Algèbre linéaire
Structures algébriques
1.1 Sous-groupes et homomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Module sur un corps – Espace vectoriel
4.1 Exemples d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Structures algébriques
Définition .1 — Loi de composition interne.
Une loi de composition interne sur un ensemble E est une application
Définition .2 — Groupe.
Un groupe est un ensemble G muni d’une loi de composition interne ⊕ qui est associative,
pour laquelle il existe un élément neutre et telle que chaque élément de G admet un inverse.
Un groupe a les propriétés suivantes :
G1 : (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z),
∀x, y, z ∈ G (associativité.)
G2 : ∃e ∈ G : e ⊕ x = x ⊕ e = x,
∀x ∈ G (e est l’élément neutre).
∃x : x ⊕ x = x ⊕ x = e. (inverse, noté x −1 ou −x selon les cas.)
Un groute est noté (G, ⊕).
Définition .3 — Groupe abélien.
Le groupe (G, ⊕) est dit groupe abélien si ⊕ est une loi de composition interne commutative.
Exemple .1 (R, +) et (R∗ , ·) sont des groupes.
Exemple .2 La règle des signes, avec G = {+, −} et avec la loi de composition interne :
L’élément neutre est le signe + et chaque élément de l’ensemble est son propre inverse.
Proposition .1 L’élément neutre dans un groupe est unique. De plus chaque élément d’un
groupe possède un unique inverse.
Sous-groupes et homomorphismes
Définition .4 — Sous-groupe.
Un sous-ensemble H d’un groupe (G, ⊕) est un sous-groupe si c’est lui-même un groupe
Proposition .2 Soit (G, ⊕) un groupe. Un sous-ensemble H ⊂ G est un sous groupe si et
seulement si les conditions suivantes sont satisfaites :
2. x, y ∈ H ⇒ x ⊕ y ∈ H .
3. x ∈ H ⇒ x ′ ∈ H .
Homomorphisme de groupe
Définition .5 — Homomorphisme de groupes.
Si (H , ×) et (G, ⊕) sont deux groupes, alors une application f : H → G est un homomorphisme de groupes (parfois on dit aussi un morphisme) si pour tous x, y ∈ H on a
f (x × y) = f (x) ⊕ f (y).
On dit que f est un isomorphisme de groupes si c’est un homomorphisme et que f est
Proposition .3 Si f : H → G est un homomorphisme de groupes. Notons e G , respectivement
e H , les éléments neutres de ces deux groupes. Alors
2. f x −1 = ( f (x))−1 pour tout x ∈ H .
3. Im( f ) = f (H ) = { f (x)|x ∈ H } ⊂ G
est un sous-groupe de G appelé l’image de f .
4. ker( f ) = {x ∈ H | f (x) = e} ⊂ H
est un sous-groupe de H appelé le noyau de f .
Définition .6 — Anneau.
Un anneau est un ensemble A muni de deux lois de composition internes, appelées addition et multiplication et notées ⊕ et ⊙
et ⊙ : A × A → A,
et qui vérifient les 6 axiomes suivants pour tous x, y, z ∈ A :
A1 : L’addition est commutative : x ⊕ y = y ⊕ x.
A2 : L’addition est associative : (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z).
A3 : Il existe un élément neutre pour l’addition : ∃0⊕ ∈ A tel que x + 0⊕ = x.
A4 : Tout élément de l’anneau possède un élément opposé :
∀x ∈ A, ∃(−x) ∈ A
tel que x ⊕ (−x) = 0⊕ .
A5 : La multiplication est associative : x ⊙ (y ⊙ z) = (x ⊙ y) ⊙ z.
A6 : La multiplication est distributive par rapport à l’addition :
x ⊙ (y ⊕ z) = x ⊙ y ⊕ x ⊙ z
et (x ⊕ y) ⊙ z = x ⊙ z ⊕ y ⊙ z.
L’anneau se note (A, ⊕, ⊙).
Les points A1 à A4 de la définition ci-dessus, font de (A, ⊕) un groupe abélien.
Définition .7 — Anneau unitaire.
L’anneau (A, ⊕, ⊙) est dit unitaire s’il existe un élément neutre 1⊙ pour la multiplication (1⊙
doit être différent de l’élément neutre 0⊕ )
U7 : ∃1⊙ ∈ A tel que 1⊙ ̸= 0⊕
et x ⊙ 1⊙ = 1⊙ ⊙ x = x, ∀x ∈ A.
Définition .8 — Anneau commutatif. L’anneau est dit commutatif si la multiplication est
Exemple .3 — L’ensemble Z.
Définition .9 — Corps.
Un corps est un anneau (K , ⊕, ⊙) commutatif unitaire tel que tout élément non nul possède
un inverse pour la multiplication. On a donc les 7 axiomes précédents et aussi
K8 : x ⊙ y = y ⊙ x,
K9 : ∀x ∈ K \{0} = K ∗ ,
tel que x ⊙ x −1 = 1⊙ .
Notations ! Dans un souci de clarté dans les notations, les opérations dans les anneaux,
jusqu’ici définies par ⊕ et ⊙, seront notées + et ·. Les opérations ⊕ et ⊙ deviendront les
symboles désignant les opérations entre les éléments du module.
En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, au sein des structures algébriques, « un module est à un anneau ce qu’un espace vectoriel est à un corps » : pour un espace
vectoriel, l’ensemble des scalaires forme un corps tandis que pour un module, cet ensemble
est seulement muni d’une structure d’anneau unitaire, pas nécessairement commutatif (on
considérera qu’il l’est).
Définition .10 — A-module.
Soit A un anneau unitaire. Un module sur A (A-module) est la donnée (M , ⊕, ⊙) d’un
ensemble M , muni d’une loi de composition interne,
⊕ : M × M −→ M
qui fait de M un groupe abélien et d’une loi de composition externe
⊙ : A × M −→ M
vérifiant, pour tous éléments a, b ∈ A et x, y ∈ M , les propriétés suivantes
M1 : a ⊙ (x ⊕ y) = a ⊙ x ⊕ a ⊙ y
M2 : (a + b) ⊙ x = a ⊙ x ⊕ b ⊙ x
M3 : (a · b) ⊙ x = a ⊙ (b ⊙ x)
Algèbre sur un anneau
Définition .11 — Algèbre sur un anneau.
Soient (A, +, ·) un anneau commutatif et (E , ⊕, ⊙) un A-module muni d’une opération
(x, y) 7→ x ⋆ y.
Si cette opération binaire est bilinéaire, c’est-à-dire que pour tous x, y, z ∈ E et a ∈ A, on a
1. (x ⊕ y)⋆z = (x ⋆z) ⊕ (y ⋆z),
2. x ⋆(y ⊕ z) = (x ⋆ y) ⊕ (x ⋆z),
3. (a ⊙ x)⋆ y = a ⊙ (x ⋆ y) = x ⋆(a ⊙ y)
alors E est une algèbre sur A ou A-algèbre.
L’opération bilinéaire est appelé la multiplication dans l’algèbre E .
Morphisme d’algèbre
Un morphisme entre deux A-algèbres E et F est un morphisme f : E → F pour les lois internes
(addition et multiplication) et le produit par des scalaires :
f (x ⊕ y) = f (x) + f (y), f (x ⋆ y) = f (x)⋆ f (y) et f (a ⊙ x) = a ⊙ f (x)
x, y ∈ E et a ∈ A.
Module sur un corps – Espace vectoriel
Lorsque dans la définition .10, A est un corps commutatif, E est un espace vectoriel sur A.
On notera K pour A et V pour E .
Définition .12 — K-espace vectoriel.
Soit K un corps commutatif. Un espace vectoriel sur K (K-espace vectoriel) est la donnée
(V, ⊕, ⊙) d’un ensemble V , muni d’une loi de composition interne,
⊕ : V × V −→ V
qui fait de (V, ⊕) un groupe abélien et d’une loi de composition externe
⊙ : K × V −→ V
vérifiant, pour tous éléments a, b ∈ K et u, v ∈ V , les propriétés suivantes
EV1 : a ⊙ (u ⊕ v) = a ⊙ u ⊕ a ⊙ v
EV2 : (a + b) ⊙ u = a ⊙ u ⊕ b ⊙ u
EV3 : (a · b) ⊙ u = a ⊙ (b ⊙ u)
K est de manière générale soit le corps des réels R, soit le corps des nombres complexes C.
Lorsque toutes ces propriétés sont vérifiées, les éléments de V sont appelés des vecteurs (au
sens large du terme).
Dans les exemples qui suivent on va voir que les vecteurs peuvent être des objets mathématiques très divers.
4.1 Exemples d’espaces vectoriels
Dans l’espace vectoriel C2 on peut définir les couples (vecteurs)
C2 = {(z 1 , z 2 ) : z 1 , z 2 ∈ C}.
Dans l’espace vectoriel R3 on peut définir les triplets (vecteurs)
R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R}.
De manière générale on peut définir des n-uplets sur Kn :
Kn = {(x 1 , x 2 , …, x n ) : x i ∈ K et i = 1, …, n}.
On distingue les espaces vectoriels réels lorsque K = R et les espaces vectoriels complexes
En principe, on ne s’occupe pas de connaître le type des composantes des vecteurs. Mais
il est certain que pour vérifier la stabilité de la multiplication par un scalaire, le type des
composantes doit être pris en compte. En effet, supposons que les composantes des vecteurs
soient réels et que le corps des scalaire soit complexe, alors la multiplication par un scalaire
ne donnera pas une opération stable, les composantes des vecteurs deviendront complexes.
Les n-uplets sont des listes (familles) de coordonnées (•, •, •, …, •). Dans une famille, l’ordre et
la taille importent. Par exemple :
(4, 4, 4, 4) ̸= (4, 4, 4)
Espace vectoriel « classique » Soit l’espace vectoriel R3 sur le corps des réels R. Les vecteurs
(familles) sont les triplets de réels (x 1 , x 2 , x 3 )T .
En reprenant les notations de la définition d’un espace vectoriel (.12), on peut établir que :
— L’espace vectoriel V est l’espace R3 ,
— le corps K est R.
Les opérations sont définies ainsi :
— L’addition stable ⊕ est l’addition vectorielle coordonnée par coordonnée,
— l’opération de multiplication ⊙ est celle qui multiplie un vecteur par un scalaire,
— la multiplication entre réels est l’opération définie par · dans la définition et
— l’addition entre réels est l’opération définie par + dans la définition.
Choisissons u = (u 1 , u 2 , u 3 )T , v = (v 1 , v 2 , v 3 )T et w = (w 1 , w 2 , w 3 )T dans R3 ainsi que les nombres
L’addition de deux vecteurs de R3 est stable :
u 2 + v 2 = u 2 + v 2
De même que l’opération de multiplication d’un vecteur de R3 par un scalaire de R également
λv 2 = λv 2
La commutativité est vérifiée car l’addition dans R est commutative,
u 2 + v 2 = u 2 + v 2 = v 2 + u 2 = v 2 + u 2 .
De même, pour l’associativité on a :
u 2 + v 2 + w 2 = u 2 + v 2 + w 2
= u 2 + v 2 + w 2
= u 2 + v 2 + w 2
= u 2 + v 2 + w 2 .
L’élément neutre pour l’addition vectoriel est le vecteur nul (0, 0, 0)T .
0+u 2 = u 2 .
L’élément inverse pour l’addition est le vecteur formé de l’opposé de chaque composante
u 2 +−u 2 = 0.
L’élément neutre pour la multiplication par un scalaire est l’élément 1 ∈ R,
et finalement pour les règles de distributivités on a :
a u2 + v 2 = a u2 + a v 2
(a + b) u 2 = a u 2 + b u 2 .
Espace vectoriel des polynômes
L’ensemble des polynômes de dimension finie Cn [Z ] (dimension n + 1) sur C est un espace
Il peut sembler étrange de considérer des polynômes comme des vecteurs ! Mais attention
pour avoir la structure d’espace vectoriel, les éléments de l’ensemble V doivent simplement
vérifier les règles ci-dessus, ce que font les polynômes (réels ou complexes).
Un vecteur n’est donc pas forcément une flèche, mais peut prendre d’autres formes, tels que
matrices, fonctions, opérateurs (espace vectoriel des opérateurs hermitiens) etc..
On a Z ∈ C, {c 0 , c 1 , c 2 , …, c n } ∈ C, {d 0 , d 1 , d 2 , …, d n } ∈ C et z, w ∈ C.
On vérifie que l’opération d’addition est stable,
de même que la multiplication par un scalaire :
La commutativité et l’associativité sont évidentes, l’élément neutre pour l’addition est le polyP
nôme dont tous les coefficients sont nulles. L’élément inverse pour l’addition est ni=0 −c i Z i
et l’élément neutre pour la multiplication par un scalaire est 1 ∈ C.
Les opérations de distributivités sont vérifiées :
ci Z + di Z = z · ci Z i + z · di Z i
Espace vectoriel des matrices hermitiennes
On prend comme exemple l’ensemble des matrices hermitiennes de dimension 2. La définition
d’une matrice hermitienne est donnée par :
(a i , j ) = (a j ,i )
Autrement dit la diagonale principale est forcément réel. En voici un exemple :
On remarque que l’on a bien H = (H ∗ )T .
Les matrices hermitiennes forment des espaces vectoriels réels ! En effet le corps des scalaires
de ces espaces ne peut pas être complexe car la multiplication d’une matrice hermitienne par
un scalaire complexe ne donne pas une matrice hermitienne (la multiplication par un scalaire
ne serait pas stable).
Prenons les matrices hermitienne 2 × 2. La forme générique est donnée par
Les opérations d’addition et de multiplication multiplication par un scalaire sont stables. La
commutativité et l’associativité sont respectées car ces propriétés le sont pour les complexes.
L’élément neutre de l’addition est la matrice nulle. L’inverse pour la multiplication par un
scalaire est le réel 1. Les opérations de distributivités sont vérifiées.