Frottement fluide

Projectile soumis à un frottement fluide Série 2 – Exercice 04 Enoncé – Projectile soumis à un frottement fluide Au temps t = 0, on lance un projectile de masse m depuis l’origine O d’un repère cartésien (O, ex , e y , ez ) associé à un référentiel d’inertie, de telle sorte à ce que le vecteur vitesse initiale v0 soit contenu dans le plan (O, ex , ez ) et qu’il fasse un angle α avec l’axe (O, ex ). Le projectile est soumis à une force de frottement de l’air du type (F = −bv) où b > 0. Q1. Établir l’équation du mouvement et la résoudre pour les composantes v x (t ) et v z (t ) de la vitesse. Q2. Déterminer le temps t max mis par le projectile pour atteindre sa hauteur de vol maximale. Comparer ce résultat avec le temps t 0max mis par le projectile pour atteindre sa hauteur de vol maximale en absence de SOLUTION – PROJECTILE SOUMIS À UN FROTTEMENT FLUIDE Solution – Projectile soumis à un frottement fluide Le référentiel est la Terre et le système de coordonnées est décrit dans l’énoncé. On part à nouveau de la deuxième Loi de Newton : Cette fois-ci, il y a une en plus de l’attraction terrestre, une force de frottement qui s’oppose au mouvement et qui est proportionnelle à l’intensité de la vitesse. Le facteur de proportionnalité de cette force est b . L’équation vectorielle décrivant le mouvement, est : En projetant cette équation sur les axes x et z on a : ma·ex = (−mg − bv)·ex ma·ez = (−mg − bv)·ez m z̈ = −mg − bv z En substituant ẍ = v̇ x et z̈ = v̇ z , on obtient les équations différentielles du mouvement : m v̇ z + mg + bv z = 0 Les solutions sont : La vitesse initiale v 0x est donnée par v 0 cos α, donc : v x (t ) = v 0 cos α · e − τ Cela signifie que plus le temps passe, plus la vitesse horizontale diminue. Pour t → ∞, elle sera nulle. La vitesse initiale v 0z est donnée par v 0 sin α, donc : v z (t ) = v 0 sin α · e − τ + g τ(e − τ − 1) Lorsqu’ t → ∞ on voit que la vitesse est constante et vaut : On obtient le même résultat en posant z̈ = 0 dans l’ED selon l’axe z : m v̇ z + mg + bv z = 0 =⇒ 0 + mg + bv z = 0 =⇒ v z = −g On prend les équations des vitesses (avec et sans frottement) selon la verticale. On les dérive et on regarde quelles valeurs t max annulent ces équations (l’objet aura une vitesse nulle au sommet de sa trajectoire).

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Cas avec frottement : L’équation pour la vitesse est v z (t ) = v 0 sin α · e − τ + g τ(e − τ − 1). Sa dérivée par rapport au v 0 sin α · e − τ + g τ(e − τ − 1) v 0 sin α · e − τ + g τe − τ − g τ = −g τ + e − τ (v 0 sin α + g τ) Cas sans frottement : On a v z = −g t + v 0 sin α, donc en posant v z = 0 : Pour passer de la situation avec frottement à celle sans frottement, on peut faire tendre τ vers l’infini. La définition b où b est un frottement. En l’absence de b , il est clair que τ → ∞. Donc, si on désire se compliquer un peu la vie, on peut calculer la limite suivante : t max = lim τ · ln 1 + Pour simplifier, posons v 0 sin Le numérateur et le dénominateur tendent vers zéro. On peut appliquer la règle de Bernouilli-L’Hopital : → L’Hopital → lim K On obtient bien le résultat précédent t max = K = [1] Prof. Paolo Ricci Cours de physique avancée, EPFL 2018. [2] Prof. Christian Gruber Mécanique générale, EPFL 2001. [3] Prof. Georges Meylan Cours de physique pour mathématiciens, EPFL 2007. [4] Prof. Jean-Philippe Ansermet Mécanique, EPFL 2013.

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