Méthode spéciale de dérivées de produits et quotients

Dérivées de produits Ce que l’on nous apprend A l’école on nous apprend la formule de la dérivée d’un produit de deux fonctions f et g de la variable x, cette formule qui est gravée dans nos têtes à vie est : (f g)′ = f ′ g + g ′ f Prenons deux exemples supplémentaires : (f f g)′ = f ′ f g + f f ′ g + f f g ′ = 2f f ′ g + f f g ′ (f gh)′ = f ′ gh + f g ′ h + f gh′ Ce que l’on devrait également nous montrer En regardant bien, on remarque que (1) peut également s’obtenir de la manière suivante : De même pour les dérivées (2) et (3) : = f gh + f g h + f gh′ Dans (4) on voit que f f ′ g est présent deux fois. Ceci est tout à fait normal car f est en fait au carré. On peut donc se dire que le théorème suivant doit être juste ! Soit la fonction F de la forme : F = f1α f2β f3γ …fnζ où f1 …fn sont des fonctions dérivables et α…ζ ∈ Q. α 1 + β 2 + γ 3 + … + ζ n Voici quelques exemples : Soit la fonction quotient fg . On peut également l’écrire f 1 g −1 . Si on applique le théorème cidessus on obtient : On retrouve la formule connue. Sa dérivée est donc, 2 − x 2 3×2 + 4 x3 − 4

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