Algèbre linéaire
Rappel d’algèbre linéaire
Rappels d’algèbre linéaire
U N INTELLECTUEL ASSIS VA MOINS LOIN QU ’ UN CON QUI MARCHE .
http://mathsphysique.net 12 juillet 2026
Matrices remarquables
Somme et transposées de matrices
Propriétés du produit matricel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Forme échelonnée d’une matrice
Inverse d’une matrice élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forme échelonnée d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Applications des matrices élémentaires
Matrice échelonnée
Optimisation de processus de décomposition LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Exercices théoriques
Corrections des exercices théoriques
Corrections des exercices
Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Définition et exemple
Résolution d’un système par la méthode de Gauss
Forme matricielle du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Matrice augmentée du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Matrice échelonnée réduite du système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Substitution en retour de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Solution particulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Solution générale, solutions du système homogène associé . . . . 20
Résolution d’un système par décomposition LU
Résolution par décomposition LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Méthode de résolution par la matrices inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Des poulets et des lapins
Exercices théoriques
Solutions des exercices théoriques
Structures, espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Sous-groupes et homomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Homomorphisme de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Module sur un corps – Espace vectoriel
Exemples d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Espace vectoriel des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Espace vectoriel des matrices hermitiennes . . . . . . . . . . . . . 37
Combinaisons linéaires
Sous-espaces vectoriels
Générateurs, familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Somme et intersection de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Dépendance et indépendance linéaire
Base d’un espace vectoriel
Dimension d’un espace vectoriel
Sommes directes de sous-espaces vectoriels
3.10.1 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.10.2 Sommes directes et supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Exercices théoriques
Solutions des exercices théoriques
Applications linéaires
Noyau et image d’un homomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Opérations sur les homomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Comme l’indique le titre, cet écrit est un résumé. Il n’est pas destiné à être utilisé par des élèves
n’ayant jamais fait d’algèbre linéaire, au contraire il est nécessaire d’avoir déjà une idée de ce qu’il
Le cours s’adresse aux élèves du secondaire qui sont en options mathématiques renforcées et
aux élèves de première année d’une école supérieure (EPFL, MAN, HEC etc.) et à tous ceux qui
voudraient rafraîchir leurs connaissances.
Cela fait dix ans que je vois des élèves détesté cordialement l’algèbre linéaire. J’ai donc décidé
d’essayer de faire un cours un peu différent de ceux donnés dans les écoles actuellement. Je vais
essayer de donner une place primordiale à la compréhension intuitive, quitte à sacrifier un peu à la
rigueur mathématique tout en donnant des démonstrations précises des théorèmes et propriétés.
J’ai décidé de donner toutes les démonstrations sous forme d’exercice afin de laisser le champ libre
aux exemples, qui sont souvent plus parlants. Je ne veux en aucun cas dire que les démonstrations
sont secondaires, elles sont très importantes mais pas en première lecture, elles ne font qu’alourdir
L’algèbre linéaire est à la base des mathématiques de la mécanique quantique. C’est pourquoi
j’utiliserai dans ce résumé des notions et des définitions tirées de la mécanique quantique. Les
espaces vectoriels étudiés seront souvent des espace hilbertiens et les notations utilisées tirées de la
même mécanique quantique.
Pour des exercices semblables, il sera souvent utilisé différentes manières de résolution, ce pour
montrer la richesse et la diversité de l’algèbre linéaire.
Les exercices et la théorie proviennent de différentes sources, principalement du cours de mise-àniveau (MAN), du MOOC de l’EPFL, du cours d’algèbre linéaire avancé donné au étudiants de
physique à l’EPFL et des livres cités dans la biliographie.
Les prérequis sont la connaissance du calcul matriciel, des dérivées, de la géométrie analytique
simple et des opérations sur les polynômes.
Définition 1.1 — Matrice.
Une matrice est un tableau de nombres qui comporte des lignes et des colonnes.
Dimension d’une matrice
Définition 1.2 — Dimension d’une matrice.
La dimension d’une matrice indique le nombre de ses lignes m et le nombre de ses colonnes n
On écrit Mm×n (S) l’ensemble des matrices de tailles m × n à coefficients dans S.
Matrices remarquables
Matrices triangulaires
Somme et transposées de matrices
Définition 1.3 — Addition matricielle.
Pour deux matrices A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mm×n (R), on définit l’addition matricielle
1.4 Produit matriciel
A + B = C ∈ Mm×n (R) comme étant la matrice satisfaisant
(cij ) = (aij ) + (bij ),
ceci pour tout 1 ≤ i ≤ m et tout 1 ≤ j ≤ n.
Définition 1.4 — Multiplication par un scalaire.
Pour A ∈ Mm×n (R) et λ ∈ R, on définit la multiplication d’une matrice par un scalaire,
λA ∈ Mm×n (R) par
ceci pour tout 1 ≤ i ≤ m et tout 1 ≤ j ≤ n.
Définition 1.5 — Transposée d’une matrice.
Finalement, on définit la transposée d’une matrice A ∈ Mm×n (R) notée AT comme ceci :
et ce pour tout 1 ≤ i ≤ m et tout 1 ≤ j ≤ n.
On remarquera que AT ∈ Mn×m (R)
Soit A, B, C ∈ Mm×n (R), λ, µ ∈ R et 0 ∈ Mm×n (R), la matrice dont toutes les entrées sont
Les 3 opérations définies ci-dessus ont les propriétés suivantes :
A + (B + C) = (A + B) + C
λ(A + B) = λA + λB
(λ + µ)A = λA + µA
Soient A ∈ Mm×p (R) et B ∈ Mp×n (R). On définit le produit A · B ∈ Mm×n (R) comme étant
la matrice satisfaisant
1.5 Forme échelonnée d’une matrice
Propriétés du produit matricel
Soit A, B ∈ Mm×p (R), C, D ∈ Mp×q (R), E ∈ Mq×n (R), λ ∈ R, et soit Ip la matrice diagonale
unité. Le produit matriciel a les propriétés suivantes :
λ(AC) = (λA)C = A(λC)
0a×m · A = 0a×p , A · 0p×r = 0m×r
Forme échelonnée d’une matrice
Types d’opérations I, II et III
Il y a 3 opérations élémentaires qui peuvent être effectuées sur les lignes 1 d’une matrices.
I Intervertir deux lignes.
II Multiplier une ligne par un scalaire.
III Additionner à une ligne un multiple d’une autre.
Matrices élémentaires
Définition 1.7 — Matrice élémentaire.
On appelle matrice élémentaire d’ordre n et de type I, II ou III toute matrice qui s’obtient en
appliquant une transformation élémentaire de type I, II ou respectivement III sur les lignes de
la matrice identité In .
Exemple 1.3 — Opération de type I.
Permutation de deux lignes :
(permutation des lignes 2 et 3)
Exemple 1.4 — Opération de type II.
Multiplication d’une ligne par un scalaire :
(multiplication de la ligne 4 par λ)
Exemple 1.5 — Opération de type III.
Additionner à une ligne un multiple d’une autre :
−λ 0 1 0 (enlever λ fois la première ligne à la troisième)
1. Pour la décomposition d’une matrice A en un produit de matrices triangulaires inférieure L et supérieure U , on
utilise également les matrices élémentaires pour agir sur les colonnes de la matrice identité pour calculer la matrice L.
1.5 Forme échelonnée d’une matrice
Lorsque l’on veut manipuler les colonnes d’une matrice on peut le faire en la multipliant à droite
par une matrice élémentaire.
Lorsque l’on veut manipuler les lignes d’une matrice, on la multiplie à gauche par une matrice
Exemple 1.6 On désire échanger les lignes d’une matrice :
Exemple 1.7 On désire échanger les colonnes d’une matrice :
Exemple 1.8 On désire soustraire 2 fois la première ligne de la deuxième :
−2 1 0 . 2 3 6 = 0 −5 2
Exemple 1.9 On désire multiplier la 2ème ligne d’une matrice par 21 :
0 1 0 . 2 3 6 = 1 3 3
Inverse d’une matrice élémentaire
Il suffit d’inverser l’unique opération faite :
Forme échelonnée d’une matrice
Toute matrice peut être transformée en une matrice échelonnée (ou échelonnée réduite) au moyen
des opérations élémentaires I, II et III vue en 1.5.1.
1.6 Applications des matrices élémentaires
Une matrice est dite échelonnée (en lignes) si le nombre de zéros précédant la première valeur
non nulle d’une ligne augmente ligne par ligne jusqu’à ce qu’il ne reste éventuellement plus que
On appelle pivot le premier élément non nul d’une ligne d’une matrice échelonnée.
Une matrice est dite échelonnée réduite si les pivots sont égals à 1.
Exemple 1.10 — Matrice échelonnée.
Exemple 1.11 — Matrice échelonnée réduite.
Applications des matrices élémentaires
La mise d’une matrice à sa forme échelonnée permettra de résoudre des systèmes d’équations
linéaire (voir Chapitre 2).
Matrice échelonnée
Voici un exemple d’échelonnage d’une matrice carrée à l’aide des opérations de type I, II et III.
Exemple 1.12 Soit la matrice carrée A.
La première opération est de type III, on enlève 2 fois la première ligne à la deuxième, l’opération
L(2,1) (−2) = −2 1 0
1.7 Matrice échelonnée
L’opération est :
L(2,1) (−2) · A =
La deuxième opération consiste à additionner la première ligne à la deuxième (Type III) donnée par
L(3,1) (1) · L(2,1) (−2) · A =
La troisième opération soustrait la ligne 2 de la ligne 3, donc L(3,2)(−1) ,
L(3,2)(−1) · L(3,1) (1) · L(2,1) (−2) · A =
1 0 · 0 1 1
Cette dernière matrice, E, est la forme échelonnée de A.
La forme échelonnée réduite est obtenue avec des opérations de type II :
= 0 1 0 · 0 1 0 · 0 1 1
On va décomposer une matrice A en un produit de deux matrices, l’une triangulaire inférieure et
l’autre triangulaire supérieure. On va utiliser les matrices élémentaires. Commençons par regarder
ce qui se passe, on part de A, une matrice pas forcément carrée. On la rend triangulaire supérieure
(∀i > j, ai,j = 0) à l’aide d’opérations élémentaires Ei sur les lignes,
En … · E2 · E1 · A = U
1.8 Exercices théoriques
En multipliant l’expression ci-dessus par l’inverse de En … · E2 · E1 , on obtient :
(En … · E2 · E1 )−1 (En … · E2 · E1 ) · A = (En … · E2 · E1 )−1 · U
A = E1−1 · E2−1 … · En−1 · U = LU
avec L = E1−1 · E2−1 … · En−1 , qui sera la matrice triangulaire inférieure (∀i < j,
Exemple 1.13 — Décomposition LU.
Optimisation de processus de décomposition LU
Afin d’accélérer le processus de calcul on va calculer de manière simultanée les matrices U et L.
L’idée est la suivante, à chaque
Exercices théoriques
Corrections des exercices théoriques
Corrections des exercices
2. Systèmes d’équations linéaires
Définition et exemple
Définition 2.1 — Equation linéaire. Une équation linéaire est une équation de la forme
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b
où a1 ..an , b sont des coefficients réels ou complexes et x1 …xn les inconnues.
On remarque que chaque monôme ne contient qu’une inconnue, que cette dernière est l’unique
représentant (l’équation linéaire est réduite) et que le degré de chaque inconnue est de 1.
La constante b peut prendre n’importe quelle valeur, car on ne demande pas à une équation
linéaire d’être un sous-espace vectoriel.
Définition 2.2 — Système d’équations linéaires. Un système d’équations linéaires est un
système d’équations constitué d’équations linéaires qui portent sur les mêmes inconnues.
2×1 + 3×22 + x3 = −1
Résolution d’un système par la méthode de Gauss
Le système à résoudre est le suivant :
+2y +2z +5u +2v = 11
−2x −4y −z −7u +v = −1
−x −2y −z −4u +v
2.2 Résolution d’un système par la méthode de Gauss
Forme matricielle du système
On commence par écrire le système sous forme matricielle AX = B :
z = 11
−2 −4 −1 −7 1 −1
−1 −2 −1 −4 1
La matrice A est de dimension 4 × 5, les inconnues (X) forment une matrice colonne 5 × 1 et la
solution (B) une matrice colonne 4 × 1. On voit que les dimensions correspondent.
(4 × 5) · (5 × 1) = (4 × 1)
Sous cette forme il est difficile de déterminer si le système est compatible (si il a des solutions) ou
si il est incompatible (absence de solution). On le met sous la forme d’une seule et unique matrice
de type [AB]. On appelle [AB] la matrice augmentée.
Matrice augmentée du système
La matrice augmentée [AB] est :
−2 −4 −1 −7 1
−1 −2 −1 −4 1
−2 −4 −1 −7 1 −1
−1 −2 −1 −4 1 0
Par des opérations sur les lignes, on va former à présent la matrice échelonnée réduite (pivots=1).
Matrice échelonnée réduite du système linéaire
Élimination de Gauss
On commence par enlever la première ligne de la deuxième (L2 − L1 ) puis on ajoute deux fois
la première à la troisième (2L1 + L3 ) et une fois la première à la quatrième (L1 + L4 ). On peut
effectuer ces opérations à l’aide de matrices élémentaires (cela évite beaucoup d’erreurs de calcul !).
L’utilisation des matrices élémentaires demande cependant une certaine expérience.
−1 1 0 0 1
0 0 1 1 0 2
2 0 1 0 . −2 −4 −1 −7 1 −1 = 0 0 1 1 5 17
−1 −2 −1 −4 1 0
À présent, on enlève la deuxième ligne à la troisième (L3 − L2 ) :
0 1 0 0 0 0 1 1 0 2 0 0
0 −1 1 0 . 0 0 1 1 5 17 = 0 0
On divise la troisième ligne par cinq :
0 1 0 0 0 0 1
0 0 1 0 . 0 0 0
2.2 Résolution d’un système par la méthode de Gauss
On enlève trois fois la troisième ligne à la quatrième :
0 1 0 0 0 0 1 1 0 2 0
0 0 1 0 . 0 0 0 0 1 3 = 0
On a à présent la matrice sous sa forme échelonnée réduite. Les pivots valent 1 :
Substitution en retour de Jordan
Il s’agit à présent d’éliminer les valeurs non nulles dans les colonnes des pivots (qui ne sont pas les
pivots eux-mêmes cela va de soi).
On enlève la deuxième ligne à la première (L1 − L2 ) :
0 1 0 0 0 0 1 1 0 2 0
0 0 1 0 . 0 0 0 0 1 3 = 0
Finalement, on enlève deux fois la troisième ligne à la première (L1 − 2L3 ) :
0 1 0 0 0 0 1 1 0 2 0 0 1 1 0
0 0 1 0 . 0 0 0 0 1 3 = 0 0 0 0 1
La matrice, grâce à laquelle on va pouvoir trouver les solutions, est :
0 0 0 0 1 3 ou également 0 0 0 0
Lecture des solutions
Solution particulière
On a le système linéaire :
On note que le système est compatible, le rang de la matrice [A] est 3 (il y a trois colonnes indépendantes qui sont 1,3 et 5) et le rang de la matrice augmentée [AB] est 3 également (le vecteur B ne
“rajoute” pas de dimension supplémentaire).
2.2 Résolution d’un système par la méthode de Gauss
On déduit que la solution sera de dimension 3. Une solution particulière est donnée par la matrice
On peut vérifier que :
11
−2 −4 −1 −7 1 . 2 = −1
−1 −2 −1 −4 1
Solution générale, solutions du système homogène associé
On est en présence d’un système compatible. Notre système est formé de 4 équations à 5 inconnues,
c’est donc un système qui possède une infinité de solutions. On a déjà une solution particulière, il
s’agit à présent de trouver la solution générale qui sera formée de la solution particulière à laquelle
on ajoutera la solution du système homogène associé.
On raisonne de la manière suivante :
Les colonnes 2 et 4 sont des combinaisons linéaires des colonnes 1, 3 et 5 on peut donc les combiner toutes ces colonnes afin d’obtenir la colonne nulle. Ajouter une colonne nulle à la solution
particulière ne la change pas. On va donc rechercher l’ensemble des solutions du système linéaire
homogène associé en d’autres mots on va rechercher l’ensemble des solutions qui donnent la
matrice colonne nulle.
La matrice augmentée du système homogène associé est :
0 0 1 1 0 | 0
0 0 0 0 1 | 0
Le vecteur nul est la solution triviale du système, mais on peut trouver d’autres solutions :
1. Avec les colonnes 1 et 2 on peut former une colonne de zéros en additionnant deux fois la
première colonne avec l’opposé de la deuxième :
−2 −4 −1 −7 1 . 0 = 0
−1 −2 −1 −4 1
2.2 Résolution d’un système par la méthode de Gauss
2. Avec les colonnes 1, 3 et 4 on peut construire une combinaison nulle en additionnant 3 fois
la première, puis la troisième et en soustrayant la quatrième :
−2 −4 −1 −7 1 . 1 = 0
−1 −2 −1 −4 1
3. Toutes les autres solutions possibles seront combinaisons linéaires des deux trouvées cidessus. La solution du système homogène associé est :
Sh = + α 0 + β 1 = α 0 + β
Par la suite, on appelle ce sous-espace vectoriel le noyau de la matrice. Il est très important de
comprendre que la solution générale d’un système linéaire n’est pas un ensemble de vecteurs,
mais l’espace généré par ces derniers. On peut remarquer que les solutions du système homogènes
forment un sous-espace vectoriel, car le vecteur nul en fait partie.
La solution complète est la somme d’une solution particulière avec la solution du système homogène
associé, c’est à dire :
avec α, β ∈ R.
S = 2 + α 0 + β
Géométriquement parlant l’interprétation du résultat est difficile, car on se trouve dans , R5 mais on
peut cependant prétendre par analogie que la solution est un plan.
Posons α = 1012 et β = −2345, on a la solution :
0 −1012
2 + 1012 0 − 2345 1 = −2343
−1 2345
2.3 Résolution d’un système par décomposition LU
. −2343 = 11 .
−2 −4 −1 −7 1
−1 −2 −1 −4 1
Résolution d’un système par décomposition LU
Soit le système linéaire :
Pour résoudre ce système d’équations linéaires, on peut également utiliser la décomposition de
la matrice A en un produit de deux matrices LU appellées respectivement matrice triangulaire
inférieure (lower) et matrice triangulaire supérieure (upper).
L’idée est la suivante :
1. On commence par transformer A en un produit de matrices triangulaire inférieure (L) et
triangulaire supérieure (U ). En appliquant cette transformation au système linéaire (2.3) , on
A = LU =⇒ LU x = b.
on obtient le système
que l’on peut résoudre en “descendant”.
3. Une fois que l’on a calculé la matrice colonne y, il suffit de résoudre le système
Si on observe bien, cette méthode est une variante de la méthode de Gauss.
Résolution par décomposition LU
Méthode de résolution par la matrices inverses
Définition 2.3 — Matrice inverse. defi
Des poulets et des lapins
Voyons une autre manière d’aborder la résolution d’un système d’équations linéaires à l’aide d’un
exemple très rural !
Soit un enclos avec des lapins et des poulets : On compte 10 têtes et 30 pattes en tout, combien y
a-t-il de lapins (y) et combien y a-t-il de poulets (x ?
2.4 Des poulets et des lapins
Le système à résoudre est donc :
La réponse est bien entendu x = y = 5.
Les lignes du système sont géométriquement parlant les équations des droites y = 10 − x et
2 , dont l’intersection est le point (5, 5).
2.5 Exercices théoriques
Exercices théoriques
Exercice 2.1 Voir la solution
Solution de l’exercice 2.1 Retour à l’énoncé
Exercice 2.2 Voir la solution
Solution de l’exercice 2.2 Retour à l’énoncé
Solutions des exercices théoriques
Exercice 2.3 Voir la solution
Déterminer si les équations suivantes sont linéaires ou non.
1. 2×1 − 4×2 x3 + 5×4 = √37 .
2. −πx1 + 5×2 − eiπ x3 = −2.
Solution de l’exercice 2.3 Retour à l’énoncé
Exercice 2.4 Voir la solution
Représenter graphiquement dans l’espace R3 les solutions de chaque équation ou système :
−x − 3y + 2z = 1
Solution de l’exercice 2.4 Retour à l’énoncé
Exercice 2.5 Voir la solution
2 − t , t ∈ R est-il solution du système linéaire suivant ?
Solution de l’exercice 2.5 Retour à l’énoncé
On voit que l’ensemble donné forme une droite passant par le point (1, 2, −1) et dont un vecteur
directeur est (1, −1, 2)T . C’est donc une solution de dimension 1.
La matrice augmentée du système est :
La méthode d’élimination de Gauss et la substitution en retour de Jordan nous donne :
De là on peut lire la solution qui est l’unique point (1, 2, −1). L’ensemble donné n’est donc pas
solution du système.
On voit que la matrice réduite possède 3 pivots donc, la dimension de l’espace des colonnes est
de 3. La solution est donc unique et de dimension 0 (point). Géométriquement parlant il s’agit
de l’intersection de trois plans sécant deux à deux, autrement dit la solution du système donné
est un point et non un plan.
Exercice 2.6 Voir la solution
Montrer que les trois ensembles suivants sont identiques :
y ∈ R3 , x − y + 2z = 1 ,
s + 2t , s, t ∈ R ,
2 + 3s + t , s, t ∈ R
Solution de l’exercice 2.6 Retour à l’énoncé
L’ensemble E est un plan ne passant pas par l’origine. On commence par trouver une solution
particulière que l’on peut choisir de manière arbitraire, le point (1, 0, 0) convient parfaitement.
A présent on cherche les solutions du système homogène associé. Ce système est donné par la
Cette matrice échelonnée ne contenant qu’un seul pivot, on va choisir des valeurs pour les
variables liées y et z. Soit z = β et y = α. Donc, x = α − 2β. De manière général on a donc
pour solution du système homogène associe le plan passant par l’origine d’équation :
Sh = α = α1 + β 0 avec α, β ∈ R.
La solution générale est composée d’une solution particulière et de la solution du système
homogène associé :
S = 0 + α 1 + β 0 avec α, β ∈ R.
Les ensembles F et G sont également des plans. On peut les récrire de la manière suivantes :
F = 0 + s1 + t2 avec s, t ∈ R.
G = 2 + s 3 + t 1 avec
En regardant bien, on voit que les 2 premiers vecteurs colonnes des deux ensembles F et
G appartiennent à E. Le produit vectoriel des deux vecteurs générant les plans F et G sont
respectivement (1, −1, 2)T et (2, −2, 4)T . Ces deux vecteurs sont colinéaire et correspondent
au vecteur normal de E qui est (1, −1, 2)T .
Ces ensembles sont tous identiques.
Exercice 2.7 Voir la solution
Sur une feuille abîmée, on arrive à lire (en partie) le système suivant :
2x + y + z − t = 3
⊔x − 3y + ⊔z + ⊔t = −2
5x − 2y + 3z + t = 1
Les coefficients symbolisés par ⊔ n’ont pu être déchiffré. Un peu plus bas sur la feuille, on arrive
à lire (toujours en partie) la description sous forme paramétrique de l’ensemble des solutions :
En partant du principe que la solution rédigée sur la feuille est juste, reconstituer le système
proposé ainsi que la description de l’ensemble des solutions.
Solution de l’exercice 2.7 Retour à l’énoncé
Pour cet exercice, on va utiliser la méthode “brute”. On remarque que la solution du système
nous fourni les valeurs de y et de t. En substituant ces valeurs dans la première et la troisième
équation du système, on obtiendra deux équations à deux inconnues (x et z). Par la suite il
suffira d’ajuster les coefficients de la deuxième équation.
La solution abîmée nous donne les valeurs de y = (1 + u − v) et t = −2 − u + 2v. On substitue
ces valeur dans les premières et troisième équations du système. Ce qui donne les deux équations
2u − 3v + 2x + z + 3 = 3
− 3u + 4v + 5x + 3z − 4 = 1.
On peut former le système :
La résolution pour x et z donne x = −5 − 9u + 13v et z = 10 + 16u − 23v.
A présent il faut s’occuper de l’équation abîmée ⊔x − 3y + ⊔z + ⊔t = −2, que l’on récrit en
introduisant les coefficients a, b, c des inconnues x, z, t respectivement.
ax − 3y + bz + ct = −2
On connaît x, y, z et t, on remplace :
a(−5 − 9u + 13v) − 3(1 + u − v) + b(10 + 16u − 23v) + c(−2 − u + 2v) = −2
et on réécrit de manière judicieuse !
(−5a + 10b − 2c − 1) + (−9a + 16b − c − 3)u + (13a − 23b + 2c + 3)v = 0
Cette équation doit être valable pour toutes le valeurs de u et v donc, par identification, toute les
parenthèse doivent s’annuler et on peut poser le système :
−5a + 10b − 2c = 1
−9a + 16b − c = 3
13a − 23b + 2c = −3
La solution de ce système est a = 3, b = 2 et c = 2.
En remplaçant ces valeurs dans l’équation abîmée on le système original :
2x + y + z − t = 3
3x − 3y + 2z + 2t = −2
5x − 2y + 3z + t = 1
Exercice 2.8 Voir la solution
Résoudre le système d’équations ci dessous. On discutera selon la valeur de m ∈ R :
−x + y − 2z = −3
Solution de l’exercice 2.8 Retour à l’énoncé
La matrice augmentée du système est :
−1 1 −2 −3
On la réduit à la forme échelonnée à l’aide de matrices élémentaires :
+1 1 0 · −1 1 −2 −3 = 0 1
0 1 0 · 0 1
a.) Si m est différent de 16, il n’y aura de solution que si z = 0. En posant z = 0, on obtient
y = −1 et x = 2. On a donc une seule solution qui est :
b.) Par contre, si m = 16, on commence à chercher une solution particulière à partir de la
matrice augmentée :
On peut choisir la solution précédemment trouvée mais également par exemple en posant
z = 1, on obtient y = −4 et x = −3.
La solution du système homogène associé est obtenu à partir de la matrice augmentée :
En posant z = γ, on obtient y = −3γ et x = −5γ. La solution du système homogène
x0 = γ · −3 avec γ ∈ R.
La solution complète est la somme des deux solutions x0 + xp c’est à dire :
x = −4 + γ · −3 avec γ ∈ R.
3. Structures, espaces vectoriels
Définition 3.1 — Loi de composition interne.
Une loi de composition interne sur un ensemble E est une application
Définition 3.2 — Groupe.
Un groupe est un ensemble G muni d’une loi de composition interne ⊕ qui est associative,
pour laquelle il existe un élément neutre et telle que chaque élément de G admet un inverse. Un
groupe a les propriétés suivantes :
G1 : (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z), ∀x, y, z ∈ G (associativité.)
G2 : ∃e ∈ G : e ⊕ x = x ⊕ e = x, ∀x ∈ G (e est l’élément neutre).
G3 : ∀x ∈ G, ∃x′ : x ⊕ x′ = x′ ⊕ x = e. (inverse, noté x−1 ou −x selon les cas.)
Un groute est noté (G, ⊕).
Définition 3.3 — Groupe abélien.
Le groupe (G, ⊕) est dit groupe abélien si ⊕ est une loi de composition interne commutative.
Exemple 3.1 (R, +) et (R∗ , ·) sont des groupes.
Exemple 3.2 La règle des signes
Proposition 3.1 L’élément neutre dans un groupe est unique. De plus chaque élément d’un
groupe possède un unique inverse.
Sous-groupes et homomorphismes
3.2 Anneaux et corps
Définition 3.4 — Sous-groupe.
Un sous-ensemble H d’un groupe (G, ⊕) est un sous-groupe si c’est lui-même un groupe pour
Proposition 3.2 Soit (G, ⊕) un groupe. Un sous-ensemble H ⊂ G est un sous groupe si et
seulement si les conditions suivantes sont satisfaites :
2. x, y ∈ H ⇒ x ⊕ y ∈ H.
3. x ∈ H ⇒ x′ ∈ H.
Exemple 3.3 Voir exercices.
Homomorphisme de groupe
Définition 3.5 — Homomorphisme de groupes.
Si (H, ×) et (G, ⊕) sont deux groupes, alors une application f : H → G est un homomorphisme
de groupes (parfois on dit aussi un morphisme) si pour tous x, y ∈ H on a
f (x × y) = f (x) ⊕ f (y).
On dit que f est un isomorphisme de groupes si c’est un homomorphisme et que f est bijective.
Proposition 3.3 Si f : H → G est un homomorphisme de groupes. Notons eG , respectivement
eH , les éléments neutres de ces deux groupes. Alors
2. f x−1 = (f (x))−1 pour tout x ∈ H.
3. Im(f ) = f (H) = {f (x)|x ∈ H} ⊂ G
est un sous-groupe de G appelé l’image de f .
4. ker(f ) = {x ∈ H|f (x) = e} ⊂ H
est un sous-groupe de H appelé le noyau de f .
Définition 3.6 — Anneau.
Un anneau est un ensemble A muni de deux lois de composition internes, appelées addition et
multiplication et notées ⊕ et ⊙
et qui vérifient les 6 axiomes suivants pour tous x, y, z ∈ A :
A1 : L’addition est commutative : x ⊕ y = y ⊕ x.
A2 : L’addition est associative : (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z).
A3 : Il existe un élément neutre pour l’addition : ∃0⊕ ∈ A tel que x + 0⊕ = x.
A4 : Tout élément de l’anneau possède un élément opposé :
∀x ∈ A, ∃(−x) ∈ A
x ⊕ (−x) = 0⊕ .
A5 : La multiplication est associative : x ⊙ (y ⊙ z) = (x ⊙ y) ⊙ z.
A6 : La multiplication est distributive par rapport à l’addition :
x ⊙ (y ⊕ z) = x ⊙ y ⊕ x ⊙ z
(x ⊕ y) ⊙ z = x ⊙ z ⊕ y ⊙ z.
L’anneau se note (A, ⊕, ⊙).
Les points A1 à A4 de la définition ci-dessus, font de (A, ⊕) un groupe abélien.
Définition 3.7 — Anneau unitaire.
L’anneau (A, ⊕, ⊙) est dit unitaire s’il existe un élément neutre 1⊙ pour la multiplication (1⊙
doit être différent de l’élément neutre 0⊕ )
x ⊙ 1⊙ = 1⊙ ⊙ x = x, ∀x ∈ A.
Définition 3.8 — Anneau commutatif. L’anneau est dit commutatif si la multiplication est
Exemple 3.4 — L’ensemble Z.
Définition 3.9 — Corps.
Un corps est un anneau (K, ⊕, ⊙) commutatif unitaire tel que tout élément non nul possède un
inverse pour la multiplication. On a donc les 7 axiomes précédents et aussi
K8 : x ⊙ y = y ⊙ x, ∀x, y ∈ K
K9 : ∀x ∈ K\{0} = K ∗ , ∃x−1 tel que
x ⊙ x−1 = 1⊙ .
Notations ! Dans un souci de clarté dans les notations, les opérations dans les anneaux, jusqu’ici
définies par ⊕ et ⊙, seront notées + et ·. Les opérations ⊕ et ⊙ deviendront les symboles
désignant les opérations entre les éléments du module.
En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, au sein des structures algébriques, «
un module est à un anneau ce qu’un espace vectoriel est à un corps » : pour un espace vectoriel,
l’ensemble des scalaires forme un corps tandis que pour un module, cet ensemble est seulement
muni d’une structure d’anneau unitaire, pas nécessairement commutatif (on considérera qu’il l’est).
Définition 3.10 — A-module.
Soit A un anneau unitaire. Un module sur A (A-module) est la donnée (M, ⊕, ⊙) d’un ensemble
M , muni d’une loi de composition interne,
⊕ : M × M −→ M
qui fait de M un groupe abélien et d’une loi de composition externe
⊙ : A × M −→ M
vérifiant, pour tous éléments a, b ∈ A et x, y ∈ M , les propriétés suivantes
M1 : a ⊙ (x ⊕ y) = a ⊙ x ⊕ a ⊙ y
3.4 Module sur un corps – Espace vectoriel
M2 : (a + b) ⊙ x = a ⊙ x ⊕ b ⊙ x
M3 : (a · b) ⊙ x = a ⊙ (b ⊙ x)
Algèbre sur un anneau
Définition 3.11 — Algèbre sur un anneau.
Soient (A, +, ·) un anneau commutatif et (E, ⊕, ⊙) un A-module muni d’une opération binaire :
(x, y) 7→ x ⋆ y.
Si cette opération binaire est bilinéaire, c’est-à-dire que pour tous x, y, z ∈ E et a ∈ A, on a
1. (x ⊕ y) ⋆ z = (x ⋆ z) ⊕ (y ⋆ z),
2. x ⋆ (y ⊕ z) = (x ⋆ y) ⊕ (x ⋆ z),
3. (a ⊙ x) ⋆ y = a ⊙ (x ⋆ y) = x ⋆ (a ⊙ y)
alors E est une algèbre sur A ou A-algèbre.
L’opération bilinéaire est appelé la multiplication dans l’algèbre E.
Morphisme d’algèbre
Un morphisme entre deux A-algèbres E et F est un morphisme f : E → F pour les lois internes
(addition et multiplication) et le produit par des scalaires :
f (x ⊕ y) = f (x) + f (y), f (x ⋆ y) = f (x) ⋆ f (y) et f (a ⊙ x) = a ⊙ f (x)
x, y ∈ E et a ∈ A.
Module sur un corps – Espace vectoriel
Lorsque dans la définition 3.10, A est un corps commutatif, E est un espace vectoriel sur A.
On notera K pour A et V pour E.
Définition 3.12 — K-espace vectoriel.
Soit K un corps commutatif. Un espace vectoriel sur K (K-espace vectoriel) est la donnée
(V, ⊕, ⊙) d’un ensemble V , muni d’une loi de composition interne,
⊕ : V × V −→ V
qui fait de (V, ⊕) un groupe abélien et d’une loi de composition externe
⊙ : K × V −→ V
vérifiant, pour tous éléments a, b ∈ K et u, v ∈ V , les propriétés suivantes
EV1 : a ⊙ (u ⊕ v) = a ⊙ u ⊕ a ⊙ v
EV2 : (a + b) ⊙ u = a ⊙ u ⊕ b ⊙ u
EV3 : (a · b) ⊙ u = a ⊙ (b ⊙ u)
K est de manière générale soit le corps des réels R, soit le corps des nombres complexes C.
3.4 Module sur un corps – Espace vectoriel
Lorsque toutes ces propriétés sont vérifiées, les éléments de V sont appelés des vecteurs (au sens
Dans les exemples qui suivent on va voir que les vecteurs peuvent être des objets mathématiques
Exemples d’espaces vectoriels
Dans l’espace vectoriel C2 on peut définir les couples (vecteurs)
C2 = {(z1 , z2 ) : z1 , z2 ∈ C}.
Dans l’espace vectoriel R3 on peut définir les triplets (vecteurs)
R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R}.
De manière générale on peut définir des n-uplets sur Kn 1 :
Kn = {(x1 , x2 , …, xn ) : xi ∈ K
On distingue les espaces vectoriels réels lorsque K = R et les espaces vectoriels complexes lorsque
En principe, on ne s’occupe pas de connaître le type des composantes des vecteurs. Mais il est
certain que pour vérifier la stabilité de la multiplication par un scalaire, le type des composantes
doit être pris en compte. En effet, supposons que les composantes des vecteurs soient réels et
que le corps des scalaire soit complexe, alors la multiplication par un scalaire ne donnera pas une
opération stable, les composantes des vecteurs deviendront complexes.
Les n-uplets sont des listes (familles) de coordonnées (•, •, •, …, •). Dans une famille, l’ordre et la
taille importent. Par exemple :
(4, 4, 4, 4) ̸= (4, 4, 4)
Espace vectoriel « classique »
Soit l’espace vectoriel R3 sur le corps des réels R. Les vecteurs (familles) sont les triplets de réels
En reprenant les notations de la définition d’un espace vectoriel (3.12), on peut établir que :
— L’espace vectoriel V est l’espace R3 ,
— le corps K est R.
Les opérations sont définies ainsi :
— L’addition stable ⊕ est l’addition vectorielle coordonnée par coordonnée,
— l’opération de multiplication ⊙ est celle qui multiplie un vecteur par un scalaire,
— la multiplication entre réels est l’opération définie par · dans la définition et
— l’addition entre réels est l’opération définie par + dans la définition.
1. Rappel : K désigne l’ensemble R ou l’ensemble C
3.4 Module sur un corps – Espace vectoriel
Choisissons u = (u1 , u2 , u3 )T , v = (v1 , v2 , v3 ) et w = (w1 , w2 , w3 ) dans R3 ainsi que les
nombres réels a, b.
L’addition de deux vecteurs de R3 est stable :
u2 + v2 = u2 + v2
De même que l’opération de multiplication d’un vecteur de R3 par un scalaire de R également
λv2 = λv2
La commutativité est vérifiée car l’addition dans R est commutative,
u2 + v2 = u2 + v2 = v2 + u2 = v2 + u2 .
De même, pour l’associativité on a :
u2 + v2 + w2 = u2 + v2 + w2
= u2 + v2 + w2
= u2 + v2 + w2
L’élément neutre pour l’addition vectoriel est le vecteur nul (0, 0, 0)T .
0+u2 = u2 .
L’élément inverse pour l’addition est le vecteur formé de l’opposé de chaque composante
u2 +−u2 = 0.
L’élément neutre pour la multiplication par un scalaire est l’élément 1 ∈ R,
1u2 = u2 ,
3.4 Module sur un corps – Espace vectoriel
et finalement pour les règles de distributivités on a :
(a + b)u2 = au2 + bu2 .
Espace vectoriel des polynômes