Le chasse neige

Equations différentielles Enoncé – Le chasse-neige It starts snowing in the morning and continues steadily throughout the day. A snowplow that removes snow at a constant rate starts plowing at noon. It plows 2 miles in the first hour, and 1 mile in the second. What time did it start snowing ? ! ? ! Ce problème a été donné pour la première fois en 1942 par Ralph Palmer Agnew dans son livre Differentials equations dans la rubrique problème de maths impossible. SOLUTION – LE CHASSE-NEIGE Solution – Le chasse-neige On commence par fixer quelques grandeurs. L’origine du temps t = 0 (en heures) est fixée à midi, la hauteur de la neige à l’instant t est h(t ) (en cm). k est le taux des chutes de neige (en cm/heure), c’est une constante. T est la valeur recherchée, c.-à-d. l’heure du début des chutes de neige, T est donné en nombre d’heures avant midi. On a h ′ (t ) = k ou encore dh dt = k . La résolution de cette ED donne : dh = k · dt =⇒ h(t ) = k · t + C La constante d’intégration C est donnée par la condition initiale h(−T ) = 0. Autrement dit, la hauteur de neige est nulle à l’instant où il commence à neiger ! h(−T ) = 0 =⇒ 0 = −k.T + C =⇒ C = k · T =⇒ h(t ) = k · t + k · T. La fonction h(t ) est : Il faut à présent prendre quelques décisions concernant la modélisation du problème. Il semble logique de poser que la vitesse du chasse-neige est inversement proportionnelle à la hauteur de la couche de neige, autrement dit dt ∝ h(t ) . De plus, le taux de déneigement (en cm/heure) est constant. avec k1 , une constante de proportionnalité. On peut transformer l’expression en ne laissant qu’une seule constante K = kk1 , ce qui donne : L’intégration de cette ED donne dt =⇒ x(t ) = K · ln(t + T ) + C . On peut calculer la constante d’intégration avec la condition initiale x(0) = 0, autrement dit, la distance parcourue par le chasse-neige est nulle à midi. x(0) = 0 = K · ln(T ) + C =⇒ C = −K ln(T ) L’expression donnant la position du chasse-neige à l’instant t est : x(t ) = K · ln(t + T ) + C x(t ) = K · ln(t + T ) − K ln(T ) À présent on connaît deux informations supplémentaires concernant la position du chasse-neige. On sait que x(1) = 2 et que x(2) − x(1) = 1. Pour la première, on peut écrire et pour la deuxième (en utilisant les propriétés des logarithmes), on a x(2) − x(1) = 1 = K · ln https://prepa-maths-physique.ch De 5 et 6 on peut écrire : Par identification, on en déduit que =⇒ T 2 + T − 1 = 0 Le calcul donne T donne deux solutions dont on ne garde que la positive qui est T = −1+2 5 = 0.618. Transformé en minute et seconde cela nous donne T = 37min. Il a donc commencé à neiger à 11h23 du matin. [1] Prof. Paolo Ricci Cours de physique avancée, EPFL 2018. [2] Prof. Ch. Gruber Mécanique générale, EPFL 2001. [3] Prof. Georges Meylan Cours de physique pour mathématiciens, EPFL 2007. [4] Prof. J.-Ph. Ansermet Mécanique, EPFL 2014. https://prepa-maths-physique.ch https://prepa-maths-physique.ch