Fonctions, limites et dérivées

Fonctions et dérivées http://mmichelsemon.ch Version du 14/07/2026 12:37 Cette fiche fournit les notions théoriques indispensables concernant les fonctions, les limites de fonctions et les dérivées de fonctions. 2.1 Fonction réelle d’une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Limites de fonctions 3.1 Fonction définie au voisinage d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Opérations algébriques sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Continuité d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Prolongement par continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Exercices – Limites de fonctions et continuité 5.1.2 Aire et périmètre d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.3 Calcul d’une dérivée d’une fonction en un point et fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.4 Propriétés des dérivées, règles de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.4.1 Démonstration de la règle de dérivation d’une fonction composée . . . . . . . . . . . . . 19 5.5 Différentiabilité versus dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.9 Où une fonction atteint-elle ses extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5.11 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.13 Fonction réciproque d’une fonction différentiable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6 Exercices sur les dérivées 6.1 Solutions des exercices sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 J’ai remarqué que chez tous les élèves la notion de fonction était toujours quelque chose d’assez vague. Je vais donner dans les sections qui suivent des notions précises et exactes de ce qu’est une fonction réelle d’une variable réelle (pour de plus ample détail. Fonction réelle d’une variable réelle Une fonction f définie sur E à valeurs dans F est définie par le triplet avec E et F des sous-ensembles non vides de R et G une partie du produit cartésien E × F (ensemble des points (x; y)). Pour tout élément de x ∈ E, il existe un élément et un seul y, de F tel que le couple (x, y) appartienne à G.G est appelé le graphe de f , E son ensemble de départ et F son ensemble d’arrivée. En général une fonction est notée : Pour montrer qu’à x ∈ E correspond f (x) ∈ F , on note x 7→ f (x), ce qui signifie que f (x) est associé à x 1 . L’ensemble des points y = f (x) est appelé l’image de E par f . On définit également l’ensemble Im f qui est l’ensemble des images par f de E. La fonction f : E → F est surjective si F = Im f . De manière plus imagée, une fonction f est surjective si son ensemble d’arrivée est complètement “occupé”. Une fonction f : E → F est injective si : (x1 , x2 ∈ E et f (x1 ) = f (x2 )) (x1 , x2 ∈ E et x1 ̸= x2 ) (f (x1 ) ̸= f (x2 )) ou par contraposition : Autrement dit, une fonction est injective si, quand elle a une image, cette dernière est unique. Une fonction est bijective quand elle est à la fois injective et surjective. Une fonction est dite paire si son ensemble de départ E est symétrique par rapport à l’origine et si (symétrie axiale par rapport à l’ordonnée Oy) 1. et non pas l’horrible “va vers” qui apparait très souvent. Fonction périodique Une fonction est dite impaire si son ensemble de départ E est symétrique par rapport à l’origine et si f (x) = −f (−x). (symétrie centrale par rapport à l’origine.) Fonction périodique Une fonction est dite périodique de période T si pour tout élément de son ensemble de départ, f (x) = f (x + T ). La quantité nT , avec n ∈ Z∗ , est également une période. Limites de fonctions Dans cette section nous allons voir comment traiter les calculs de limites sur des fonctions. Dans ces calculs, la limite n’est pas toujours la limite prise à l’infini comme dans une suite, mais peut prendre n’importe quelle valeur, finie ou infinie que l’on notera x0 . Fonction définie au voisinage d’un point Une fonction f : E → F est définie au voisinage du point x0 si pour tout α > 0, ] − α + x0 ; x0 + α[ ⊂ E ∪ {x0 } La fonction f (x) = x1 est définie au voisinage de , , 0 mais pas en 0. L’important est ici la notion de voisinage qui donne une sorte d’“étendue” à x0 même s’il n’est pas nécessaire que x0 fasse partie de l’ensemble de départ. Limite d’une fonction Une fonction f : E → F définie au voisinage de x0 admet la limite L en ce point lorsque x → x0 si à tout intervalle ϵ > 0, on peut associer un intervalle δ, tel que (x ∈ E et 0 ≤ |x − x0 | ≤ δ) ⇒ |f (x) − L| ≤ ϵ. Il faut bien remarquer que dans cette définition f (x) n’est pas égal à L. Cela sous-entend qu’une fonction peut tendre vers une valeur qui elle-même ne fait pas partie de l’ensemble d’arrivée F , de même que x ne fait pas forcément partie de l’ensemble de départ E. Opérations algébriques sur les limites On peut énoncer les propriétés suivantes : a) limx→x0 (α · f (x) + β · g(x)) = αL1 + βL2 b) limx→x0 (f (x)g(x)) = L1 L2 c) pour L2 ̸= 0, limx→x0 d) Le théorème des deux gendarmes est valable pour les limites de fonctions également. Formes indeterminées Formes indeterminées On appelle grandeurs indeterminées les quantités suivantes : Les grandeurs suivantes sont déterminées : 1. +∞ + ∞ = +∞ 2. −∞ − ∞ = −∞ 3. ±∞ · ± ∞ = ±∞ Continuité d’une fonction en un point Une fonction f : E → F est continue en x0 ssi limx→x0 = f (x0 ) Prolongement par continuité en un point Soit une fonction f : E → F et un nombre c n’appartenant pas à E. La limite pour x → c de f existe. La limz→c f (x) si x = c est appelée prolongement par continuité de f . C’est ce que l’on peut utiliser pour “supprimer” les trous dans l’ensemble de départ d’une fonction (ensemble de départ = domaine de définition). Exercices – Limites de fonctions et continuité Ex 4.1. Discuter les limites limx→x0 f (x) suivantes, si elles ne convergent pas, donner une suite (un ) qui converge vers x0 et dont la suite de terme ūn = f (un ) diverge. Faire de même pour une des suites convergentes. Ex 4.2. Montrer que la fonction suivante ne peut pas être prolongée par continuité en x = 0. 1. f (x) = sin( x1 ) Ex 4.3. Calculer les limites suivantes à l’aide du théorème des deux gendarmes. Ex 4.4. Calculer les limites suivantes Ex 4.5. Démontrer que : Ex 4.6. Calculer les limites : Ex 4.7. Calculer les limites à droite ou à gauche suivantes : x>−1 x − 2x − 3 (−x2 − 1)(x + 3) Ex 4.8. Calculer les limites suivantes : Ex 4.9. Démontrer en utilisant la définition 3.5 que la fonction f (x) = x2 + 2 est continue en 3. 1. Le domaine de définition de la fonction est Df = R\{−5} et on nous demande la limite pour x tendant vers 0. Le point x = 0 appartient au Df . En ce point, la valeur de la limite est la même que la valeur de La fonction est continue en x = 0. 2. (Solution détaillée) On voit que f (−4) est une valeur indéterminée 00 . On essaie de lever l’indétermination Comme x est différent de x0 = 4, puisqu’il ne fait que tendre vers cette valeur, on peut simplifier le facteur (x + 4). Il faut bien comprendre que x est dans le voisinage de 4, mais ne vaut pas 4. Après simplification : = lim (x − 2) = −6 n’est pas continue en , , x = 4 mais sa valeur tend vers une limite finie qui est −6. Ce type de discontinuité est dite discontinuité apparente. On peut “réparer” la fonction et la rendre continue en la prolongeant ainsi : La fonction donnée, f (x) = On cherche à présent une suite numérique dont la valeur tend vers −4 lorsque son argument n tend vers l’infini. On peut choisir la suite donnée sous forme explicite par En substituant dans la limite donnée, les occurrences de x par la suite (un ), on obtient une nouvelle version la limite initiale : Le résultat est identique. 3. En substituant x = 3 dans la fonction dont on cherche la limite on obtient une indéterminée, donc on x→3 (x + 3)(x − 3) On simplifie et on calcule la limite, 4. (Solution détaillée) Après avoir factorisé, on remarque que l’on tombe sur une indéterminée de type ( a0 ). Mais ici la situation change, on ne peut pas lever l’indétermination en simplifiant des facteurs. On est dans le cas d’une discontinuité “plus grave”, car elle ne peut pas être éliminée. On nous demande uniquement de trouver un changement de variable qui permette de transformer la limite donnée pour x → 5 en une limite pour n → ∞. et on la substitue dans l’énoncé lim 12 + lim 36n + lim Remarque 1. Alors pourquoi ne pas dire que la fonction tend vers l’infini lorsque x tend vers 5. La raison est la suivante : 5 est une valeur qui peut être approchée depuis en haut, mais aussi depuis en bas. La suite de terme un = 5 + n1 est une suite qui tend vers , , 5 mais pour des valeurs un tout petit peu supérieures à 5. On ne peut pas donner une solution en ne connaissant que la moitié du problème. On verra par la suite 5. On a une valeur indéterminée en x = 3. On amplifie la fonction par l’expression conjuguée du (3 − x + 6)( x + 1 + 2) x→3 ( x + 1 − 2)( x + 1 + 2) (3 − x + 6)( x + 1 + 2) La valeur est toujours indéterminée en x = 3. On procède à nouveau en multipliant numérateur et dénominateur par la racine conjuguée adéquate, (3 − x + 6)( x + 1 + 2) (3 − x + 6)(3 + x + 6)( x + 1 + 2) (x − 3)(3 + x + 6) −(x − 3)( x + 1 + 2) Solution Ex 4.2. to4.2. L’idée est de trouver deux suites un et vn qui tendent vers zéro et dont l’image par la fonction f n’est pas la même, limn→∞ f (un ) ̸= limn→∞ f (vn ). En d’autres termes on substitue x = 0 par des suites dont la limite est également zéro, mais dont les images par f seront différentes. On démontre ainsi que f a deux comportements différents selon les cas et que, par ce fait, ne peut être prolongée par continuité pour en faire une fonction continue. On substitue un et vn dans x et on calcul la limite des nouvelles suites obtenues : Les limites sont différentes, la fonction n’est pas continue en x = 0. Un seul contre-exemple suffit. Solution Ex 4.3. →4.3. On va choisir deux fonctions fa et fc de manière à ce que fa soit toujours plus petite que fb (qui est la fonction donnée), et que fc soit toujours plus grande que fb . Cette dernière est ainsi prise en sandwich. Si de plus fa et fc ont la même limite alors fb aussi. et on vérifie que pour tout x ∈ R\{0}, − (−x2 ) ≥ 0 −→ x2 (±1 + 1) ≥ 0 ≥ 0 −→ x2 (1 ± 1) ≥ 0 Les conditions pour le théorème des deux gendarmes sont remplies et comme lim fa (x) = lim −x2 = 0 et lim fc (x) = lim x2 = 0 Figure 1 – Exercice 4.3 et on vérifie que pour tout x ∈ R\{0}, − (−|x|) ≥ 0 −→ x(±1 + 1 · sgn(x)) ≥ 0 ≥ 0 −→ x(sgn(x)) − ±1) ≥ 0 Les conditions pour le théorème des deux gendarmes sont remplies et comme lim fa (x) = lim −|x| = 0 et lim fc (x) = lim |x| = 0 3. limx→0 sinx x A ce niveau, les élèves ne sont pas sensés connaître le théorème de L’Hospital. Pour trouver les fonctions fa et fc , on va faire une approche géométrique en utilisant le dessin (voir figure 3). On peut définir les aires suivantes (on pose α = x), Figure 2 – Exercice 4.3 et la relation d’ordre aire triangle OCB ≤ aire secteur OCB ≤ aire triangle OCD ∀x ∈ [0; [ . sin(x) ≤ x ≤ tan(x) = On peut à présent choisir fa (x) = cos(x) et fc (x) = 1. On remarque que lim fa (x) = lim cos(x) = lim fc (x) = 1 et on en déduit que 1. On va utiliser la limite déjà démontrée à l’exercice 4.3, à savoir que limx→0 Figure 3 – Exercice 4.3 Figure 4 – Exercice 4.3 2. On amplifie la fraction par la quantité adéquate : 3. On amplifie la fraction par la quantité adéquate : 4. On pose x = y + 1 et on substitue dans la limite donnée. 5. On pose x = y − 1 et on substitue dans la limite donnée. x→−1 sin(3x + 3) (y−1)→−1 sin(3(y − 1) + 3) 3 · limy→0 cos(7y) 1. On amplifie par 1 + cos(x) 1 − cos(x) 1 + cos(x) 2. On amplifie par 1 + cos(x) 1 − cos(x) 1 + cos(x) Calculer les limites en utilisant : On commence par introduire la fonction signe dont l’expression est Cette fonction est très commode lorsque l’on doit travailler avec le signe que prend une fonction en différents points plutôt qu’avec la valeur numérique en ces points. C’est la fonction utilisée dans tous les tableaux des signes, lorsque l’on fait l’opération “+ · − · + = −”, on fait en réalité le produit +1 · − 1 · + 1 = −1 pour décider si la valeur de la dernière ligne du tableau est positive ou négative. 1. On commence par factoriser, (x + 1 + 2)(x + 1 − 2) Il n’y a rien à simplifier. Le numérateur à la valeur N (5) = 34. Pour une valeur de, par exemple, 5.00001 (on demande une approche depuis x > 5) la valeur N (5.00001) = 34.0001 est du même signe que N (5). En substituant x = 5 dans le dénominateur, celui-ci va tendre vers zéro, donc le résultat final de la limite sera ±∞. C’est le signe de dénominateur qui va décider du signe de l’infinité. Dans ce cas on voit que D(5.00001 = 0.00001) est positif (0+ ). Le signe de la fraction sera donc + + = + donc la limite vaut +∞ 2. C’est la même limite que précédemment, mais cette fois on demande sa valeur pour x tendant vers 5, mais par le bas (on dit aussi par la gauche). Le numérateur garde la même signe positif qu’avant (sgn(N (4.9999)) = sgn(N (5)) = +1. Le dénominateur est cette fois-ci est négatif, en effet sgn(4.9999 − 5) = = −1. La limite tend vers moins l’infini lorsque x tend vers 5 par la droite. −1. Le signe de l’infini devient −1 On peut effectuer le calcul de ce type de limite en utilisant une suite numérique. Prenons les deux exemples précédents et substituons à x la suite un = 5 + n1 , dans la première limite, et vn = 5 − n1 dans la seconde. Il est clair que la suite un tend vers 5 par la droite et que la suite vn tend vers 5 par la gauche. La substitution change les limites vers des valeurs finies en des limites vers l’infini (n → ∞). 5 + n1 + 2 5 + n1 − 1 Les résultats des deux méthodes concordent. La deuxième méthode est une preuve de ce que l’on fait plutôt instinctivement dans la première. x→−1 x2 − 2x − 3 x→−1 (x − 3)(x + 1) Ni (x − 3), ni (x + 1) ne sont des diviseurs du numérateur, car N (3) ̸= N (−1) ̸= 0. On sait ainsi que la factorisation de ce dernier ne permettra pas de simplification. On remarque que le facteur (x+1) deviendra très petit (donc la limite sera ±∞) et de signe positif pour x → −1 de puis la droite (sgn(−0.99 + 1) = +1. En remplaçant x par −1 dans le numérateur on a sgn(N (−1)) = −1. Le facteur du dénominateur (x − 3) nous apporte un signe négatif (sgn(−1 − 3) = −1). Le résultat est donc x→−1 x2 − 2x − 3 x→2 (x − 2)(x − 3)) On sait que le facteur (x − 2) va tendre vers zéro et que de ce fait le calcul de la limite donnera ±∞. En appliquant la fonction sgn(x) à chaque facteur, on obtient sgn(0− ) · sgn(2 − 3) (−x2 − 1)(x + 3) x→−1 (x + 1)(x − 2) Le facteur (x + 1) tend vers 0+ , donc la limite de la suite sera ±∞. On applique la fonction signe pour sgn(−1 + 3) · sgn((−1)2 + 1) sgn(0+ ) · sgn(−1 + 2) (−x2 − 1)(x + 3) x→−1 (x + 1)(x − 2) 6. Le numérateur n’est pas factorisable (discriminant négatif) et est toujours négatif (parabole concave). Le dénominateur est un carré et sera toujours positif. Il s’annule lorsque x tend vers 2, on a une limite infinie. Le signe de cet infini est négatif donc 1. Ici la factorisation change de style, en général on met en évidence le du dénominateur ayant le plus grand x→∞ x4 − 2×3 + 1 limx→∞ x12 − limx→∞ x14 1 − limx→∞ x2 + limx→∞ x14 2. On met en évidence x4 x→−∞ x4 − 2 + 2×3 x→−∞ x4 1 − 2 − 24 x→−∞ 1 − 2 − 24 limx→−∞ x − limx→−∞ x1 + limx→−∞ x34 1 − limx→−∞ x2 − limx→−∞ x24 limx→−∞ x − 0 + 0 3. On met en évidence x2 , x→∞ 2×2 − 4x + 2 x→∞ x2 2 − 4 + 22 x→∞ 2 − 4 + 22 8 − limx→∞ x12 2 − limx→∞ x4 + limx→∞ x22 Le nom de dérivée est à mon avis mal choisi, celui de taux d’accroissement instantané bien que plus long, est plus juste. Commençons par deux exemples. A l’instant t0 , on ouvre un robinet qui coule avec un débit de 5 litres par seconde dans un bassin fermé contenant déjà 200 litres d’eau. Si on laisse le robinet ouvert durant un laps de temps ∆t, la quantité d’eau L, à l’instant L(t0 + ∆t) = 5(∆t) + 200 = 5(∆t) + L(t0 ) Si on s’intéresse à l’accroissement moyen, en litres par secondes, de la quantité d’eau dans le bassin à un instant t0 + ∆t quelconque, il suffit de soustraire de la quantité L(t0 + ∆t) la quantité initiale L(t0 ) = 200 et de diviser cette différence par la durée ∆t, L(t0 + ∆t) − L(t0 ) On remarquera que cette quantité, indépendante du temps, est la pente de la fonction affine L(t) = 5t + 200 qui donne la quantité d’eau dans le bassin t secondes après avoir ouvert le robinet. Aire et périmètre d’un cercle On veut calculer le taux d’accroissement de l’aire d’un disque de rayon r0 lorsqu’on augmente son rayon d’une quantité ∆r. Ce taux d’accroissement aura pour unités des m2 /m (augmentation de l’aire due à une augmentation du rayon). On se doute déjà que le taux d’accroissement de l’aire du disque va dépendre de r0 , c’est-à-dire de l’état initial. Soit A la fonction donnant l’aire du disque si on augmente le rayon d’une petite quantité ∆r on calcule le taux d’accroissement qui vaut A(r0 + ∆r) − A(r0 ) π(r0 + ∆r)2 − πr02 On s’intéresse maintenant au taux d’accroissement instantané donc on fait tendre ∆r vers 0. On obtient la limite Dérivée d’une fonction de l’expression ci-dessus : π(r0 + ∆r)2 − πr02 π(r02 + 2r0 ∆r + (∆r)2 − r02 ) π(2r0 ∆r + (∆r)2 ) lim (2πr0 + π∆r) L’accroissement instantané de l’aire d’un disque est donc son périmètre. Ce qui est logique, car si ∆r tend vers zéro, l’aire “gagnée” devient une mince “ficelle” entourant le disque. Mais stop, l’accroissement d’une surface ne peut pas être donné par des mètres, il y a donc une erreur. Non, en réalité c’est au taux d’accroissement que l’on qui se simplifie en m. s’intéresse et pas à l’accroissement même. Le taux d’accroissement est en Dans le cas de la fontaine, on voit que le taux d’accroissement instantané de la quantité d’eau dans le bassin ne dépendait pas du temps (car le débit du robinet était constant). Dans le cas de l’aire du disque, pour un r0 petit, l’augmentation de surface sera moins grande que pour une valeur de r0 élevée et ce pour la même augmentation infinitésimale (qui tend vers zéro) de ∆r. Dérivée d’une fonction Soit f : E → F une fonction définie au voisinage d’un point x0 . f est dite dérivable en x0 si le rapport f (x0 + ∆x) − f (x0 ) existe lorsque ∆x tend vers zéro. On appelle la grandeur f (x0 + ∆x) − f (x0 ) la dérivée de f au point x0 . Remarque 2. En posant ∆x = x − x0 et en substituant cette valeur dans 1 on obtient une deuxième définition de la dérivée d’une fonction en un point : f (x0 + ∆x) − f (x0 ) Calcul d’une dérivée d’une fonction en un point et fonction dérivée On a défini le calcul de la dérivée en un point x0 de la fonction f (x) et on a noté celle-ci par f ′ (x0 ). Il est clair que x0 appartient à E donc on peut étendre la dérivée à tous les points d’abscisse. On notera alors la dérivée de la fonction f ′ (x) D(f (x)) = f ′ (x) où D() est un opérateur. f ′ (x) est appelée fonction dérivée de la fonction f (x). Remarque 3. Dans la majorité des livres on trouve la définition de f ′ (x) Propriétés des dérivées, règles de dérivation Propriétés des dérivées, règles de dérivation On peut énoncer les règles suivantes, la seule que l’on démontrera est la formule de dérivation d’une fonction [g(f )] = (g ◦ f )′ Quelques dérivées à retenir : cos(x)′ = − sin(x) (attention au signe moins !) tan(x)′ = cos12 (x) = 1 + tan2 (x) (ax )′ = ax · ln(a) (ex )′ = ex · ln(e) = ex Démonstration de la règle de dérivation d’une fonction composée On veut démontrer que (g ◦ f ) (x0 ) = g ′ (f (x0 )) · f ′ (x0 ). On suppose que la fonction f est continue et non constante sur tout son domaine de définition donc que limx→x0 f (x) = f (x0 ). Pour tout x ̸= x0 on peut écrire : g(f (x)) − g(f (x0 )) g(f (x)) − g(f (x0 )) f (x) − f (x0 ) g(f (x)) − g(f (x0 )) g ′ (f (x)) · f ′ (x) Différentiabilité versus dérivabilité Une fonction f de E dans F est dite différentiable en x0 si il existe une fonction r de E dans F telle que les deux propriétés suivantes soient vérifiées ∀x ∈ E : f (x) = f (x0 ) + a(x − x0 ) + r(x) Prenons la propriété ii) et transformons là un peu. f (x) = f (x0 ) + a(x − x0 ) + r(x) On peut voir graphiquement le résultat à la figure 5 f (x) − f (x0 ) = a(x − x0 ) + r(x) Remarque 4. Pour le moment nous ne nous occupons pas de la fonction r(x). Exemple 1. Choisissons la fonction f (x) = x3 au voisinage de x0 = 2. Nous pouvons calculer les valeurs f ′ (x0 ) = 3×20 = a = 12 Théorèmes importants Figure 5 – On peut approximer des valeurs de f (x) proche de x0 en utilisant la dérivée (voir exemple ci-dessous). On voit que si x tend vers x0 , r(x) devient de plus en plus petit, autrement dit l’erreur sur la valeur de f (x0 ) devient insignifiante. donc, d’après 9 au voisinage de 2 nous avons : x3 = 8 + 12(x − 2) Calculons l’approximation de f (2.1) = (2.1)3 , f (2.1) = 8 + 12(0.1) = 9.2 La valeur exacte est 9.261, donc toute proche de celle trouvée. Une fonction différentiable peut-être approchée en un point x0 quelconque de son domaine de dérivabilité par une fonction linéaire ayant sa dérivée f ′ (x0 ) comme taux d’accroissement. On verra que dans le cas des fonctions de plusieurs variables, une fonction peut avoir une dérivée et ne pas être différentiable en certains points. Pour les fonctions d’une seule variable (celles qui nous intéressent) on peut établir l’identité entre les notions dérivabilité et différentiabilité. Théorèmes importants Si une fonction f : E → F différentiable en x0 admet un extremum local en x0 alors f ′ (x0 ) = 0. La démonstration est assez simple, si une fonction possède un maximum ou un minimum alors les signes de ses limites à gauche et à droite, en x0 , sont opposés, et de ce fait nul en x0 (la fonction est supposée continue). Remarque 5. Soit une fonction f : E → F différentiable en x0 et f ′ (x0 ) est nulle. Le point (x0 ); f (x0 ) n’est un extremum que si la dérivée seconde f ′′ (x0 ) est différente de zéro. Exemple 2. Voilà deux exemples : 1. Soit f : R → R, x 7→ x3 . La dérivée f ′ (x) = 3×2 s’annule en x = 0, mais la fonction n’a pas d’extremum en ce point. Si on dérive à nouveau on voit que la valeur f ′′ (x) = 6x est également nulle en x = 0. Une dérivée seconde d’une fonction continue qui s’annule en un point x0 , traduit un changement de convexité. On appelle ces points des points d’inflexion. Points stationnaires 2. Soit la fonction f : R →] − π2 ; π2 [, x 7→ tan−1 (x). Les dérivées premières et secondes sont : La dérivée première vaut un en zéro et la dérivée seconde est nulle à ce même point. Il n’y a pas d’extremum, mais un changement de convexité pour la fonction arctangente en x = 0. (Voir figure 6). f (x) = x3 ; f (0) = 0 f 0 (x) = (3×2 ); f 0 (0) = 0 f 00 (x) = 6x; f 00 (0) = 0 f (x) = –tan 1 (x); f (0) = 0 Figure 6 – Points d’inflexion Points stationnaires f : E → F différentiable en x0 , si f ′ (x0 ) = 0 alors x0 est appelé point stationnaire ou aussi parfois point Où une fonction atteint-elle ses extremums Soit f : [a; b] → F une fonction continue. f atteint ses extremums : 1. soit aux bornes de l’intervalle [a; b], 2. soit aux points stationnaires 3. soit aux points de ]a; b[ n’appartenant pas à Df . Exemple 3. Soit la fonction f : [−1; 2] → R, x 7→ (x − 2) x2 . La dérivée est et le domaine de définition Df =] − 1; 0[∪]0; 2[. L’unique point stationnaire est x = 45 . La fonction peut atteindre ses extremums en −1, 0, 45 ou 2 et nulle part ailleurs. Les valeurs par f de ces points est respectivement −3, 0, 25 et 0. f est minimum en x = −1 et maximum en x = 0 et x = 2. Le minimum local en x = 5 n’est pas un extremum global. Il faut bien noter ce fait, un extremum n’est pas forcément situé à un point stationnaire. Soit a et b deux nombres réels et f : [a; b] → F une fonction continue sur [a; b] et différentiable sur ]a; b[ telle que f (a) = f (b). Alors, il existe c ∈]a; b[ tel que f ′ (c) = 0. Théorème des accroissements finis Exemple 4. Soit f : π4 ; 3π | x 7→ sin x. f est continue sur R et f π4 = f f ′ (x) = cos x qui s’annule pour x = π2 qui appartient à l’intervalle π4 ; 3π = √12 . La dérivée de f est Théorème des accroissements finis Soit a < b deux nombres réels et f : [a; b] → F une fonction continue sur ]a; b[. Alors il existe un élément f (b) − f (a) = f ′ (c)(b − a) −→ f ′ (c) = Exemple 5. Intuitivement cela signifie que si on se déplace d’un point à un autre avec une vitesse moyenne de 56.78 km/h, il y aura forcément au moins un endroit le long du trajet où la vitesse instantanée aura été de 56.78 Remarque 6. C’est un des théorèmes les plus importants du calcul différentiel. Règle de L’Hospital Soit f et g deux fonctions différentiables sur un intervalle ]a; b[. g et g ′ ne s’annulent en aucun point de l’intervalle lim+ f (x) = lim+ g(x) = α avec α = 0 ou ∞ = µ, µ ∈ R, alors lim+ Exemple 6. Soit la limite limx→ 0 sinx x . On a lim sin(x) = lim x = 0 Fonction réciproque d’une fonction différentiable Soit I un intervalle ouvert de R et f : I → R une fonction bijective continue sur I. On suppose que f est différentiable en x0 et que f ′ (x0 ) ̸= 0. Alors, f admet une fonction réciproque f −1 : F → I qui est différentiable au point y0 = f (x0 ). De plus on a : (f −1 )′ (y0 ) = ′ Exemple 7. Calculer la dérivée de la fonction f : R →]− π2 ; π2 [ | y 7→ arcsin(y). La fonction f est la fonction réciproque de la fonction continue g :]− π2 ; π2 [→ R | x 7→ sin(x). On sait que g ′ (x) = cos(x), donc mais y = sin(x) donc f ′ (y) = (arcsin(y))′ = p Exercices sur les dérivées Ex 6.1. Donner le domaine de définition, la parité et le tableau des signes des fonctions suivantes : Ex 6.2. Calcul de dérivée à partir de la définition En utilisant une des définitions ci-dessus, calculer la valeur f ′ (x0 ) en x0 pour les fonctions suivantes : a) f (x) = 5, x0 = 45 b) f (x) = x2 + x, x0 = 4 c) f (x) = sin(x), x0 = π3 d) f (x) = ax , x0 = 0 e) f (x) = xn , x ∈ R, n ∈ N Ex 6.3. Calcul de fonctions dérivées à l’aide des propriétés Calculer les dérivées des fonctions suivantes a) f (x) = x3 + x12 + (2x − 5) 7 c) f (x) = tan3 2x x−1 Ex 6.4. Montrer que la fonction ci-dessous est continue et différentiable , mais que sa dérivée n’est pas continue limu→0 f (u) = 0 si x = 0 Ex 6.5. Soit la fonction f : R → R | x 7→ f (x) = (x2 − 1)(x + 3) Trouver l’équation de la tangente au graphe de f passant par le point (−2; 4). Ex 6.6. Soit la fonction f (x) = axx+bx+c . On sait que les droites x = 3 et y = 2 sont des asymptotes du graphe de f . On sait également que par le point f (1) = 3 passe une tangente horizontale à f . Ex 6.7. Soit la fonction f : R → R | x 7→ f (x) = 1. Trouver l’équation de la tangente T à f en x = 1. 2. Trouver tous les points d’intersection entre T et f . 3. Trouver l’équation de toutes les normales à f passant par l’origine. Solutions des exercices sur les dérivées Ex 6.8. Soit la fonction Trouver les équations de toutes les tangentes au graphe de f qui passent par l’origine ainsi que les coordonnées de leurs points de contact avec f . f : R → R | x 7→ f (x) = Solutions des exercices sur les dérivées 1. i) Domaine de définition : (x − 1) x2 + x + 1 Le domaine de définition est Df = R\{0, 2}. Le domaine de définition est asymétrique, la parité est quelconque (ni paire ni impaire). ii) Tableau des signes : 2. i) Domaine de définition : 3×3 + 9×2 + 4x − 4 (x − 1)(x + 1)(x + 3) (x + 2) 3×2 + 3x − 2 (x − 1)(x + 1)(x + 3) Le domaine de définition est Df = R\{−3, −1, 1}. Le domaine de définition est asymétrique, la parité est quelconque (ni paire ni impaire). ii) Tableau des signes : Solutions des exercices sur les dérivées 3. i) Domaine de définition : Le domaine de définition est Df = R\{−2, −1}. Le domaine de définition est asymétrique, la parité est quelconque (ni paire ni impaire). ii) Tableau des signes : Solution Ex 6.2. Calcul de dérivée à partir de la définition a) f (x) = 5, x0 = 45 On utilise f ′ (x0 ) = lim∆x→0 f (x0 +∆x)−f f (5 + ∆x) − f (5) La dérivée d’une fonction constante est nulle. b) f (x) = x2 + x, x0 = 4 f (x0 + ∆x) − f (x0 ) (x0 + ∆x)2 + (x0 + ∆x) − (x20 + x0 ) 2×0 ∆x + (∆x)2 + ∆x lim (2×0 + 1 + ∆x) f ′ (x0 ) = f ′ (4) = 9 c) f (x) = sin(x), x0 = π3 Solutions des exercices sur les dérivées Rappel : sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a) sin(x0 + ∆x) − sin(x0 ) sin(x0 ) cos(∆x) + sin(∆x) cos(x0 ) − sin(x0 ) sin(x0 ) cos(∆x) − sin(x0 ) On a démontrer au paragraphe que sin(x0 ) · 0 + cos(x0 ) · 1 d) f (x) = ax , x0 = 0 f (x + ∆x) − f (x) ax ne dépend pas de ∆x, on peut donc le sortir devant la limite La fonction L(a) = lim∆x→0 a ∆x−1 est une définition possible pour la valeur ln(a). On retiendra (ax0 )′ = e) f (x) = xn , x ∈ R, n ∈ N. On utilise la formule f ′ (x) = limh→0 f (x+h)−f afin d’alléger l’écriture. Ckn · an−k · bk avec Ckn = Solutions des exercices sur les dérivées on met xn en évidence et on réduit · xn−(k+1) · hk−1 · xn−(k+1) · hk−1 on factorise la quantité n · xn−1 · h · xn−(k+1) · hk+1 · x−(k+1) · hk+1 Solutions des exercices sur les dérivées Solution Ex 6.3. Calcul de fonctions dérivées à l’aide des propriétés f (x) = x3 + x−2 + (2x − 5) 7 − 3 + 3x + (2x − 5) 7 2x · (3x − 1)2 − 2 · (3x − 1) · 3 · (x2 + 1) (2 · cos(2x) · (− sin(2x)) · 2 · tan(x)) − −4 cos(2x) sin(2x) sin(x) cos2 (2x) −2 cos(2x) sin(2x)2 sin(x) cos(x) − cos2 (2x) −2 cos(2x) sin(2x)2 sin(x) cos(x) − cos2 (2x) − sin(4x) sin(2x) − cos2 (2x) e) On peut écrire f sous la forme cos2 (x) · cos (2x) f (x) = xx = ex · ln x La dérivée est alors très simple : ex · ln x (x · ln x)′ = ex · ln x (x · + ln x) Solutions des exercices sur les dérivées On a démontré la continuité de f sur R à l’exercice 4.3 à l’aide du théorème des deux gendarmes. Si on calcule la fonction dérivée de f on obtient : Celle-ci peut être notée : En effet, si l’on calcul la dérivée de f en zéro à l’aide de la définition de la dérivée on a : Ce que l’on peut démontrer à l’aide du théorème des deux gendarmes en utilisant les fonctions −|h| et |h| pour f ′ (0) ̸≡ lim f ′ (x). On peut calculer la limite de 2x cos x , pour x tend vers zéro, à l’aide du théorème des deux gendarmes également et l’on obtient 0. Par contre, la limite pour x → 0 n’est pas définie pour sin x1 (voir exercice 4.2). On peut affirmer que f , bien que différentiable sur R, a une dérivée discontinue en x = 0. f ′ ne peut pas être prolongée par continuité en ce point. (Voir figure 7). f'(x)=sin!  » ! 2 x cos!  » Figure 7 – Exercice 6.4 Pour essayer de se rendre compte du comportement de f et de sa dérivée au voisinnage de zéro, on va étudier le comportement d’une droite tangente à f en un point (x0 ; f (x0 )) lorsque x0 tend vers zéro. Solutions des exercices sur les dérivées 1. On commence par rappeler que l’expression générale d’une droite est y = mx+b et que si cette droite passe par un point quelconque (x0 ; y0 ) alors la relation y0 = mx0 + b doit être vérifiée et qu’alors b = y0 − mx0 . 2. Imaginons maintenant que le point (x0 ; y0 ) soit un point de f et que la pente de la droite soit égale à m = f ′ (x0 ) et notons y0 = f (x0 ). 3. On peut écrire l’équation de la droite de la manière suivante : y = f ′ (x0 ) · x + (f (x