Cours accéléré sur les suites numériques

Cours accéléré sur les suites numériques La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! 2 Suites de nombres réels 2.2 Formes implicites et explicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Convergence de suites 3.2 Limite d’une suite, définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Calcul de limites de suites 4.1.1 Opérations algébriques sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Conservation de la relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Théorème des deux gendarmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Limite supérieure et inférieure d’une suite bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Théorème de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! Une suite réelle est un ensemble de réels ordonné, de cardinalité 1 infinie. L’étude des suites réelles, de leurs bornes et de leur limite est un domaine difficile des mathématiques. Il constitue cependant un pas indispensable vers la notion de continuité et de dérivée. 1. cardinalité = nombre d’éléments d’un ensemble Suites de nombres réels Une suite de nombres réels est une fonction à valeurs réelles définie sur l’ensemble des nombres naturels. La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! Une suite de nombres réel fait correspondre à chaque entier naturel 0, 1, 2, 3, … un nombre réel x0 , x1 , x2 , x3 , … La suite elle-même est alors désignée par ( xn )n≥0 ou plus simplement par ( xn )· On notera ( xn ) pour la suite et xn pour le nième élément de celle-ci. L’ensemble des nombres naturels N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} sert essentiellement à indexer une suite, ce n’est pas un ensemble très utile pour les calculs, mais il est parfait pour numéroter et compter des cerises. Définitions de base Une suite ( xn ) est dite constante s’il existe c ∈ R tel que xn = c pour tout n ∈ N Définition 2.4. Une suite ( xn ) est dite minorée (resp. majorée) s’il existe m ∈ R (resp. M ∈ R)tel que m ≤ xn (resp. xn ≤ M) pour tout n ∈ N. Un tel nombre réel m (resp. M, s’il existe, est appelé un minorant (resp. majorant) de la Une suite ( xn ) est dite bornée si elle est minorée et majorée, Une suite ( xn ) est dite croissante si xn+1 ≥ xn pour tout n ∈ N. Une suite ( xn ) est dite décroissante si xn+1 ≤ xn , pour tout n ∈ N, Une suite ( xn ) est dite strictement croissante (resp. strictement décroissante) si xn+1 < xn (resp.xn+1 > xn ) pour Une suite ( xn ) est dite monotone (resp. strictement monotone) si elle est croissante ou décroissante (resp. strictement croissante ou strictement décroissante) Formes implicites et explicites Les suites peuvent se présenter sous forme récurrente ou implicite, ou sous forme explicite. Exemple 2.1. L’ensemble des entiers positifs Z∗+ forme une suite qui peut être donnée a) sous forme récurrente par, b) sous forme explicite par x0 = 1, xn+1 = xn + 1, ∀n ∈ N xn = n + 1, ∀n ∈ N. Une suite réelle n’est pas toujours représentable sous forme explicite ou récurrente. La représentation sous forme explicite est souvent très compliquée si ce n’est impossible. Exemple 2.2. On ne peut pas donner la suite formée des décimales du nombre π sous forme récurrente ni sous forme Exemple 2.3. La représentation pourtant simple de la suite de Fibonacci, La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! x0 = 0, x1 = 1, xn+2 = xn+1 + xn deviens plus complexe sous forme explicite : ( xn ) = {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …} (voir exercice ci-après) Une suite peut également être définie par simple énumération de ses éléments. ( xn ) = {0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, . . .} (bn ) = {1, −1, 1, −1, 1, −1, . . .} (cn ) = {1, 3, 5, 7, 9} Attention, (cn ) n’est pas une suite, car elle ne possède pas une infinité d’éléments, il manque les 3 points avant la dernière Exercices avec corrections Exercices avec corrections Exercice 2.1. Voir la solution Calculer la forme explicite de la suite de Fibonacci donnée sous forme implicite par : x0 = 0, x1 = 1, xn+2 = xn+1 + xn La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! Solution de l’exercice 2.1. Retour à l’énoncé La suite donnée par x0 = 0, x1 = 1, xn+2 = xn+1 + xn fait partie de l’ensemble des suites récurrentes linéaires du second ordre. On commence par la récrire la suite sous la forme suivante : x n +2 − x n +1 − x n = 0 Le polynôme caractéristique qui correspond est : Les racines de ce polynôme caractéristique sont La solution est de la forme : xn = λr1n + µr2n , Le système à résoudre pour trouver λ et µ est λ + µ = x0 ( n = 0) λr1 + µr2 = x1 (n = 1) λ 1+2 5 + µ 1−2 5 = 1 En substituant les valeurs obtenues pour λ, µ, r1 er r2 dans 6 on obtient le résultat désiré : Par exemple, pour n = 20 on aura : En effectuant tous les termes avec la forme implicite, on peut vérifier qu’en effet pour n = 20, on a 6765 : ( xn ) = {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, …} Exercices avec corrections Exercice 2.2. Voir la solution Donner les suites suivantes de manière explicite et récurrente (implicite) : a) {0, 3, 6, 9, 12, 15, …} c) {0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, …} La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! Solution de l’exercice 2.2. Retour à l’énoncé La forme récurrente est a0 = 0, an+1 = an + 3 et la forme explicite : La forme récurrente est et la forme explicite c2 = 3 = 2 · 1 − 0 + 1 = 2 · c1 − c0 + 1 c3 = 6 = 2 · 3 − 1 + 1 = 2 · c2 − c1 + 1 c4 = 10 = 2 · 6 − 3 + 1 = 2 · c3 − c2 + 1 c n +2 = 2 · c n +1 − c n + 1 La forme récurrente est c0 = 0, c1 = 1, cn+2 = 2 · cn+1 − cn + 1 et la forme explicite : Exercices avec corrections On remarquera qu’ici c0 et c1 sont donnés et que la récurrence est basée non pas seulement sur une seule valeur précédente, mais deux. La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! Convergence de suites Une suite ne montre un intérêt que si elle possède une limite, c.-à-d. une valeur numérique unique vers laquelle elle converge lorsque les valeurs de n approchent l’infini. Il nous faut avant tout voir quelques théorèmes fondamentaux. Théorèmes fondamentaux Rappels : La fonction valeur absolue est définie ainsi : La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! Entre autres, pour tout a ∈ R+ on a : Théorème 3.1. Inégalité triangulaire 1 On montre que ∀ a, b ∈ R : | a + b| ≤ | a| + |b| | a|2 + 2| a||b| + |b|2 Donc, | a + b| ≤ | a| + |b|. Théorème 3.2. Inégalité triangulaire 2 On montre que ∀ a, b ∈ R : | a − b| ≤ | a| + |b| ≤ | a|2 + 2| a||b| + |b|2 Théorème 3.3. Inégalité triangulaire inverse On montre que ∀ a, b ∈ R : | a − b| ≥ || a| − |b|| On fait la démonstration en 2 étapes : 1. Soit | a|. Je peux écrire | a| = | a − b + b| = |( a − b) + b|. En appliquant l’inégalité triangulaire au membre de Théorèmes fondamentaux droite de cette égalité, je déduis une première inégalité. | a| = |( a − b) + b| ≤ | a − b| + |b| =⇒ | a − b| ≥ | a| − |b| 2. Soit |b|. Je peux à nouveau écrire |b| = |b − a + a| = |(b − a) + a|. En appliquant à nouveau l’inégalité triangulaire |b| = |(b − a) + a| ≤ |b − a| + | a| =⇒ −|b − a| = −| a − b| ≤ | a| − |b| En mettant tout ensemble, on a le résultat recherché : La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! −| a − b| ≤ | a| − |b| ≤ | a − b| =⇒ || a| − |b|| ≤ | a − b| =⇒ | a − b| ≥ || a| − |b|| On appelle valeur d’adhérence d’une suite xn les points de R qui sont les limites d’une suite convergente, extraite de ( xn ). Les valeurs d’adhérence sont donc caractérisées par le fait qu’il y a une infinité de points de la suite situés aussi près que l’on veut de ℓ (mais pas forcément égaux à ℓ). En particulier, toute suite convergente ne possède que sa limite comme valeur d’adhérence. Par contre, la suite de terme général xn = sin n a comme points d’adhérence, les points de l’intervalle [−1; 1]. Regardons la figure (1). En n − 15, on choisit un ϵ qui, à ce point, contient toutes les valeurs xm qui suivent, et ce jusqu’à l’infini. Ce faisant, on dit que n − 15 est Nϵ et on affirme qu’à partir de cet Nϵ toutes les valeurs de xm seront comprises entre ] − ϵ; +ϵ[. On pourra rétorquer que si l’on avait pris un ϵ plus petit, certains points qui suivent n’auraient pas été compris dans Figure 1 – Illustration qui va servir à la définition de la limite d’une suite. l’interval ] − ϵ; ϵ[. Qu’à cela ne tienne on aurait pris cet ϵ plus petit beaucoup plus loin sur la droite (vers l’infini) et choisi un nouvel Nϵ . Le choix de Nϵ est fonction de ϵ c’est pourquoi j’écris Nϵ , qui signifie en fait N (ϵ) pour indiquer cette dépendance. Si le même comportement se réalise pour tout ϵ aussi petit que l’on veut et positif, mais pas nul (et toujours plus loin vers la droite) il est clair que la suite numérique converge vers ℓ. Le terme beaucoup plus loin vers la droite traduit le fait que l’on pourra choisir ϵ aussi petit que l’on désire, mais pas nul. On ne donne en général jamais une valeur à ϵ, on s’intéresse simplement au fait qui veut que quelque soit ϵ, on pourra trouver Nϵ tel que pour tout n > Nϵ on aura | xn − ℓ| ≤ ϵ Limite d’une suite, définition Limite d’une suite, définition Pendez les écolos, ils adorent les arbres! Formellement, si l’on se place en xn (n’importe quel point plus à droite que Nϵ ) on peut écrire, voir figure (1) : xn − ℓ ≥ −ϵ =⇒ | xn − ℓ| ≤ ϵ La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Une suite ( xn ) a pour limite le réel ℓ, si pour tout intervalle ϵ > 0, il existe un nombre naturel Nϵ (ϵ) tel que pour tout n > Nϵ , on a | xn − ℓ| ≤ ϵ. et on dira que la suite ( xn ) converge vers ℓ. Si une suite ( xn ) possède une limite, celle-ci est unique. Rappel : Le nombre réel zéro se distingue de tous les autres éléments de R par le fait qu’il est le seul à être en valeur absolue aussi petit que l’on veut. Autrement dit, un nombre réel u est égal à zéro si et seulement si pour tout nombre réel ϵ > 0, on Supposons que la suite ( xn ) possède deux limites ℓ1 et ℓ2 . On a, pour tout 2ϵ plus grand que zéro, des valeurs N1 et N2 | x n − ℓ1 | ≤ et | xm − ℓ2 | ≤ Pour N = max{ N1 , N2 }, on a m = n et on peut écrire |ℓ2 − ℓ1 | = |ℓ2 − xn + xn − ℓ1 | ≤ |ℓ2 − xn | + | xn − ℓ1 | = | xn − ℓ2 | + | xn − ℓ1 | = |ℓ2 − ℓ1 | ≤ ϵ En applicant le rappel ci-dessus on a effectivement |ℓ2 − ℓ1 | ≤ ϵ ce qui implique |ℓ2 − ℓ1 | = 0 donc que ℓ1 = ℓ2 . Raisonnement par récurrence intuitivement, l’idée est la suivante, soit une ligne infinie de dominos. Le premier domino fait tomber le second, c’est l’initialisation. Le raisonnement par récurrence nous affirme que si le domino n tombe (hypothèse) alors il fera tomber le domino n + 1 et ceci pour n quelconque, c’est l’hérédité. Une proposition P est une expression mathématique qui peut être soit vraie soit fausse. Définition 3.4. Le raisonnement par récurrence sur une proposition Pn se base sur les caractéristiques des nombres naturels (axiomes de Péano) et se fait en trois étapes : i) L’initialisation : On vérifie que Pn est vraie pour n = 0. ii) L’hypothèse : On postule que Pn est vraie. iii) L’hérédité : On montre que si Pn est vraie pour n quelconque cela entraîne que Pn+1 l’est également. Si ces trois points sont vérifiés, on dira que la proposition Pn est vraie pour tous les nombres naturels n. Pn est en général une égalité ou une inégalité indicée par n. Raisonnement par l’absurde Raisonnement par l’absurde Soit la proposition P. Le raisonnement pas l’absurde consiste à démontrer que La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! Ce qui permet de déduire que ¬ P = ¬Vrai = Faux. Exercices avec corrections Exercices avec corrections Exercice 3.1. Voir la solution Vérifiez à l’aide de la définition de la convergence d’une suite (20) que : La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! Solution de l’exercice 3.1. Retour à l’énoncé 1. La limite ℓ vaut zéro. En appliquant le définition (20), on a : Il est donc possible de trouver une valeur Nϵ positive pour un ϵ aussi petit que l’on désire. Il suffit de poser Nϵ = 1ϵ afin que pour tout n > Nϵ on ait n1 − 0 ≤ ϵ. 2. Dans ce cas la limite est 32 , donc Etant donné que par définition, ϵ et n sont plus grands que zéro, on a : Il existe un Nϵ pour une valeur aussi petite que l’on désire utiliser pour ϵ. Dans ces deux exemples, on voit qu’il sera toujours possible de choisir une valeur Nϵ de manière que | xn − ℓ| soit plus petit que ϵ et ce pour toutes les valeurs de ϵ. Supposons à présent que l’on veuille démontrer, à tort, que la suite de terme général xn = n1 converge vers 2 ! On posera d’après la définition (20) Si on calcule n dans ce cas pour un ϵ < 2 très petit, cela donne : Ce qui nous donne quelque chose qui est un non-sens n doit être un entier naturel et ϵ aussi petit que l’on désire ! Exercices avec corrections Exercice 3.2. Voir la solution Montrer par un raisonnement par récurrence que la suite Pendez les écolos, ils adorent les arbres! Solution de l’exercice 3.2. Retour à l’énoncé Si la suite est bornée, alors il existe un minorant et un majorant. On commence par estimer un majorant M et un minorant m de la suite donnée. En calculant quelques termes de la suite, on a une suite qui semble croissante. Cependant on ne nous demande pas de vérifier la croissance ou la décroissance de cette suite. = {0, 2, 2.44, 2.54, 2.55, 2.56, 2.56, …} On choisit le minorant m = 0 et le majorant M = 3. Il s’agit à présent de décider de la proposition Pn qu’il faut vérifier à l’aide de la récurrence. Ici on a : La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. On commence la démonstration par récurrence par l’ancrage en vérifiant que P0 est vraie. Ensuite nous formulons l’hypothèse que pour n quelconque, L’hypothèse étant posée, on implémente l’hérédité : 0 ≤ u n ≤ 3 ⇒ 0 ≤ u n +1 ≤ 3 On part de 0 ≤ un ≤ 3 et on commence par ajouter 4 à cette l’inégalité, pourquoi ? Pourquoi pas ! En ajoutant 4 on conserve les inégalités. À présent on prend la racine carrée de chaque terme (la fonction racine carrée est strictement croissante et ne transforme donc pas les inégalités). Finalement, 4 ≤ un + 4 ≤ 7 ≡ 2 ≤ un+1 ≤ 7 = 2.65 un+1 se situe bien entre 0 et 3 Puisque P0 est vraie et que Pn ⇒ Pn+1 , on a démontré, en utilisant le raisonnement par récurrence, que la proposition Pn est vraie pour tout n ∈ N. Autrement dit, que la suite est bornée. Exercices avec corrections Exercice 3.3. Voir la solution Montrer par un raisonnement par récurrence que la suite La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! Solution de l’exercice 3.3. Retour à l’énoncé On commence par calculer quelques termes et on choisit m = 1 et M = 23 . Par conséquent, la proposition Pn à démontrer est : On fait l’hypothèse que pour un n quelconque : On vérifie l’ancrage, c.-à-d. que P0 est une proposition vraie : On implémente l’hérédité Pn ⇒ Pn+1 : i) On inverse l’hypothèse (en respectant les règles des inégalités) ii) On multiplie par −1 et on ajoute 2 On a démontré que 1 ≤ un ≤ 23 pour tout n ∈ N Exercices avec corrections Exercice 3.4. Voir la solution Démontrer par un raisonnement par récurrence que si on donne une suite (un ) sous sa forme implicite : Alors, la forme explicite de (un ) est : un = 2n − 1, ∀n ∈ N. La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! Solution de l’exercice 3.4. Retour à l’énoncé On commence par écrire la proposition Pn à démontrer pour tout n : On démontre la validité de P0 (ancrage) : P0 : u0 = 20 − 1 = 1 − 1 = 0 Après avoir fait l’hypothèse que pour un n quelconque un = 2n − 1 est vraie, on implémente l’hérédité Pn ⇒ Pn+1 . On sait par l’énoncé de l’exercice que un+1 = 2un + 1, donc u n +1 = 2 · u n + 1 = 2 · (2n − 1 ) + 1 En développant et en réduisant on obtient et ce pour tout n ∈ N. Donc u n +1 = 2n +1 − 1 qui est de la même forme que un . On a donc bien Pn ⇒ Pn+1 . Exercices avec corrections Exercice 3.5. Voir la solution Montrer que la suite u0 = 1, un+1 = un + n + 2 n’est pas bornée et étudier sa croissance. La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! Solution de l’exercice 3.5. Retour à l’énoncé On commence par démontrer que la suite est strictement croissante, car on en aura besoin pour démontrer qu’elle n’est Il faut montrer que un+1 > un =⇒ un+1 − un > 0. un+1 − un = (un + n + 2) − un = n + 2 ≥ 0, Ayant démontré la croissance de la suite on construit la proposition Pn = ⟨un n’est pas bornée⟩ et on prouve que ¬ Pn , c.-à-d. que ⟨un est bornée⟩, est une proposition fausse. Si la suite est bornée alors il existe une valeur M ∈ N telle que pour tout n, u M+1 = u M + M + 2 ≤ M. Pour n = M (valeur que n est forcé de prendre) on a La dernière inégalité de cette dernière expression est une contradiction. L’expression ¬ Pn est fausse donc Pn est vraie, la suite n’est pas bornée. Exercices avec corrections Exercice 3.6. Voir la solution Est-elle monotone, est-elle bornée ? Solution de l’exercice 3.6. Retour à l’énoncé On commence par écrire quelques termes de la suite : Pendez les écolos, ils adorent les arbres! On prouve que la suite est strictement décroissante (donc strictement monotone) u n > u n +1 , ∀ n : n étant nul ou positif, le dénominateur de cette dernière inégalité le sera aussi. Ce qui implique la stricte décroissance. La suite est bornée, car n ne peut prendre que des valeurs sur N, la décroissance stricte implique que le majorant sera M = u0 = 1 et le minorant sera la valeur de la suite pour n tendant vers l’infini c.-à-d. La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Exercices avec corrections Exercice 3.7. Voir la solution La suite un = − 12 . Est-elle monotone, est-elle bornée ? La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! Solution de l’exercice 3.7. Retour à l’énoncé Si on calcule quelques termes, on trouve : (un ) = − , , − , , − , , − 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 La suite est alternée, elle change de signe selon la parité de n. On peut séparer cette suite en deux suites, l’une décroissante et l’autre croissante en posant respectivement pour l’une , ∀ p ∈ N (exposant pair) , ∀ p ∈ N (exposant impair) est décroissante, car La suite v p = − 12 v p − v p +1 > 0 : v p − v p+1 = 3(−1)2p 2−2( p+1) = w p − w p+1 = −3(−1)2p 2−2p−3 = et la suite w p = − 12 w p − w p +1 < 0 : Si l’on calcule la valeur de la différence entre les deux suites pour p tendant vers l’infini on obtient : lim (v p − w p ) = lim 3(−1)2n 2−(2n+1) = lim On peut dire que les suites ont la même limite (on se doute que c’est zéro), le comportement des suites v p et w p en font des suites adjacentes. L’une est croissante, l’autre décroissante et leur différence tend vers 0 quand le rang tend vers l’infini. On voit que la suite est bornée par la valeur | M | = 1. Exercices avec corrections Exercice 3.8. Voir la solution Montrer par un raisonnement par récurrence que la suite donnée sous forme récurrente par peut être donnée, sous forme explicite, par La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! Solution de l’exercice 3.8. Retour à l’énoncé La proposition Pn à démontrer est l’égalité un = n+ On doit toujours commencer par vérifier l’ancrage. Il faut vérifier que P0 = u0 = 0+1 1 = 1, ce qui est le cas. On continue par supposer que pour n quelconque on a un = n+ 1 , ce qui est l’hypothèse. Finalement on passe à l’hérédité. Pour démontrer l’hérédité (Pn ⇒ Pn+1 ), on se base sur la définition récurrente de la suite en substituant un (qui est vraie par hypothèse) par sa valeur (donnée sous forme explicite) dans la forme récurrente La dernière expression peut être écrite sous la forme suivante : Il est donc clair que , Pn ⇒ Pn+1 car la forme de l’équation pour un+1 est la même que un . Il est capital de vérifier l’initialisation. Supposons par exemple que la première valeur aie été u0 = 2 au lieu de u0 = 1. Dans ce cas la suite sous forme récurrente aurait été 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 et celle sous forme explicite : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Exercices avec corrections Exercice 3.9. ∗∗∗ Voir la solution Examen de mathématiques section de physique, EPFL, 1999. Montrer que les deux suites ( xn ) et (yn ) définie par  x n +1 = x n y n La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! convergent vers la même limite. Solution de l’exercice 3.9. Retour à l’énoncé La suite ( xn ) est la moyenne géométrique de deux nombres a et b et la suite (yn ) est la moyenne arithmétique de Soit l’expression suivante, vraie pour tout a et b plus grand que zéro : On développe et on réarrange les termes : La moyenne arithmétique est plus grande ou égale à la moyenne géométrique, ce pour tout a, b plus grand que zéro. Pour se rendre compte de ce qui se passe, il est toujours bon de calculer quelques termes. On choisi x0 = 1 et y0 = 50 (de manière tout à fait quelconque, car cela marche pour tout x, y ∈ R+ ). Cela nous donne les suites : ( xn ) = {1, 7.07, 13.42, 14.78, 14.81, …} (yn ) = {50, 25.5, 16.28, 14.85, 14.82, …} On remarque que ( xn ) semble strictement croissante et que (yn ) semble strictement décroissante. D’autre part les suites semblent converger les deux vers une même limite. La première est donc majorée et la seconde minorée. À présent il faut prouver ces observations et montrer que pour n → ∞, on a x = y. Il faut prouver la proposition suivante : P ( n ) : 0 < x 0 < x n < x n +1 < y n +1 < y n < y 0 , La démonstration de (27) se fait par récurrence : On pose l’ancrage en vérifiant que x0 < y0 . L’hypothèse de récurrence est la proposition xn < yn . L’hérédité se démontre en trois temps : Exercices avec corrections i) On montre que xn < xn+1 : ii) On montre que yn+1 < yn : La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! iii) En utilisant le rappel ci-dessus, on démontre l’inégalité centrale, à savoir : Il faut à présent calculer la limite. On a démontré que les suites ( xn ) et (yn ) étaient respectivement strictement croissante (et majorée) et strictement décroissante (et minorée). nous donne comme résultat x = y. On a démontré que les deux suites convergeaient vers la même limite. Cette limite dépend bien entendu des valeurs x0 et y0 . Exercices avec corrections Exercice 3.10. ∗∗ Voir la solution Soit u0 , a, b trois réels. On considère la suite (un ) de nombres réels définie par u0 et la relation de récurrence : 1. Comment appelle-t-on la suite (un ) lorsque a = 1 ? Lorsque que b = 0 et a ̸= 1 ? 2. Dans le cas général, calculer u1 , u2 et u3 en fonction de u0 , a et b. 3. Démontrer par récurrence que le terme général de la suite est donné par : La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! u n = a n u0 + b ∑ a n − k , n ∈ N∗ 4. On suppose que a ̸= 1. Démontrer que : 5. Déduire de ce qui précède que pour tout n ∈ N∗ : a n ( u1 − u0 ) − b 6. On suppose a > 1 et au0 + b > u0 . Montrer que la suite un a pour limite l’infini positif. 7. On suppose 0 < a < 1, montrer que un converge et que sa limite ne dépend pas de u0 . Solution de l’exercice 3.10. Retour à l’énoncé 1. (a) Lorsque a = 1 on a la suite un+1 = un + b qui est la suites arithmétique de raison b. La suite arithmétique est l’aspect discret de la fonction affine. En écrivant quelques termes, on a : u2 = u1 + b = u0 + 2b u3 = u2 + b = u0 + 3b La dernière expression est la forme explicite de la suite arithmétique. De façon générale, on notera la raison avec la lettre r. Ce qui nous donne : (b) Si b = 0 et a ̸= 1 on a un+1 = aun qui est la suite géométrique de raison a. En écrivant quelques termes, on a : La dernière expression est la forme explicite de la suite géométrique. De façon générale, on notera la raison avec la lettre r. Ce qui nous donne : Exercices avec corrections 2. De un+1 = aun + b, on tire : u2 = au1 + b = a ( au0 + b) + b u3 = au2 + b = a ( a ( au0 + b) + b) = a3 u0 + a2 b + ab + b = a3 u0 + b ( a2 + a + 1) 3. La forme explicite de la suite, semble donc être de la forme La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! u n = a n u0 + b ∑ a k Si on regarde bien l’expression obtenue, elle n’est pas très élégante avec le terme final de la sommation qui est n − 1. On peut effectuer la substitution k := n − k, ce qui donne la proposition à démontrer par récurrence : Pn : un = an u0 + b ∑ an−k On commence par l’ancrage et on voit qu’effectivement, P0 est vraie : P0 : u1 = au0 + b ∑ an−k = au0 + b · 1 = au0 + b Calcul de limites de suites Pour calculer la limite d’une suite, il est indispensable de connaître quelques théorèmes et propriétés. On a déjà vu que la limite d’une suite est unique si elle existe. La suite donnée par le terme général xn = −1n n’a pas de limite, même si elle est bornée et que les éléments de la suite se repartissent sur −1 et 1. Ce n’est pas très important ici, mais les points −1 et 1 sont appelés des valeurs d’adhérence de la suite en question. Critères de convergence La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! Toute suite convergente est bornée. Soit ( xn ) une suite converge vers ℓ. Si choisit ϵ = 1, on peut affirmer qu’il existe un entier Nϵ tel que : En ajoutant |ℓ| des deux côtés de l’égalité, cela donne : | xn − ℓ| + |ℓ| ≤ 1 + |ℓ| En appliquant l’inégalité triangulaire inverse on a : | xn | − |ℓ| + |ℓ| ≤ | xn − ℓ| + |ℓ| ≤ 1 + |ℓ| =⇒ | xn | ≤ 1 + |ℓ| Les termes d’indice n < Nϵ sont des termes avec des valeurs finies. La démonstration est terminée. Opérations algébriques sur les suites Les opérations algébriques sur les suites sont fondamentales dans le calcul des limites. Soit les suites ( xn ) et (yn ) de limites respectives ℓ x et ℓy . 1. La suite zn = xn + yn admet comme limite ℓ x = ℓ x + ℓy . 2. La suite xn yn admet comme limite ℓ x ℓy . 3. Si ℓy ̸= 0 et yn ̸= 0, ∀n ∈ N alors la suite yxnn admet comme limite ℓℓyx . 1. Soit les suites ( xn ) et (yn ) convergentes, de limites respectives ℓ x et ℓy . Les deux suites étant convergentes, on peut affirmer qu’il existe Nx et Ny tels que pour tout p ∈ N ≥ Nx et pour tout m ∈ N ≥ Ny , on a : En posant Nϵ = max{ Nx , Ny }, on peut écrire la somme : xn − ℓ x + yn + ℓy = ( xn + yn ) − (ℓ x + ℓy ) ≤ | xn + yn | + ℓ x + ℓy ≤ On a montré que limn→∞ zn = ℓ x + ℓy = ℓz pour (zn ) = ( xn ) + (yn ). Critères de convergence 2. xn est convergente donc bornée par M > 0 tel que l’on a | xn | ≤ M pour tout n ∈ N. On prend maintenant un ϵ Il existe toujours un Nϵ assez grand tel que pour tout n > Nϵ on aura : | xn − ℓ x | ≤ La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! xn yn − ℓ x ℓy = xn (yn − ℓy ) + ℓy ( xn − ℓ x ) ≤ | xn | yn − ℓy + ℓy | xn − ℓ x | ≤ M yn − ℓy + (1 + ℓy )| xn − ℓ x | En substituant 2 dans la dernière inégalité, on a le résultat recherché. xn yn − ℓ x ℓy ≤ M yn − ℓy + (1 + ℓy )| xn − ℓ x | Donc la limite de la suite (zn ) = ( xn )(yn ) est ℓz = ℓ x ℓy . 3. La démonstration se fait en trois étapes : Soit la suite (yn ) qui converge vers ℓy avec yn ̸= 0 pour tout n ∈ N et ℓy ̸= 0. Pour tout β > 1, β ∈ R, il existe Nϵ ∈ N tel que pour n ≥ Nϵ , on a : ( β −1) | ℓ y | > 0, alors il existe n ≥ Nϵ tel que ℓy − |yn | ≤ yn − ℓy ≤ =⇒ ℓy − |yn | ≤ La dernière inégalité peut se récrire : 2e étape : On montre que limn→∞ y1n = ℓ1y On pose β = 2 dans la première partie ci-dessus. Donc, ∃ N1 | ∀n ≥ N1 , D’autre part, ∃ N2 | ∀n ≥ N2 , Conservation de la relation d’ordre En posant Nϵ = max{ N1 , N2 } on a, ∀n ≥ Nϵ : La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! 3e et dernière étape : On utilise le résultat obtenu pour la limite du produit de deux suites en posant Conservation de la relation d’ordre Soit ( xn ) et (yn ) deux suites qui convergent respectivement vers ℓ x et ℓy et supposons qu’il existe un entier naturel Nϵ tel que la relation n ≥ Nϵ implique xn ≥ yn . On alors Le calcul des limites conserve la relation d’ordre. La démonstration se fait par l’absurde. On suppose que ℓ x < ℓy et on donne une valeur qui correspond à cette décision La valeur de ϵ doit être positive dans la définition de la convergence d’une suite et elle l’est dans ce cas. Les suites xn et yn convergent, donc il existe un Nϵ commun aux deux suites tel que pour tout n ≥ Nϵ | xn − ℓ x | ≤ ϵ et Je peux récrire ces deux inégalités de la manière suivante : −ϵ ≤ xn − ℓ x ≤ ϵ =⇒ xn ≤ ℓ x + ϵ −ϵ ≤ yn − ℓy ≤ ϵ =⇒ yn ≥ ℓy − ϵ La valeur de ϵ est + 10 , donc l’inégalité ℓ x + ϵ < ℓy − ϵ est vérifiée, en effet : =⇒ ℓ x + ϵ < ℓy − ϵ On a donc, en combinant les inégalités : xn ≤ ℓ x + ϵ < ℓy − ϵ ≤ yn =⇒ xn < yn La dernière inégalité est un non-sens, donc la limite conserve la relation d’ordre. Grandeurs indéterminées, On appelle des grandeurs indéterminées les quantités suivantes : Théorème des deux gendarmes Les grandeurs suivantes sont déterminées : 1. +∞ + ∞ = +∞ 2. −∞ − ∞ = −∞ 3. ±∞ · ±∞ = ±∞ Le calcul de la limite d’une suite réelle (un ) est toujours donné par l’opération : La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! Théorème des deux gendarmes Théorème 4.4 (Théorème des deux gendarmes). Soit 3 suites xn , an et cn satisfaisant les deux points suivants : 1) limn→∞ an = limn→∞ cn = ℓ ∈ R. 2) Il existe un entier naturel k tel que pour tout n ≥ k : Alors, ( xn ) converge vers ℓ. On sait que limn→∞ an = limn→∞ cn = ℓ. Donc il existe n0 ≥ k tel que pour tout n ≥ n0 : an − ℓ ≥ −ϵ −ϵ ≤ an − ℓ ≤ xn − ℓ ≤ cn − ℓ ≤ ϵ D’où l’on tire que : Soit ( xn ) une suite bornée et (yn ) une suite qui converge vers zéro. Alors, la suite produit (un = xn yn ) converge elle ( xn ) étant bornée, il existe M > 0 tel que | xn | ≤ M pour tout n. Pour tout n on a aussi : 0 ≤ | xn yn | ≤ M |yn | Comme un = xn yn on a, par le théorème des deux gendarmes que (|un |) tend vers zéro, par conséquent (un ) également. Critère de d’Alembert Critère de d’Alembert Soit ( xn ) une suite d’élément de R∗ pour laquelle un nombre réel ρ existe. Ce nombre est donné par l’expression : Si ρ < 1 la suite ( xn ) converge vers zéro. Si ρ > 1 la suite diverge. Si ρ = 1 on ne peut rien affirmer. La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! Démonstration à faire Exercices avec corrections Exercices avec corrections Exercice 4.1. Voir la solution Calculer sa limite, si celle-ci existe. La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! Solution de l’exercice 4.1. Retour à l’énoncé (un ) = {1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, ….} La suite est bornée, par exemple, par m = −2 et , M = 3. On peut remarquer que m = −2 ≤ min (−1)2n+1 , (−1)2n M = 3 ≤ max (−1)2n+1 , (−1)2n m et M sont respectivement un minorant et un majorant de la suite. Les points −1 et 1 sont des points d’accumualtion, mais pas des limites de la suite. On a vu que la limite devait être unique si elle existait. Chaque suite qui converge a un seul point d’adhérence qui est sa limite. La suite, bien que bornée ne converge pas. Il faut le démontrer en trouvant une contradiction à la définition de la limite Supposons que la limite de la suite soit ℓ x = 1. Il est impossible de trouver une valeur Nϵ à partir de laquelle tous les xn soient aussi proches que l’on désire de ℓ x . Soit ϵ = 2n1+1 . On peut écrire : (−1)2n+1 − 1 = 2 ≤ Il n’existe pas de Nϵ qui satisfasse cette inégalité, car n ∈ N. Par conséquent la suite un est divergente. Exercices avec corrections Exercice 4.2. Voir la solution Montrer les limites suivantes en utilisant la définition 20. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! Solution de l’exercice 4.2. Retour à l’énoncé Dans les deux cas il faut démontrer que pour tout ϵ > 0, on peut toujours trouver une valeur Nϵ ∈ N telle que pour tout n > Nϵ , l’intervalle |un − ℓ| est plus petit que ϵ. Prenons par exemple ϵ = 10−4 , dans ce cas Nϵ > √1ϵ = 100. En prenant Nϵ = 101 on vérifie bien que . Comme ϵ est strictement plus grand que 0, il sera toujours possible de trouver une valeur pour Nϵ . Ce qui démontre que La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. − 0 ≤ ϵ =⇒ ∃ Nϵ | ∀n > Nϵ , 2 < ϵ En posant Nϵ = n + 1 on a Il faut vérifier que pour tout ϵ, Comme ϵ est strictement supérieur à zéro la dernière inégalité prouve que Exercices avec corrections Exercice 4.3. Voir la solution Calculer les limites suivantes : Pendez les écolos, ils adorent les arbres! La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Solution de l’exercice 4.3. Retour à l’énoncé 1. Une bonne habitude est de commencer par mettre en évidence le terme de degré le plus élevé du dénominateur, n4 en l’occurrence n→∞ 4 10−300 n4 +10n3 n→∞ 10−300 n4 + 10n3 n→∞ 10−300 + 10 1 + lim 2 = 1 + 0 = 1 Exercices avec corrections La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! La limite n’existe pas, la suite est divergente. n→∞ 4n − 4 n + 1 n→∞ 4n − 4 n + 1 n→∞ 4n − 4 n + 1 n2 ( n − 1) − n2 ( n + 1) Exercices avec corrections Exercice 4.4. Voir la solution Calculer les limites suivantes : La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! Solution de l’exercice 4.4. Retour à l’énoncé 1. On utilise le théorème des gendarmes (4.4). On pose Pour tout n à partir de N = 1 (on pourrait prendre N = 1012 !), On en déduit que limn→∞ 2. On utilise à nouveau le théorème des deux gendarmes (4.4). On pose Pour tout n à partir de N = 1 Exercices avec corrections On en déduit que limn→∞ √ La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! On ne peut avoir une limite oscillant entre −1 et 1, la limite d’une suite, pour autant qu’elle existe est unique. Ici, la limite n’existe donc pas. Exercices avec corrections Exercice 4.5. Voir la solution Calculer les limites suivantes : La culture c’est comme la confiture, moins on en a plus on l’étale. Pendez les écolos, ils adorent les arbres! Solution de l’exercice 4.5. Retour à l’énoncé 1. Lorsque l’on est en présence de racines, c’est en général une bonne idée de multiplier dénominateur et numérateur par la racine conjuguée.