Algèbre linéaire – Cours complet acceléré

1 Espaces vectoriels et espaces affines 1.1 Un modèle d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Flèches dans G et vecteurs dans V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Addition et soustraction de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Exemples d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Espaces vectoriels géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Un espace vectoriel fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Combinaisons linéaires, sous-espaces vectoriels, familles génératrices . . . . . . . . . 1.4.1 Combinaisons linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Caractérisation des sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.6 Exemples de familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Dépendance linéaire et indépendance linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Indépendance linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Caractérisation de la dépendance linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Bases d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Composantes d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Prolongement d’une famille libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Sous-espaces vectoriels et sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2 Hyperplans vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.4 Sous-espace complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.2 Vectorialisé d’un espace affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.3.4 Exemple 4 – Exemple numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Sous-espaces affines, paralléllisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.1 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Repères, représentation paramétrique, géométrie analytique affine . . . . . . . . . . 1.11.3 Représentation paramétrique d’un sous-espace affine . . . . . . . . . . . . . 1.11.4 Equations paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Espaces vectoriels euclidiens et espaces affines euclidiens 2.1 Produit scalaire dans l’espace vectoriel géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Norme – Espace géométrique – . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Produit scalaire – Espace géométrique – . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Espaces vectoriels euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Espace vectoriel euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Exemple de famille orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5 Exemple – Polynômes orthonormaux de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Théorème du cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Projection orthogonale et meilleure approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Complémentaire orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Existence du complémentaire orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Vecteur normal à un hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.5 Meilleure approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Produit vectoriel et produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Déterminant – Formule de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Déterminant de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriétés du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notation et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.6.1 Propriétés du produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Identités vectorielles remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Systèmes linéaires 3.1.2 Notation équivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Existence et unicité des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Ecriture vectorielle d’un système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Matrice échelonnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Opérations élémentaires sur les lignes d’une matrice . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Réduction à la forme échelonnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Résolution des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Résolution d’un système admettant exactement une solution . . . . . . . . 3.5 Structure et dimension de l’ensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Systèmes linéaires homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Systèmes linéaires dont le second membre n’est pas nul . . . . . . . . . . . 4 Algèbre matricielle 4.1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Espace vectoriel de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Multiplication de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2.1 Propriétés de la multiplication matricielle . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Produit de plusieurs facteurs et puissance d’une matrice . . . . . . . . . . . 4.1.5 Matrices commutantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Rang d’une matrice inversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Calcul de la matrice inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Propriétés des matrices inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Matrices carrées particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.5 Matrices symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Conséquence de la multiplication par une matrice élémentaire . . . . . . . . 4.4.3 Transposée et inverse d’une matrice élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4 Matrices inversibles comme produits de matrices élémentaires . . . . . . . . 4.5.1 Séries matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Exponentielle d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Propriétés fondamentales des déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5 Déterminant de l’inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.6 Inverse d’une matrice – Méthode des cofacteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.6.1 Mineurs, cofacteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Applications linéaires et applications affines 6.1.2 Addition et multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3.2 Exemple 2 – Homothétie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Images directes et réciproques de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . 6.3.2 Rang d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Noyau d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Caractérisation des application linéaire injectives . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.7 Isomorphismes d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Opérations sur les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Espace vectoriel des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Linéarité de l’application inverse et de l’application réciproque . . . . . . . . 6.4.3 Formes linéaire, espace dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.5 Hyperplans vectoriels comme noyau de formes linéaire . . . . . . . . . . . . Représentation matricielle d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.3 Isomorphie de L(E,F) et de l’espace vectoriel des matrices . . . . . . . . . . 6.5.5 Calcul des composantes de l’image d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.6 Interprétation matricielle de l’inverse d’une application linéaire . . . . . . . . 6.5.7 Interprétation matricielle de la composée d’une application linéaire . . . . . . 6.6.2 Transformation des composantes par suite d’un changement de base . . . . 6.6.3 Changements de base inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.4 Changement de base successifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.5 Déterminant de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.6 Transformation de la matrice d’une application linéaire par suite d’un changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Transformations et matrices orthogonales 7.1 Transformations et matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Conservation du produit scalaire et de la norme . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Transformations orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Matrice d’une transformation orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Valeurs propres et vecteurs propres 8.1.1 Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres . . . . . . . . . . . . 8.1.3 Stabilité des sous-espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.4 Somme directe de sous-espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.5 Décomposition spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Formulation matricielle, polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres d’une matrice . . . 8.2.2 Marche à suivre pour le calcul des sous-espaces propres d’une matrice . . . . 8.2.3 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4 Polynôme caractéristique d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . 8.2.5 Multiplicité des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Réduction à la forme diagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Caractérisation des applications linéaires diagonalisables . . . . . . . . . . . 8.3.2 Matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Réduction des applications linéaires non diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Matrices trigonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Transformations et matrices symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 Transformations symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2 Caractérisation des transformations symétriques . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.3 Orthogonalité des sous-espaces propres d’une transformation symétrique . . 8.5.4 Décomposition spectrale d’une transformation symétrique . . . . . . . . . . Diagonalisation des matrices symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 9 Formes bilinéaires symétriques 9.1 Réduction des formes bilinéaires symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Forme quadratique associée à une forme bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3 Forme bilinéaire associée à une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Formes bilinéaires symétriques définies positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Formes bilinéaires symétriques définies non-négatives et définies positives . . 9.2.2 Caractérisation de la positivité par les valeurs propres . . . . . . . . . . . . . Espaces vectoriels et espaces affines Un modèle d’espace vectoriel Les notions de force, vitesse etc. sont des grandeurs ayant un sens, une direction et une intensité on peut donc les représenter par des flèches. Les flèches sont à l’origine de la notion de Flèches dans G et vecteurs dans V Soit G l’espace de la géométrie élémentaire formé d’un ensemble de points P, Q, . . ., on appelle flèche tout segment de droite orienté. P Q est la flèche d’origine P et d’extrémité On dira que deux flèches sont équivalentes si elle ont la même longueur, le même sens et la L’ensemble de toutes les flèches équivalentes forment une classe d’équivalence appelée vecteur dont chacune des flèche est appelée un représentant. L’ensemble des flèches dégénérée P P est le vecteur nul 0. L’ensemble des vecteurs ainsi défini est appelé V . Addition et soustraction de vecteurs L’addition de vecteurs (Fig. ??), [la soustraction de vecteurs{Fig. ??}] et la multiplication par un scalaire d’un vecteurs définissent une structure d’espace vectoriel sur V , que nous appellerons espace vectoriel géométrique V . CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS ET ESPACES AFFINES Définition 1.2.1 (Espace vectoriel). [?] On appelle espace vectoriel un ensemble E d’élément appelés vecteurs, désignés par x, y, … . E est muni d’une structure algébrique défini par les deux opérations appelées : i) addition vectorielle : à tout couple (x, y) correspond un vecteur x + y appelé somme de x ii) multiplication par un scalaire : à tout couple (α, x) formé d’un scalaire α et d’un vecteur x correspond un vecteur αx appelé produit de α par x. Ces deux opérations satisfont aux conditions suivantes : a) (x + y) + z = x + (y + z) (associativité de l’addition vectorielle). b) (x + y) + z = x + (y + z) (commutativité de l’addition vectorielle). c) Il existe un vecteur, noté 0 et appelé vecteur nul, tel que ∀x ∈ E, x + 0 = x d) Pour tout vecteur x de E, il existe un vecteur opposé noté −x tel que x + (−x) = 0. e) α(βx) = (αβ)x (associativité de la multiplication par un scalaire). f) α(x + y) = αx + αy g) (α + β)x = αx + βx Exemples d’espaces vectoriels Espaces vectoriels géométrique Nous avons déjà vu l’espace vectoriel géométrique V auquel on joutera les espaces vectoriels V 2 (plan géométrique) et V 3 (espace géométrique). Rn est l’ensemble des n-tuplets de nombres disposés en colonnes Les deux opérations suivantes satisfont à la définition (1.2.1) :  a2   b 2   a2 + b 2   a2   αa2   · + · = ·  · ·  ·  1.4. COMBINAISONS LINÉAIRES, SOUS-ESPACES VECTORIELS, FAMILLES GÉNÉRATRICES11 Un espace vectoriel fonctionnel Soit f et g deux fonctions (vecteurs) de C[a,b] , l’espace des fonctions continues sur [a, b] alors : — f + g est défini par (f + g)(x) ≡ f (x) + g(x) — αf est défini par (αf )(x) ≡ αf (x) Le vecteur nul est la fonction nulle et l’opposé la fonction −f définie par (−f )(x) ≡ −f (x). C[a,b] en tant qu’espace vectoriel est une généralisation naturelle de Rn au cas Combinaisons linéaires, sous-espaces vectoriels, familles Les vecteurs de ce chapitre appartiennent à un espace vectoriel E. Combinaisons linéaire Définition 1.4.1 (Combinaison linéaire). On appelle combinaison linéaire des vecteurs x1 , x2 , . . . , xn tout vecteur y de la forme y = α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn où α1 . . . αn sont appelés les coefficients de la combinaison linéaire. — Combinaison linéaire triviale. C’est la combinaison linéaire α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn = 0 avec α1 = α2 = . . . = αn = 0. — Combinaisons convexes. Combinaison linéaire dont les coefficients sont tous non négatifs et de somme égale à 1. L’ensemble des combinaisons convexes de deux points P et Q de G0 est le segment de droite reliant P à Q : αP + (1 − α)Q = Q + α(P − Q) en faisant varier α de 0 à 1 on obtient tous les points du segment P Q. Sous-espaces vectoriels On appelle sous-espace vectoriel S de E tout sous-ensemble de E qui est lui-même un espace vectoriel pour les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire définies dans E. Tout sous-espace vectoriel contient au moins le vecteur nul (qui est celui de E), il ne peut donc pas être Caractérisation des sous-espaces vectoriels Définition 1.4.2 (Sous-espace vectoriel). Un sous-ensemble S de E est un sous-espace — ∀x, y ∈ S; ∀α, β ∈ R : αx + βy ∈ S. CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS ET ESPACES AFFINES Familles génératrices Soit (x1 , x2 , . . . , xn ) une famille de vecteurs. L’ensemble des combinaisons linéaires de x1 , x2 , . . . , xn est un sous-espace vectoriel S de E. La famille de vecteurs (x1 , x2 , . . . , xn ) est appelée famille génératrice de S. Exemples de familles génératrices Montrons que les vecteurs : 1 , −1 et 0 Il suffit de montrer que tout vecteur x = (x1 , x2 , x3 ) de R3 peut s’écrire comme une combinaison linéaire de ces 3 vecteurs, a1 1 + a2 −1 + a3 0 = x2  Cette combinaison linéaire est équivalente au système de 3 équations à 3 inconnues : dont les solutions sont : On voit donc que pour tout vecteur x = (x1 , x2 , x3 ), il existe 3 coefficients qui satisfont la combinaison linéaire. 1 , −1 et 0 forment donc une famille génératrice de R3 . Dépendance linéaire et indépendance linéaire Indépendance linéaire Définition 1.5.1 (Indépendance linéaire). Les vecteurs x1 , x2 , . . . , xk sont linéairement indépendants si et seulement si (⇔) : (α1 x1 + α2 x2 + . . . + αk xk = 0) ⇒ (α1 = α2 = . . . = αk = 0) x1 , x2 , . . . , xk est appelée famille libre 1.6. BASES D’UN ESPACE VECTORIEL — Une famille réduite à un seul terme x est libre si x ̸= 0, — Une famille réduite à un seul terme x est liée si x = 0. Caractérisation de la dépendance linéaire Pour qu’une famille de vecteurs (x1 , x2 , . . . , xk )(k > 1) soit liée ou autrement dit pour que ses vecteurs soit linéairement dépendants il faut et il suffit qu’un des vecteurs xi soit combinaison linéaire d’un ou plusieur vecteurs xj avec i ̸= j Bases d’un espace vectoriel Définition 1.6.1 (Base d’un espace vectoriel). On dit qu’une famille finie de vecteurs est une base de E si elle est libre et engendre E Proposition 1.6.1. Pour qu’une famille (e1 , e2 , . . . , en ) soit une base de E, il faut que tout vecteur x ∈ E s’exprime de manière unique sous la forme d’une combinaison linéaire des vecteurs e1 , e2 , . . . , en : x = x1 e1 + x2 e2 + . . . + xn en Composantes d’un vecteur Les coefficients x1 , x2 , . . . , xn de la décomposition unique d’un vecteur x selon une base sont appelés composantes de x dans cette base. En présence d’une base tout vecteur est entièrement déterminé par ses composantes. Dimension d’un espace vectoriel Dans cette section E est un espace vectoriel. Prolongement d’une famille libre Théoreme 1.7.1 (Théorème du prolongement d’une famille libre). Soit (x1 , x2 , . . . , xk ) une famille libre et (v1 , v2 , . . . , vm ) une famille génératrice de E. Si (x1 , x2 , . . . , xk ) n’est pas une base de E, on peut extraire une sous-famille (vi1 , vi2 , . . . , vil ) de (v1 , v2 , . . . , vm ) de telle manière que la famille (x1 , x2 , . . . , xk , vi1 , vi2 , . . . , vil ) soit une base de E. La dimension d’un espace vectoriel E est égal au nombre de vecteurs d’une de ces bases. CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS ET ESPACES AFFINES Sous-espaces vectoriels et sommes directes Rang d’une famille de vecteurs Définition 1.8.1 (Rang d’une famille de vecteurs). On appelle rang d’une famille finie de vecteurs, la dimension du sous-espace vectoriel qu’elle engendre. Hyperplans vectoriels Définition 1.8.2 (Hyperplans vectoriels). Si E est de dimension finie n non nulle, un sousespace vectoriel de dimension n − 1 est appelé un hyperplan. On dit que la somme S + T de deux sous-espaces vectoriels S et T est directe si S ∩ T = {0}. Dans ce cas on la note S ⊕ T . Sous-espace complémentaire Proposition 1.8.1. Si E est de dimension finie alors pour tout sous-espace vectoriel S de E, il existe un sous-espace vectoriel T de E (non unique) tel que E soit somme directe de S et T . Définition 1.9.1 (Espace affine). Soit E un ensemble de points P, Q, . . ., et soit E un espace vectoriel. Supposons qu’à tout couple de points (P, Q) corresponde un vecteur noté P Q. On dit que E est un espace affine de direction E si : — La correspondance entre couples P, Q) et vecteur de E est biunivoque, cà.d ∀x ∈ E, ∃P, Q ∈ E | x = P Q ou Q = P + x −→ −→ −→ — ∀P, Q, R ∈ E, P Q + QR = P R (Relation de Chasles) Vectorialisé d’un espace affine On choisit un point O de E (que l’on appelle origine). La correspondance entre couples (O, P ) et vecteurs de l’espace directeur E est alors biunivoque. On définit l’addition de points et la multiplication d’un point par un scalaire par les opérations correspondantes sur les vecteurs de E. Muni de ces deux opérations, E devient un espace vectoriel (E0 ) relativement à O (origine). Il résulte que E0 est ismomorphe à E. 1.9. ESPACES AFFINES L’espace G est un espace affine. Sa direction est V . Il faut noter que dans ce cas au couple (P, Q) est associé le vecteur P Q et non la flèche P Q. Ce que postule 1.9.1 est une forme abstraite de correspondance entre flèches et vecteurs. Tout espace vectoriel E peut être considéré comme un espace affine de direction E lui-même, si au couple de vecteurs (x, y) est associé le vecteur x − y Soit E, S ⊂ E(dim S < dim E) et x un vecteur de E. On notera x + S l’ensemble des vecteurs z = x + y pour y parcourant S. Si x ̸∈ S alors x + S n’est pas un sous-espace vectoriel car il ne contient pas le vecteur nul. x + S devient un espace affine de direction S si on introduit la correspondance vue à l’exemple z − z′ = (x + y) − (x′ + y) = (x − x′ ) ∈ S Exemple 4 – Exemple numérique Soit le système d’équations linéaires : −x1 +x2 −5×3 = −4 Une solution consiste en un vecteur colonne (x0i ) de R3 , par exemple La solution du système est donnés en additionnant une solution particulière à la solution générale (sous-espace S) donnée par la solution du système homogène −x1 +x2 −5×3 = 0 La résolution du système homogène (S) donne la droite passant par l’origine La solution finale sera donc : CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS ET ESPACES AFFINES Sous-espaces affines, paralléllisme E désigne un espace affine de direction E. Sous-espaces affines Définition 1.10.1 (Sous-espace affine). Un sous-ensemble S de E est un sous-espace affine — un point P0 de E et — un sous-espace vectoriel S de E, tels que S = {P : P0 P ∈ S} = {P : P = P0 + x, x ∈ S} 1. Les sous-espaces affines de G sont les points, les droites, les plans et G lui-même. Soit S et T deux sous-espaces affines de direction S et T . On dit que S et T sont parallèles si l’une des directions est incluse dans l’autre. Si S = T on dit que S et T sont parallèles au sens Repères, représentation paramétrique, géométrie analytique affine Le choix d’un repère dans un espace affine de dimension n permet de l’identifier à Rn donc de traiter les problèmes géométriques par des calculs sur les coordonnées (géométrie analytique). On appelle repère de E tout ensemble (O; e1 , e2 , . . . , en ) formé d’une origine O et d’une base de E, (e1 , e2 , . . . , en ). Définition 1.11.1 (Coordonnées cartésiennes). On appelle coordonnées cartésiennes d’un point P dans un repère (O; e1 , e2 , . . . , en ) les composantes du vecteur OP dans la base (e1 , e2 , . . . , en ). Représentation paramétrique d’un sous-espace affine Soit S un sous espace affine de E et de dimension non nulle k. Soit en outre un point P0 et (v1 , v2 , . . . , vn ) une base de S. S est l’ensemble des points P satisfaisants : P = P0 + α1 v1 + α2 v2 + . . . + αk vk 1.11. REPÈRES, REPRÉSENTATION PARAMÉTRIQUE, GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE AFFINE17 Equations paramétriques Supposons que E soit muni d’un repère (O; e1 , e2 , . . . , en ). En désignant par x1 , x2 , . . . , xn et et P0 et par v1i , v2i , . . . , vni les composantes de vi , alors 1.1 x1 = x01 +α1 v11 +α2 v12 + . . . +αk v1k x2 = x02 +α1 v21 +α2 v22 + . . . +αk v2k xn = x0n +α1 vn1 +α2 vn2 + . . . +αk vnk x01 , x02 , . . . , x0n les coordonnées de P CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS ET ESPACES AFFINES Espaces vectoriels euclidiens et espaces Produit scalaire dans l’espace vectoriel géométrique Norme – Espace géométrique – La longueur d’un vecteur est appelée norme, que l’on note ∥x∥. Produit scalaire – Espace géométrique – Définition 2.1.1 (Produit scalaire). On appelle produit scalaire de deux vecteurs non nuls (x|y) = ⟨x|y⟩ = ∥x∥∥y∥ cos θ θ est l’angle entre x et y Selon 2.1 deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul, ou l’un d’entre Projection orthogonale La projection orthogonale d’un vecteur x sur une droite vectorielle engendrée par un vecteur Espaces vectoriels euclidiens Dans ce chapitre E est un espace vectoriel. CHAPITRE 2. ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS ET ESPACES AFFINES EUCLIDIENS Dans ce chapitre on étend les notions de produit scalaire, norme etc. de l’espace vectoriel géométrique à aux notions de produit scalaire, norme etc., des espaces vectoriels en général. Définition 2.2.1 (Produit scalaire). On appelle produit scalaire toute fonction de E × E dans K (K = R) de la forme : f : (E × E) → R, (x, y) 7→ (x|y) satisfaisant aux conditions suivantes : 1. (x|y) = (y|x) (commutativité, symétrie) 2. (αx + βy|z) = α(x|z) + β(y|z) (linéarité) 3. (x|x) > 0 si x ̸= 0 (positivité) De [1.] et [2.] on tire la linéarité à droite du produit sacalaire : (x|βy + γz) = β(x|y) + γ(x|z) Espace vectoriel euclidien Définition 2.2.2 (Espace vectoriel euclidien). Un espace vectoriel euclidien est un espace vectoriel muni d’un produit scalaire. Définition 2.2.3 (Norme d’un vecteur). Soit E un espace vectoriel euclidien. On appelle (αx|αx) = α2 (x|x) = |α|∥x∥ En dehors des produits scalaires définis dans les espaces vectoriels Rn et V , on remarquera le produit scalaire canonique dans les espaces vectoriels fonctionnels C[a,b] , qui est défini par : Dans ce chapitre E est un espace vectoriel euclidien. Définition 2.3.1 (Orthogonalité). On dit que deux vecteurs x, y d’un espace vectoriel euclidien sont orthogonaux lorsque (x|y) = 0 Définition 2.3.2 (Famille orthogonale). Une famille finie ou infinie de vecteurs (x1 , . . . , xn , . . .) est dite orthogonale si : ∀i, j ∈ N; i ̸= j : (xi |xj ) = 0 Définition 2.3.3 (Famille orthonormale). Une famille orthogonale dont tout les vecteurs sont unitaires est appelée famille orthonormale. Exemple de famille orthogonale Soit les fonction c0 , ck , sk (k > 0) définie par : c0 (t) ≡ √ , ck (t) ≡ √ cos(kt), sk (t) ≡ √ sin(kt) La famille infinie (c0 , c1 , s1 , c2 , s2 , . . .) est appelée système trigonométrique, c’est une famille orthonormale. On peut le vérifier à l’aide du produit scalaire canonique de l’espace vectoriel fonctionnel, Théorème de Pythagore (x + y|x + y) = (x|x) + (y|y) + 2(x|y) = ∥x + y∥2 = ∥x∥2 + ∥y∥2 + 2(x|y) Si x et y sont perpendiculaires on a bien : ∥x + y∥2 = ∥x∥2 + ∥y∥2 . On peut généraliser le théorème de pythagore à n dimensions : ∥x1 + x2 + . . . + xn ∥2 = ∥x1 ∥2 + ∥x2 ∥2 + . . . + ∥xn ∥2 qui est la projection orthogonale du vecteur x sur le vecteur v. Définition 2.3.4 (Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt). A partir d’une famille libre (x1 , . . . , xk ) on peut construire une famille orthogonale (v1 , . . . , vk ) engendrant le même sous-espace vectoriel que (x1 , . . . , xk ). CHAPITRE 2. ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS ET ESPACES AFFINES EUCLIDIENS On pose successivement : vk = xk − projv1 xk − projv2 xk − . . . − projvk −1 xk Exemple – Polynômes orthonormaux de Legendre Soit la famille libre (p0 , p1 , . . .) de vecteurs de C[−1,1] définie par pk ≡ pk (t) ≡ tk . Le produit scalaire est défini par : Procédé d’orthogonalisation : p0 (t) = 1, p1 (t) = t, p2 (t) = t2 , p3 (t) = t3 v2 (t) = t2 − R−1 A présent il faut normaliser ces polynômes à l’aide de x̂ = , ce qui dans notre cas devient : = · √ · (t2 − ) La famille de polynômes (v̂0 , v̂1 , v̂2 , . . . ) est orthonormale. 2.4. INÉGALITÉS, ANGLES Inégalités, angles Inégalité de Cauchy-Schwarz Définition 2.4.1 (Inégalité de Cauchy). Soit deux vecteurs x, y d’un espace vectoriel euclidien E. La relation suivante est appellée inégalité de Cauchy-Schwarz. |(x|y)| ≤ ∥x∥∥y∥ 1) Si E = Rn l’inégalité de Cauchy-Schwarz devient : 2) Lorsque E = C[a,b] , l’inégalité de Cauchy-Schwarz s’écrit : Si dans 1), b1 = bn = 1 alors : c’est à dire que le carré de la moyenne est plus petit ou égal à la moyenne des carrés. Si dans 2), on pose g(t) ≡ 1 Théorème du cosinus Théoreme 2.4.1 (Théorème du cosinus). ∥x ± y∥2 = ∥x∥2 + ∥y∥2 ± 2∥x∥∥y∥ cos θ Projection orthogonale et meilleure approximation Complémentaire orthogonal Soit S ⊂ E. Désignons par S ⊥ l’ensemble des vecteurs orthogonaux à S. Cet ensemble n’est pas vide car il possède au moins le vecteur nul. En plus si x, y font partie de S ⊥ toutes les combinaisons linéaires αx + βy également. S ⊥ est donc un espace vectoriel selon 1.4.4. E n’est en général pas somme directe de S et S ⊥ . Il l’est cependant s’il existe un T orthogonal à S tel que E est somme directe de S et T . Dans ce cas T = S ⊥ . Les conditions suivantes sont équivalentes : CHAPITRE 2. ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS ET ESPACES AFFINES EUCLIDIENS (a) E est somme directe de S et S ⊥ . (b) Tout vecteur de E s’écrit de manière unique par : x = s + t, s ∈ S, t ∈ S ⊥ (c) Pour tout vecteur x ∈ E, il existe un unique vecteur s ∈ S tel que x − s soit ⊥ à S. Projection orthogonale Soit S ⊂ E et x ∈ E. Si S admet un complémentaire orthogonal dans E on appelle le vecteur s de la décomposition x = s + t projection orthogonale de s sur S et on le note : s = projS x Existence du complémentaire orthogonal Théoreme 2.5.1. Tout sous-espace vectoriel de E de dimension finie admet un complémentaire Vecteur normal à un hyperplan Un hyperplan vectoriel S admet un complémentaire orthogonal qui est une droite vectoriel, on appelle vecteur normal à S tout vecteur non nul de cette droite vectorielle. Meilleure approximation Soit S ∈ E. On appelle meilleure approximation de x ∈ E par des vecteurs de S l’unique vecteur de S qui minimise la norme ∥x − y∥ pour y parcourant S, autrement dit, pour tout vecteur y de S distinct de projS x on a : ∥x − projS x∥ ≤ ∥x − y∥ Meilleure approximation de la fonction f (t) ≡ |t| de C[−1,1] par les polynômes orthogonaux de Legendre définis sous 2.3.5 On obtient : p(t) = 16 2.6. PRODUIT VECTORIEL ET PRODUIT MIXTE Figure 2.1 – Meilleure approximation avec un polynôme du 2ème degré Soit la famille de vecteurs orthonormaux de C[−π,π] (syst‘eme trigonométrique). c0 (t) ≡ √ , ck (t) ≡ √ cos(kt), sk (t) ≡ √ sin(kt) On cherche la meilleure approximation de f (t) ≡ t de C[−π,π] par fk = (f |c0 )c0 + (f |c1 )c1 + (f |s0 )s0 + · · · + (f |ck )ck + (f |sk )sk (les vecteurs sont déjà normés). On appelle coefficients de Fourier de la fonction f , les produits (f |cj ), j ≥ 0 et (f |sj ), j ≥ 1 Dans notre cas la fonction f · cj (t) est impaire donc (f |cj ) est égal à zéro. Pour la convergence de la série, voir cour d’analyse. Produit vectoriel et produit mixte Déterminant – Formule de Leibniz Le déterminant d’une matrice de vecteurs colonnes introduit la notion d’orientation. Définition 2.6.1 (Formule de Leibniz). Soit la matrice carrée A, de dimension n × n formées des vecteurs colonnes x, y, z, on défini le déterminant de A par : det A = det[x y z] = a21 a22 a23 = CHAPITRE 2. ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS ET ESPACES AFFINES EUCLIDIENS Figure 2.2 – f5 (t) — Sn est l’ensemble des permutations de (1, 2, 3, . . . , n) — pour une des n! permutation σ de Sn , ϵ(n) désigne sa signature ; égale à 1 si la permutation est paire et −1 si la permutation est impaire. Soit 3 vecteurs colonnes x, y, z de R3 . Le déterminant de la matrice A = [x, y, z] se développe det A = a21 a22 a23 = a11 a22 a33 − a11 a32 a23 − a21 a12 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 − a31 a22 a13 Déterminant de passage On appelle déterminant de passage d’une base (x1 , x2 , x3 ) à une base (y1 , y2 , y3 ) le déterminant où p1j , p2j , p3j sont les coordonnés du vecteur yj dans la base (x1 , x2 , x3 ). Le produit vectoriel est propre aux espaces vectoriels de dimension 3. 2.6. PRODUIT VECTORIEL ET PRODUIT MIXTE Définition 2.6.2 (Produit vectoriel). Soit deux vecteur x(x1 , x2 , x3 ) et y(y1 , y2 , y3 ) le produit vectoriel x × y est le vecteur obtenu par un calcul analogue à celui du déterminant de C’est le vecteur défini par les composantes (x2 y3 − x3 y2 , x3 y1 − x1 y3 , x1 y2 − x2 y1 ) dans la base Propriétés du produit vectoriel Le produit vectoriel a les propriétés suivantes : a) x × y = −(y × x) (Antisymétrie). b) (αx + βy) × z = α(x × z) + β(y × z) (Linéarité à gauche). c) x × y ̸= 0 si et seulement si (⇔) x et y sont linéairement indépendants. La linéarité à droite découle de a) et b). Définition 2.6.3 (Produit mixte). [?] On appelle produit mixte des vecteurs x, y, z le double (x|y × z) = x2 y2 z2 (x|y × z) = −(z|y × x) = −(y × x|z) = (x × y|z) Notation et propriétés De la remarque ci-dessous on tire que (x|y × z) = (x × y|z) = [x, y, z] Propriétés du produit mixte [x, y, z] = [y, z, x] = [z, x, y] = −[z, y, x] = −[y, x, z] = −[x, z, y] [αx + βy, z, v] = α[x, z, v] + β[y, z, v] [x, y, z] ̸= 0 si et seulement si x, y, z sont linéairement indépendants La linéarité au centre et à droite découle de a) et b) Identités vectorielles remarquables x × (y × z) = (x|z)y − (x|y)z (x × y|z × v) = (x|z)(y|v) − (x|v)(y|z) (x × y) × (z × v) = [x, y, v]z − [x, y, z]v CHAPITRE 2. ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS ET ESPACES AFFINES EUCLIDIENS Systèmes linéaires Définition 3.1.1 (Système linéaire). [?] On appelle système linéaire toute famille d’équations de la forme : a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm où a11 , …, amn sont appelés coefficients du système, b1 , bm sont les coefficients du second membre et x1 , …, xn sont les inconnues du système. Si les seconds membres sont tous nuls on parle de système homogène Notation équivalente aij xj = bi , i = 1, 2, …, m Interprétation géométrique Supposons les premiers membres de 3.1 non nuls, alors chacune des équations du système représente un hyperplan d’un espace affine de dimension n. Le résultat du système est donc une intersection d’hyperplans qui peut-être soit un sous-espace affine soit l’ensemble vide. Existence et unicité des solutions Définition 3.2.1 (Matrice). On appelle matrice tout tableau rectangulaire de nombres, on les notera (aij ) où i est l’indice de ligne et j l’indice de colonne. CHAPITRE 3. SYSTÈMES LINÉAIRES Rang d’une matrice Soit a1 , a2 , …, an les colonnes d’une matrice A. On appelle rang de A et on note rgA le rang de la famille (a1 , a2 , …, an ). Ecriture vectorielle d’un système linéaire Soit le système de matrice associée A = (aij ) et la matrice colonne b = (bi ). Désignons par a1 , a2 , …, an les colonnes de A. Le système s’écrit également sous la forme : x1 a1 + x2 a2 + . . . + xn an = b Proposition 3.2.1. Pour qu’un système linéaire de matrice associée A et de second membre b admette au moins une solution, il faut et il suffit que le rang de A soit égal au rang de la matrice augmentée (A..b). Si cette condition est rempli