Deux poulies et deux masses Deux poulies et deux masses [Q1.] Dessiner les forces qui agissent sur le système formé par les poulies et la corde. Quelles sont les forces Fig. 2 – Forces agissant sur les parties du système. Les tentsions, notées T xx sont toutes d’intensités identiques. Si elles ne l’étaient pas, les poulies et la corde sur lesquelles elles agissent auraient des accélérations infinies vu leur absence T1c = T2c = T1a = T2a = T Si on considère les deux poulies et la corde ne formant qu’un seul système, les forces extérieures sur ce système unique, sont (voir Fig. 2) T1c , Ta , m A g et m B g. Les autres sont des forces internes au système. Q2. Identifiez les forces extérieures agissant sur les systèmes formés par m A seule, mB seule et chacune des deux poulies seules. Pour calculer les accélérations du bloc A et du bloc B séparément, il faut diviser le système global en deux sous-systèmes S a et S b comme indiqué à la Fig. 3. Fig. 3 – Le montage est séparé en deux sous-systèmes, S a et S b .

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©https://michelsemon.ch (Pour la raison vue à la Fig.2) ∥T1c ∥ + ∥T2c ∥ = ∥TA ∥ = 2 · ∥T∥ ∥TB ∥ = ∥T2a ∥ = ∥T∥. En appliquant la seconde loi de Newton à chacun des sous-systèmes, on a, sous une forme vectorielle) : m A ẍ A = T A + m A g ou encore m A ẍ A = 2 · T + m A g m B ẍB = TB + m B g ou encore mB ẍB = T + mB g On voit qu’il y a trop d’inconnue, il faut trouver la contrainte ou encore la liaison qui relie les deux systèmes. Dans notre cas, ce qui relie les deux systèmes est une contrainte cinématique. [Q3.] Exprimez la condition que la corde est inextensible. ( ! ! ! Drôle de phrase !) À présent il faut définir un système de coordonnées. On prend un seul axe Ox positif vers le haut (voir Fig. 4) centré au milieu de la poulie a . Il est préférable de prendre le centre de la poulie a car ce point est fixe. Le centre de la poulie b quant à lui sera accéléré, donc ce serait plus compliqué (mais pas impossible). La longueur de la corde est une constante dans ce problème autrement dit la corde ne se déforme pas sous l’action des diverses forces qui lui sont appliquées. Calculons la longueur de la corde en utilisant le graphique de la Fig. 4. ℓ = x A + πR + x A + πR + x B = 2 · x A + 2πR + x B L’intensité du vecteur accélération ẍ A est la dérivée seconde du vecteur position x A , de même, l’intensité de ẍB est la dérivée seconde de la position xB . En dérivant deux fois ℓ par rapport au temps, on obtient la contrainte entre les intensités des accélérations ẍ A et ẍ B ẍ B = −2 · ẍ A Q4. Trouvez l’accélération des masses A et B et déterminez la tension dans la corde. m A ẍ A = T A − m A g = 2T − m A g m B ẍ B = TB − m B g = m B ẍ B = T − m B g On a à présent la liaison entre les deux systèmes. En projetant les équations du mouvement sur Ox on obtient : Fig. 4 – Longueur de la corde, ℓ = 2 · x A + 2πR + x B .

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Deux poulies et deux masses On commence par définir les intensités des forces de tension de la manière suivante : ©https://michelsemon.ch En posant ẍ B = −2ẍ A on obtient m A ẍ A = 2T − m A g −2 · m B ẍ A = T − m B g Les solutions sont : Pour trouver la tension dans la corde, il suffit de reprendre les systèmes (3) et (4) et d’en isoler T : ©https://michelsemon.ch Quelques cas particuliers : — 1er cas : Si m A = 2mB . Dans ce cas on obtient logiquement ẍ A = ẍ B = 0, le système est à l’équilibre. La tension TB = T vaut mB g et la tension T A vaut 2T puisque m A vaut deux fois m B dans cette situation. — 2e cas : Si m A = 0. Le point x A subit une accélération vers le haut de 2 et la masse m B une accélération vers le bas de g . La tension T dans la corde est nulle. — 3e cas : Si m B = 0. Le point x B subit une accélération vers le haut de 2g et la masse m A une accélération vers le bas de g . La tension T dans la corde est nulle également. Deux poulies et deux masses

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