Algèbre linéaire
Endomorphisme – Maturité
Algèbre linéaire – Maturité
AccueilPetit résumé sur le chapitre des endomorphismes et de leur réduction à l’aide des vecteurs et valeurs propres. J’ai essayé de réduire au minimum les démonstrations, car je sais que dans un premier temps ce n’est pas ce qui compte. Il est très important d’aborder un sujet en essayant de comprendre intuitivement de quoi il retourne avant de vouloir tout démontrer. 2 Transformations linéaires 2.2 Notations vectorielle et matricielle d’une transformation linéaire . . . . . . . . . . . . 2.3 Exemples d’applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Relation entre une transformation et les bases de E et F . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Matrice d’une transformation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Exemple – Comment déterminer la matrice d’une transformation . . . . . . . 3.1.1 Exemple – Démonstration de la linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Exemple – Dans l’espace des vecteurs « standards » . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.1.2 Exemple – Dans l’espace vectoriel des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5 Image, noyau et théorème du rang 5.1.1 Image et rang d’une transformation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.1.2 Noyau d’une transformation linéaire, théorème du rang . . . . . . . . . . . . . 12 5.1.3 Illustration du théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.1.4 Exemple – Calcul de l’image et du noyau d’une transformation . . . . . . . . 12 5.1.5 Exemple – Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 6 Matrice de passage, changement de base 6.2 Remarque très importante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6.3 Illustration 1 – Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6.4 Calcul de matrices de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6.4.1 Exemple 1 – Comment déterminer une matrice de passage . . . . . . . . . . . 21 6.4.2 Exemple 2 – Comment déterminer une matrice de passage . . . . . . . . . . . 23 7 Effet d’un changement de base sur un endomorphisme 7.1.1 Exemple 1 – Endomorphisme et changement de base . . . . . . . . . . . . . . 27 8 Similitude matricielle 8.2.1 Invariants de similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 8.3 Exercices – Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Maturité niveau renforcé 9 Valeurs et vecteurs propres 9.1 Exemple d’introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 9.2 Calcul des éléments propres d’une transformation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . 32 9.2.1 Polynôme caractéristique et valeurs propres d’une matrice . . . . . . . . . . . 33 9.3 Exemple 1 – Dans l’espace vectoriel des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 9.4 Exemple 2 – Dans l’espace vectoriel des fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . 35 9.5 Exemple 3 – Dans l’espace vectoriel des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 9.7 Exemple 5 – Dimension des sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 10 Construction de matrices de transformations linéaire 10.1.1 Résolution par géométrie analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 10.1.2 Résolution par à l’aide des valeurs et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . 44 10.3 Interprétation d’une transformation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Maturité niveau renforcé Les notations devraient correspondre à celles utilisées dans la plupart des livres. ii) Les vecteurs sont en gras et non pas surmontés d’une flèche (v est la norme du vecteur v). iii) La matrice M m,n est une matrice de m lignes et n colonne. iv) Les termes d’application linéaire et de transformation linéaire seront utilisés pour désigner le même objet mathématique. Normalement on utilise le terme d’application linéaire pour des fonctions de R dans R et le terme de transformation linéaire pour des fonctions de Rn dans Rm . v) Chaque fois que le mot transformation est utilisé, il s’agira automatiquement d’une transformation linéaire. vi) Les ensembles E et F seront respectivement l’ensemble de départ et l’ensemble d’arrivée d’une transformation linéaire. Avant de commencer, il faut avoir une bonne notion des points suivants : — Calcul de l’inverse, de la transposée et du déterminant d’une matrice. — Résolution d’un système linéaire (réduction de Gauss-Jordan). — Notion d’espace et de sous-espace vectoriel, de base d’espace vectoriel, d’indépendance dans une famille de vecteurs et de famille génératrice. Maturité niveau renforcé Transformations linéaires Une transformation linéaire ϕ est une fonction d’un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F qui vérifie les deux propriétés suivantes : ϕ(αx) = αϕ(x), ∀x ∈ E et α ∈ R On aura la plupart du temps E = R et F = R ou encore E = R[x] et F = R[x] (espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n ou m). Notations vectorielle et matricielle d’une transformation linéaire Si la forme vectorielle d’une transformation est par exemple ϕ : R3 → R2 , ( x1 , x2 , x3 ) 7→ ( x1 + 3 x3 ; x1 + x2 + x3 ) alors sa forme matricielle équivalente est : ϕ : R → R : ( x1 , x2 , x3 ) → ϕ : R → R : x 7→ T2,3 x Une transformation linéaire ϕ de E = Rn dans F = Rm aura pour matrice une matrice M m,n , c.à.d une matrice de m lignes et n colonnes. Exemples d’applications linéaires Les transformations linéaires peuvent être des homothéties, des rotations, des symétries, des projections ou des compositions de celles-ci. Relation entre une transformation et les bases de E et F Tout espace vectoriel de dimension finie possède des bases. Et pourtant, la plupart du temps, cellesci n’apparaissent pas dans l’énoncé de la transformation linéaire donnée ! Cela vient du fait que de manière générale une transformation linéaire sera donnée en fonction des bases canoniques des ensembles E et F , c’est-à-dire les bases canoniques de Rn et Rm . Exemple : Soit la transformation linéaire : ϕ : R3 → R2 , ( x1 , x2 , x3 ) 7→ ( x1 + 3 x3 ; x1 + x2 + x3 ) récrivons-la avec des bases généralisées, c.-à-d. une base quelconque (e1 , e2 , e3 ) pour R3 et une base quelconque (f1 , f2 ) pour R2 . ϕ : R3 → R2 , x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 7→ ( x1 + 3 x3 )f1 + ( x1 + x2 + x3 )f2 Maturité niveau renforcé 2.5 Matrice d’une transformation linéaire ϕ( x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ) = ( x1 + 3 x3 )f1 + ( x1 + x2 + x3 )f2 En développant et en réarrangeant : ϕ( x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ) = ( x1 + 3 x3 )f1 + ( x1 + x2 + x3 )f2 = x1 (f1 + f2 ) + x2 f2 + x3 (3f1 + f2 ) Mais ϕ est linéaire et les x i sont des scalaires, donc en appliquant (2) : x1 ϕ(e1 ) + x2 ϕ(e2 ) + ϕ( x3 e3 ) = x1 (f1 + f2 ) + x2 f2 + x3 (3f1 + f2 ) On peut donc faire les identifications suivantes : ϕ(e3 ) = 3f1 + f2 . À présent, si on choisit les bases canoniques de R2 et R3 , on aura les relations : ϕ(e2 ) = ϕ(0, 1, 0)T = (0, 1)T = ϕ(e3 ) = ϕ(0, 0, 1) = 3(1, 0) + (0, 1) = si on récrit avec les composantes, on a : ϕ( x1 (1, 0, 0)T + x2 (0, 1, 0)T + x3 (0, 0, 1)T ) = x1 ((1, 0)T + (0, 1)T ) + x2 (0, 1)T + x3 (3(1, 0)T + (0, 1)T ) = x1 (1, 1)T + x2 (0, 1)T + x3 (3, 1)T ) ( x1 ; x2 ; x3 ) 7→ ( x1 + 3 x3 ; x1 + x2 + x3 ) On peut remarquer qu’une application linéaire agit sur n’importe quelle base de la même manière, mais elle apparaitra différemment dans chacune d’elles. Pour le moment on en reste à la constatation fondamentale suivante : Une transformation linéaire est déterminée par son action sur les vecteurs de base Matrice d’une transformation linéaire Une transformation linéaire peut-être mise sous forme matricielle. On a vu que ϕ est déterminée dès que l’on connaît son action sur les vecteurs de base des espaces E et F . En calculant l’image par ϕ des vecteurs de la base canonique de E , on obtiendra les vecteurs colonnes de la matrice de la transformation Tϕ . Maturité niveau renforcé 2.5 Matrice d’une transformation linéaire Exemple – Comment déterminer la matrice d’une transformation Trouver la matrice des applications linéaires suivantes : ϕ A : ( x1 ; x2 ) 7→ (3 x1 + 4 x2 ; x2 − x1 ; 0; 2 x2 ) Les vecteurs de la base canonique de R2 sont (1; 0)T et (0; 1)T et leurs images par ϕ A sont Ces deux vecteurs sont les colonnes de la matrice de la transformation qui est donc : ϕB : ( x1 ; x2 ) 7→ (3 x1 − x2 ) Les vecteurs de la base canonique de R2 sont (1; 0)T et (0; 1)T et leurs images par ϕB sont Ces deux vecteurs sont les colonnes de la matrice de la transformation qui est donc : ϕC : x1 7→ (3 x1 ; −2 x1 ) Le vecteur de la base canonique de R est (1)T et son image par ϕC est Ce vecteur est la colonne de la matrice de la transformation qui est donc : ϕD : ( x1 , x2 , x3 ) 7→ ( x1 + 3 x3 ; x1 + x2 + x3 ) Les vecteurs de la base canonique de R3 sont (1; 0; 0)T , (0; 1; 0)T et (0; 0; 1)T et leurs images par ϕD Maturité niveau renforcé 2.5 Matrice d’une transformation linéaire Ces trois vecteurs sont les colonnes de la matrice de la transformation qui est donc : Maturité niveau renforcé Un homomorphisme est une transformation linéaire entre deux espaces vectoriels de dimensions La matrice d’un homomorphisme est donc une matrice rectangulaire. Exemple – Démonstration de la linéarité Soit la fonction de R2 dans R4 donnée par : ϕ1 : R2 → R4 : ( x1 ; x2 ) 7→ (3 x1 + 4 x2 ; x2 − x1 ; 0; 2 x2 ) Cette fonction est-elle une transformation linéaire ? On commence par remarquer qu’aucune base bien définie n’est donnée, ni pour Rn ni pour Rm . On va donc considérer que les bases utilisées sont les bases canoniques 1 . On choisi deux vecteurs de et on leur applique les propriétés (1) et (2) : = (3( x1 + y1 ) + 4( x2 + y2 ); ( x2 + y2 ) − ( x1 + y1 ); 0; 2( x2 + y2 )) = (3 x1 + 3 y1 + 4 x2 + 4 y2 ; ( x2 − x1 ) − ( y2 − y1 ); 0; 2 x2 + 2 y2 )) = (3 x1 + 4 x2 ; x2 − x1 ; 0; 2 x2 ) + (3 y1 + 4 y2 ; y2 − y1 ; 0; 2 y2 ) = (3α x1 + 4α x2 ; α x2 − α x1 ; 0; 2α x2 ) = (α(3 x1 + 4 x2 ); α( x2 − x1 ); 0; α2 x2 ) = α(3 x1 + 4 x2 ; x2 − x1 ; 0; 2 x2 ) La transformation est linéaire, c’est donc un homomorphisme. 1. La base canonique de R est le « vecteur » 〈1〉, celle de R2 est la famille de vecteurs 〈(1; 0)T ; (0; 1)T 〉, celle de R3 est la famille de vecteurs 〈(1; 0; 0)T ; (0; 1; 0)T ; (0; 0; 1)T 〉 etc. Maturité niveau renforcé Un endomorphisme est une transformation linéaire entre deux espaces vectoriels de même dimension. La matrice d’un endomorphisme est donc une matrice carrée. Si l’endomorphisme est bijectif, sa matrice est inversible et on le nomme automorphisme. Exemple – Dans l’espace des vecteurs « standards » Soit une base quelconque de R3 (pas forcément la base canonique), notée B0 = (e1 , e2 , e3 ) et un vecteur v = xe1 + ye2 + ze3 . Soit l’endomorphisme : ϕ : R3 → R3 : v 7→ xe1 + (3 x − 2 y)e2 + ze3 Trouver la matrice de l’endomorphisme dans la base donnée. On commence par récrire l’endomorphisme et on utilise la linéarité de ϕ : ϕ( xe1 + ye2 + ze3 ) = xe1 + (3 x − 2 y)e2 + ze3 = x(e1 + 3e2 ) + y(−2e2 ) + ze3 = x ϕ(e1 ) + y ϕ(e2 ) + z ϕ(e3 ) Dans la dernière relation ci-dessus, on identifie : ϕ(e1 ) = (e1 + 3e2 ); ϕ(e2 ) = (−2e2 ); Il s’agit à présent de trouver la matrice de cette transformation : On peut récrire la relation ϕ( xe1 + ye2 + ze3 ) = x(e1 + 3e2 ) + y(−2e2 ) + ze3 sous forme matricielle. Cela laisse apparaître la matrice de l’endomorphisme : ϕ e1 e2 e3 y = e1 e2 e3 3 −2 0 y dans le cas de l’utilisation des bases canoniques, on obtient : ϕ 0 1 0 y = 0 1 0 3 −2 0 y ϕ y = 3 −2 0 y Maturité niveau renforcé La matrice de l’endomorphisme dans la base canonique est : On peut remarquer que les colonnes de la matrice sont les images par ϕ des vecteurs de la base canonique. On verra plus loin ce qu’il advient de ϕ si les bases ne sont pas les bases canoniques. Exemple – Dans l’espace vectoriel des polynômes Soit R2[x] l’espace vectoriel des polynômes de degré égal ou inférieur à deux. La base est dans ce cas On donne l’endomorphisme Ψ. Ψ : R2[x] → R2[x] : P ( x) 7→ ( x3 − 3 x + 2)P ′′ ( x) + ( x − 1)P ′ ( x) + (2 − 2 x)P ( x) Il s’agit de déterminer la matrice de l’endomorphisme de dimension 3. On choisit un « vecteur » de : R2[x] , soit le polynôme P ( x) = a · x2 + b · x + c. On remarquera que les lettres a, b, c jouent le rôle des composantes x1 , x2 , x3 et que les monômes x2 , x, 1 jouent le rôle des vecteurs de base e1 , e2 , e3 de l’exemple précédent. Le problème se traite donc exactement de la On commence par calculer les valeurs de P ′′ ( x), P ′ ( x) où P ( x) = a · x2 + b · x + c, P ′ ( x) = 2ax + b; Puis on les substitue dans l’endomorphisme donné et on cherche les images des vecteurs de base : Ψ(ax2 + bx + c) = ( x3 − 3 x + 2)(2a) + ( x − 1)(2ax + b) + (2 − 2 x)(ax2 + bx + c) = 4ax2 − 8ax + 4a − 2 bx2 + 3 bx − b − 2 cx + 2 c = a(4 x2 − 8 x + 4) + b(−2 x2 + 3 x − 1) + c(0 x2 − 2 x + 2) Les parenthèses ci-dessus représentent les images des vecteurs de base Ψ( x2 ), Ψ( x), Ψ(1), on peut dire qu’elles représentent l’endomorphisme. En mettant l’équation sous forme matricielle, on a : La matrice cherchée est : x 1 b = x x 1 −8 3 −2 b Ψ = −8 3 −2 Remarque 1. On serait en droit de se demander si l’endomorphisme est vraiment linéaire vu la présence des puissances de x supérieures à un. En fait, cela ne joue aucun rôle, car x2 est une base. Les coefficients a, b, c sont eux à la puissance 1 donc il n’y a aucun problème, on remarquera que la matrice n’est constituée que de chiffres. Maturité niveau renforcé Image, noyau et théorème du rang Imaginons un homomorphisme de R6 dans R2 . Tout le monde sera d’accord pour dire qu’il est fort possible que des dimensions se « perdent » en chemin. Cela n’est pas forcément le cas, mais c’est un fait que cela arrive dans la plupart des cas. On va voir dans cette section comment calculer la dimension de deux grandeurs appelées image de la transformation linéaire et noyau de la transformation linéaire. Ces deux grandeurs fondamentales peuvent être déterminées directement à partir de la matrice de l’homomorphisme ou de l’endomorphisme. Image et rang d’une transformation linéaire On doit toujours garder à l’esprit que les vecteurs d’une base sont indépendants (définition). L’image d’un morphisme (homomorphisme ou endomorphisme) « vit » dans l’espace d’arrivée F et l’image d’un sous-espace vectoriel de E par la transformation linéaire ϕ(x) est également un sousespace vectoriel dans F . On appelle dimension de l’image de la transformation linéaire (noté dim(Im ϕ)) la dimension du sous-espace vectoriel engendré par ϕ dans F . Le rang, noté rgϕ de la transformation linéaire est la dimension du plus grand sous-déterminant non nul de la matrice de la transformation Tϕ . Le rang est toujours égal à la dimension de Im ϕ : Noyau d’une transformation linéaire, théorème du rang On appelle noyau de la transformation linéaire ϕ, et on note ker ϕ, l’image réciproque de {0} ou encore, c’est un sous-espace vectoriel de l’ensemble de départ, dont l’image par ϕ est le vecteur nul En résumé Im ϕ est dans F et ker ϕ est dans E . La somme des dimensions dim(Im ϕ) et dim(ker ϕ) est la dimension de l’ensemble de départ dim E . C’est le théorème du rang, donné ici sans démonstration : dim E = dim(ker ϕ) + dim(Im ϕ) dim E = dim(ker ϕ) + rgϕ Illustration du théorème du rang Exemple – Calcul de l’image et du noyau d’une transformation Soit la transformation linéaire : ϕ : ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) 7→ ( x1 − x2 + x3 + x4 ; x2 + 3 x4 ) Maturité niveau renforcé Figure 1 – Schéma des relations entre les différents ensembles intervenants dans le théorème du 1. Déterminer E , F et dim E . 2. Déterminer la matrice Tϕ de ϕ. 3. Déterminer l’image Im ϕ et la dimension de celle-ci dim(Im ϕ). 4. Déterminer le rang de ϕ. 5. Déterminer le noyau ker ϕ et la dimension de celui-ci dim(ker ϕ). 6. Vérifier le théorème du rang. 1. La transformation a l’ensemble de départ E = R4 et l’ensemble d’arrivée F = R2 . La dimension 2. La matrice de la transformation est obtenue en calculant les images par ϕ des vecteurs de la base canonique de R4 . 3. Pour calculer l’image de ϕ on peut réduire la matrice a la forme échelonnée. Les lignes de la matrice sont des vecteurs de l’espace de départ E = R4 et les colonnes de celle-ci sont des vecteurs de l’espace d’arrivée F = R2 . La réduction de la matrice à sa forme Maturité niveau renforcé échelonnée permet de distinguer facilement le nombre de vecteurs indépendants dans l’espace d’arrivée donc la dimension de Im φ. Les deux premières colonnes sont indépendantes, de ce fait elles génèrent dans F un sousespace vectoriel de dimension 2. Deux vecteurs de base du sous-espace vectoriel Im φ sont les deux premières colonnes de la matrice originale Tϕ (et non de la matrice réduite). Dans le cas présent il y a 2 vecteurs indépendants de dimension 2, l’espace vectoriel généré est F = R2 . Si F avait été de dimension plus grande, le sous-espace vectoriel généré aurait été un plan dans F . 4. Le rang de la transformation est 2. On le détermine en utilisant la matrice réduite. Le rang est la dimension de la plus grande sous matrice qui a un déterminant non nul. Le rang est également le nombre de vecteurs indépendants de Tϕ (donc de Tϕ réduite 5. Le noyau de la transformation ϕ est le sous-espace vectoriel de E définit par ker ϕ = {x ∈ E | ϕ(x) = 0F )}. Autrement dit c’est la solution du système : On forme la matrice augmentée [Tϕ |0] qui est : Le système étant surdéterminé, on choisit x4 = γ et x3 = ρ d’où l’on calcule x2 = −3γ et = γ +ρ Les vecteurs (−4, −3, 0, 1)T et (−1, 0, 1, 0)T sont des vecteurs de base de ker ϕ. 6. Finalement on vérifie le théorème du rang : dim E = dim(ker ϕ) + dim(Im ϕ) = dim(ker ϕ) + rgϕ Maturité niveau renforcé Figure 2 – Illustration du théorème du rang pour l’exemple 1. Exemple – Théorème du rang Vérifier le théorème du rang, en fonction de µ, de la transformation ϕ donnée par la matrice : Le fil rouge à suivre est le suivant : 1. Calcul du déterminant afin de trouver les valeurs de µ qui annulent celui-ci. 2. Déterminer les différents types de matrices selon la valeur de µ. 3. Réduction de ces différentes matrices à la forme échelonnée afin de pouvoir aisément trouver 4. Vérifier le théorème du rang. 1. Le déterminant est : det µ −1 −2 = ¯µ −1 −2¯¯ = 4µ − 2 Le déterminant s’annule pour la valeur µ = 12 . 2. Les deux matrices dont on va s’occuper sont : ϕ1 = 12 −1 −2 ϕ2 = a −1 −2 Maturité niveau renforcé ϕ2 = a −1 −2 est inversible, car son déterminant est non nul. Son rang est donc de 3 et par conséquent Im ϕ est également de dimension 3. Les vecteurs colonnes formant cette matrice sont une base de Im ϕ qui génère R3 . La dimension de l’ensemble de départ étant la même que celle de Im ϕ, le théorème du rang nous dit que la dimension de ker ϕ est nulle. Donc les solutions du problème pour la matrice dim(E ) = Rg(ϕ2 ) + dim(ker ϕ2 ); 4. On réduit la matrice dim(E ) = dim(Im ϕ2 ) + dim(ker ϕ2 ); ϕ1 = 21 −1 −2 à sa forme échelonnée réduite qui est : On voit que les deux premières colonnes sont indépendantes, les colonnes correspondantes de la matrice originale sont une base de Im ϕ1 . Il est facile de voir que le vecteur (0, −2, 1)T satisfait à l’équation homogène associée. Ce dernier sera une base de ker ϕ1 . Im ϕ1 = {(6, 1, 2)T , (1, −2, 1)T } dim(E ) = Rg(ϕ1 ) + dim(ker ϕ1 ); ker ϕ1 = {(0, −2, 1)T } dim(E ) = dim(Im ϕ1 ) + dim(ker ϕ1 ); Maturité niveau renforcé Matrice de passage, changement de base Pour simplifier, je me limite à l’espace vectoriel R3 , mais il est clair que ce qui suit s’applique à tout espace Rn . Il est évident, mais je tiens à le souligner qu’un changement de base ne peut s’effectuer qu’entre espaces vectoriels identiques, donc pour une même dimension. Soit un vecteur x e dont les composantes par rapport à la base canonique B0 = (e1 ; e2 ; e3 ) sont ( x1 ; x2 ; x3 ). On désire à présent décrire ce même vecteur x e′ , ayant les composantes ( x1′ ; x2′ ; x3′ ), dans une autre base B1 = (e′ 1 ; e′ 2 ; e′ 3 ) du même espace E . La base B1 = (e′ 1 ; e′ 2 ; e′ 3 ) est donnée en fonction des vecteurs de la base B0 . Les relations entre les deux bases sont généralement données dans l’énoncé de l’exercice ou imposées par l’expérience : e′ 1 = a 11 e1 + a 21 e2 + a 31 e3 e′ 2 = a 12 e1 + a 22 e2 + a 32 e3 e 3 = a 13 e1 + a 23 e2 + a 33 e3 Les coefficients a i j sont des nombres réels. On commence par égaler les deux « versions » du même vecteur : x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 = x1′ e′ 1 + x2′ e′ 2 + x1′ e′ 3 En substituant les valeurs des e i j données sous (7), on obtient : x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 = x1′ (a 11 e1 + a 21 e2 + a 31 e3 ) + x2′ (a 12 e1 + a 22 e2 + a 32 e3 ) + x1′ (a 13 e1 + a 23 e2 + a 31 e3 ) En appliquant le formalisme matriciel, cela devient : ¢ a 11 a 12 a 13 x1′ e3 x2 = e1 e2 e3 a 21 a 22 a 23 x2 a 31 a 32 a 33 x3′ Les vecteurs de l’ensemble (e1 ; e2 ; e3 ) étant ceux de la base canonique, la matrice e1 e2 e3 est par conséquent la matrice identité I3 et l’égalité (8) peut se récrire : a 11 a 12 a 13 x1′ x2 = a 21 a 22 a 23 x′ a 31 a 32 a 33 x3′ P ee′ = a 21 a 22 a 23 P ee′ est appelée la matrice de changement de base ou encore matrice de passage de la base (e1 ; e2 ; e3 ) à la base (e′ 1 ; e′ 2 ; e′ 3 ). Il existe deux interprétations possibles de la matrice de passage P ee′ : Maturité niveau renforcé 6.2 Remarque très importante 1. La matrice de passage P ee′ peut être interprétée comme la transformation linéaire ϕ de E dans E définie par : ϕ(e1 ) = e′ 1 = a 11 e1 + a 21 e2 + a 31 e3 ϕ(e2 ) = e′ 2 = a 12 e1 + a 22 e2 + a 32 e3 ϕ(e3 ) = e′ 3 = a 13 e1 + a 23 e2 + a 33 e3 La matrice de ϕ dans la base (e1 ; e2 ; e3 ) est P ee′ . 2. La matrice de passage P ee′ peut être interprétée comme l’application identique IdE : x 7→ x de E muni de la base (e′ 1 ; e′ 2 ; e′ 3 ) dans E muni de la base (e1 ; e2 ; e3 ). La matrice de ϕ dans les bases (e′ 1 ; e′ 2 ; e′ 3 ) et (e1 ; e2 ; e3 ) est P ee′ . L’écriture matricielle donne donc : x e = P ee′ x′ e On remarque que le passage se fait de x e′ de B1 à x e dans B0 dans le sens inverse des indices. La matrice de passage est naturellement inversible puisqu’elle découle d’une base. Sa matrice inverse P−ee1′ = P e′ e En isolant x e′ dans (8) on obtient les valeurs des composantes ( x1′ ; x2′ ; x3′ ) du vecteur dans B1 . ou encore x e′ = P e′ e x e x e′ = P−ee1′ x e Les colonnes de la matrice de passage sont les relations entre les bases données en (7). Remarque très importante Soit le passage de la base B0 = (e1 , e2 ) = e à la base B1 = (e′ 1 , e′ 2 ) = e′ donné par les relations : La matrice de passage est : Si on se place dans B0 les vecteurs de base e1 et e2 ont pour composantes : Maintenant si on se place dans B1 ce sera analogue, dans B1 les vecteurs de base e′ 1 et e′ 2 auront Maturité niveau renforcé 6.3 Illustration 1 – Changement de base Si on applique la matrice de passage aux vecteurs de la base B1 on obtient les composantes de ces mêmes vecteurs, mais cette fois dans la base B0 : e′ 2B0 = P ee′ e′ 2B1 On rejoint ici la remarque faite plus haut, à savoir que la matrice de passage P ee′ est la matrice identité qui donne les composantes des vecteurs de base e′ i dans B0 . Il serait donc plus juste, et c’est ce qui est fait dans certains livres, de parler non pas de matrice de passage de la base B0 à B1 (PB0 B1 ), mais de la matrice identité permettant de passer de B1 à J’ai choisi d’utiliser la notation P ee′ et non la notation Id ee′ . La relation entre les deux notations est la suivante : P01 = PB0 B1 ≡ IdB0 ou encore : Pee′ ≡ Idee′ Illustration 1 – Changement de base Soit la situation suivante (dessin 3) : Figure 3 – Illustration d’un changement de base On se trouve dans R2 , on a la base canonique B0 = (e1 , e2 ) et une autre base B1 = (e′ 1 , e′ 2 ). Les relations entre les deux bases sont données par les égalités : Ces relations n’ont en fait rien à voir avec le système d’axe si on regarde bien. En effet e′ 1 se trouve dans la direction opposée à e2 et est deux fois plus court. e′ 2 quant à lui, se trouve dans la direction Maturité niveau renforcé 6.3 Illustration 1 – Changement de base opposée de e1 et est deux fois plus long. Par définition la matrice de passage de la base B0 à la base B1 est : La matrice inverse est : C’est la même dans ce cas précis, car en regardant le dessin, les relations suivantes sont également On en déduit que la matrice de passage de la base B1 à B0 est : P e′ e = P−ee1′ . C’est la matrice inverse. Prenons à présent le vecteur v. Le vecteur v peut s’écrire de deux manières différentes selon la base depuis lequel on le regarde. Du dessin (3) on voit que On va maintenant établir la relation entre ces valeurs. v est le même vecteur, il ne bouge pas lors du passage d’une base à l’autre. On peut donc écrire v = x1 e1 + x2 e2 = x1′ e′ 1 + x2′ e′ 2 . Si on substitue les relations (11) on obtient : v = x1 e1 + x2 e2 = x1′ (− e2 ) + x2′ (−2e1 ) En notation matricielle, on a : Par identification : v e = P ee′ v e′ Cette dernière relation est fondamentale. On peut en déduire les valeurs de x1′ et x2′ : v′e = P−ee1′ v e = P e′ e v e Ce résultat confirme ce que l’on peut déduire du dessin. Maturité niveau renforcé 6.4 Calcul de matrices de passage Calcul de matrices de passage Exemple 1 – Comment déterminer une matrice de passage Soit B0 = (e1 , e2 ) la base canonique de R2 et soit les relations : 1. Montrer que B1 = (a1 ; a2 ) et B2 = (b1 ; b2 ) sont des bases de R2 . 2. Déterminer toutes les matrices de changements de base P i j possibles. 3. Calculer les composantes du vecteur u = 3e1 + 4e2 dans chaque base. 1. On peut récrire les familles de vecteurs de base de la manière suivante : B1 = (a1 ; a2 ) = (2e1 + e2 ; 5e1 + 3e2 ) B2 = (b1 ; b2 ) = (7e1 + 2e2 ; 4e1 + e2 ) On sait que B0 est la base canonique, on peut donc poser : Les deux matrices B1 et B2 ont des déterminants non nuls, les vecteurs qui les composent sont indépendants et donc ce sont des bases de R2 . 2. Commençons par étudier la première des deux relations trouvées ci-dessus : À quoi correspond-elle ? Dans R2 et avec la base B0 tout vecteur peut s’écrire x = x1 e1 + x2 e2 . Dans la base B1 , ce même vecteur devient x1′ a1 + x2′ a2 ce qui matriciellement donne : Maturité niveau renforcé 6.4 Calcul de matrices de passage Si on substitue (12) dans l’équation ci-dessus, il vient : d’où, par identification La matrice de passage de B0 à B1 (on garde à l’esprit quand réalité on devrait plutôt dire De manière analogue, la matrice de passage de B0 à B2 est : Il s’agit maintenant de trouver la matrice de passage de B1 à B2 . On remarque que l’on connaît les deux relations : On peut donc poser : P01 ′ = P02 1′′ Les vecteurs des matrices de cette égalité sont des vecteurs indépendants, donc les matrices qu’ils forment sont inversibles. On peut donc écrire : Remarque 2. On remarque que la formule pour un changement de base successif est : P0n = P01 P12 ..P(n−1)n La matrice de passage de B1 à B2 est : Il reste à calculer P10 , P20 et P21 . Les matrices de passage étant des automorphismes, le Maturité niveau renforcé 6.4 Calcul de matrices de passage 3. Pour écrire les composantes du vecteur u = dans chaque base, on récrit les relations (16) de la manière suivante : Exemple 2 – Comment déterminer une matrice de passage On va voir maintenant que le processus apparemment un peu complexe d’un changement de base peut être automatisé de manière très efficace si on utilise les bonnes notations et le formalisme Soit B0 = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 et soit les relations : 1. B1 = (a1 ; a2 , a3 ) et B2 = (b1 ; b2 ; b3 ) sont des bases de R3 . Déterminer toutes les matrices de changements de base P i j possibles. 2. Calculer les composantes du vecteur x = e1 − 4e2 + 3e3 dans chacune des bases. 1. Les matrices de passage sont : (a1 a2 a3 ) = (e1 e2 e3 ) 0 1 1 (b1 b2 b3 ) = (a1 a2 a3 ) 0 1 1 En substituant (20) dans (21) on obtient P02 très naturellement : (b1 b2 b3 ) = (e1 e2 e3 ) 0 1 1 0 1 1 Maturité niveau renforcé 6.5 Formule à retenir 2. Le vecteur x est invariant. Ce qu’on désire c’est trouver ses composantes dans les différentes bases donc on a les relations : x = (e1 e2 e3 ) −4 = (b1 b2 b3 ) x2 = P01 x2 = P02 x2 Tout naturellement de (24) on obtient : x2 = P10 −4 = −7 x2 = P20 −4 = −10 Comment se souvenir de tout ça ? et x’ = P e′ e ·x On recherche x dans la simple relation suivante : En identifiant les termes avec la formule ci-dessus, on obtient : Maturité niveau renforcé 6.5 Formule à retenir Le calcul de la « matrice de passage » donne : cm = m·P ee′ ⇒ P ee′ = P ee′ est la valeur de la « nouvelle » base dans l’ »ancienne ». Pour calculer x on pose : x = P e′ e · 10 = P−ee1′ · 10 = 100 · 10 = 1000 Maturité niveau renforcé Effet d’un changement de base sur un endomorphisme De quoi s’agit-il ? Soit un endomorphisme donné par sa matrice T sur un espace vectoriel E de dimension 3 défini par une base B0 = (e1 ; e2 ; e3 ) (pas forcément la base canonique). On donne la base B1 = (e′ 1 ; e′ 2 ; e′ 3 ) et on se demande quelle est la matrice T′ de cet endomorphisme dans B1 . Dans la base B0 on peut écrire : e 3 y2 = e 1 e 2 e 3 et dans la base B1 on a : La matrice de passage de la base B0 à B1 peut se mettre sous la forme : e 1 e′ 2 e′ 3 = e1 e2 e3 P En substituant (27) dans (26) : e1 e2 e3 P y2′ = e1 e2 e3 P T′ x2′ En identifiant et en appliquant la matrice de passage à la matrice colonne des yi′ on obtient : y2 = P T′ x′ Dans B0 on a la relation y = Tx et la transformation des coordonnées nous donne x′ = P−1 x : T x2 = P T′ P−1 x2 En identifiant à nouveau on obtient finalement : T = P T′ P−1 Maturité niveau renforcé 7.1 De quoi s’agit-il ? Exemple 1 – Endomorphisme et changement de base Soit B0 = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 et soit les relations : qui définissent les bases B1 = (a1 , a2 , a3 ) et B2 = (b1 , b2 , b3 ). Soit d’autre part l’endomorphisme ϕ donné par les images des vecteurs de la base canonique de R3 Déterminer la matrice ϕ dans chacune des bases B0 , B1 B2 Une simple lecture des relations entre les bases permet de trouver les matrices de passage (en les prenant dans l’ordre, chaque colonne de la matrice correspond à une des relations données). En utilisant la composition des changements de base : P02 = 1 0 1 0 1 1 = 1 1 2 Les matrices inverses sont : P10 = 1 −1 1 ; P21 = −1 1 0 ; La matrice de la transformation dans B0 est donnée par les relations (29) : Maturité niveau renforcé 7.1 De quoi s’agit-il ? On applique la formule générale (28) trouvée plus haut en l’adaptant au cas qui nous intéresse 01 TB0 P01 = P10 TB0 P01 1 −1 1 −1 1 02 TB0 P02 = P20 TB0 P02 = 1 −1 0 −1 1 Pour FB2 on a également : 12 TB1 P12 = P21 TB1 P12 = −1 1 0 −1 1 Maturité niveau renforcé Similitude matricielle Dans cette section il n’est question que de matrices carrées. Deux matrices A et B sont dites semblables s’il existe une matrice inversible P telles que : 1. La similitude est une relation d’équivalence. Invariants de similitude Deux matrices semblables ont les mêmes traces, valeurs propres, formes réduites, déterminants et polynômes caractéristiques. Deux matrices sont semblables si et seulement si elles constituent deux matrices représentatives du même endomorphisme dans deux bases différentes. Exercices – Matrices semblables Soit la base canonique B0 = (e1 ; e2 ) et la base B1 = (e1 − e2 ; 2e1 + e2 ). Soit la matrice suivante (dans la base canonique) donnée par : 1. Déterminer la matrice T1 du même endomorphisme dans la base B1 . 2. Déterminer T20 et On commence par calculer la matrice de passage (j’utiliserai dans cette exemple les deux notations vues au point (10)). La matrice de passage a pour colonnes les relations données entre les deux bases (images des vecteurs de bases de e′ 1 et e′ 2 dans la base B0 ). On utilise la relation (28) pour déterminer T1 : T1 = P10 T0 P01 = IdB Ce qui donne, en tenant compte que P10 = P−011 , la matrice : Maturité niveau renforcé 8.3 Exercices – Matrices semblables On va maintenant calculer le carré et la racine carrée de cette matrice, ce qui est facile, car il s’agit d’une matrice diagonale et on remarque tout de suite que dans la base B1 le calcul de T21 est donné En s’inspirant du calcul que l’on vient d’effectuer, on se doute que la racine carrée de T1 est : ce qui est facilement vérifiable. Ce qu’on nous demande est le carré et la racine carrée de la matrice T0 et non de la matrice T1 . Il suffit de « retourner à la maison » dans la base B0 en appliquant la transformation inverse : T20 = P01 T21 P10 = IdB0 T2B1 IdB Regardons à présent les différentes matrices obtenues dans chacune des bases : On peut remarquer que les déterminants et les traces des paires de matrices sont identiques, ces matrices sont semblables deux à deux. Travailler sur une matrice diagonale est donc très facile mais comment l’obtenir ? En calculant les valeurs propres et les vecteurs propres. C’est ce que l’on verra dans la section suivante. Maturité niveau renforcé Valeurs et vecteurs propres Exemple d’introduction Supposons que dans R2 on veuille construire une transformation linéaire dont l’action est une symétrie par rapport à un axe incliné à +30ř par rapport à l’horizontale. On va procéder par étapes : 1. On commence par faire faire à l’axe de symétrie une rotation de −30ř afin de l’amener sur 2. On effectue une symétrie par rapport à cet axe, autrement dit on change le signe de la 3. Finalement on remet l’axe de symétrie « en place » en lui faisant effectuer une rotation de Comment s’y prendre. Premièrement on sait que notre transformation va être linéaire donc on peut travailler sur des vecteurs unitaires. Toute matrice de rotation dans R2 est de la forme : où θ est l’angle de rotation (±θ). La matrice de symétrie selon l’axe x est : La matrice de la transformation cherchée est donc la composition des matrices suivantes : T = (ρ +30ř ◦ S x ◦ ρ −30ř ) = On vérifie en cherchant l’image du vecteur v1 = (5 3, 5)T qui est un vecteur situé sur l’axe de Comme on pouvait s’y attendre, rien ne s’est produit ! Le vecteur résultant est identique. On cherche l’image du vecteur v2 = (5, 5 3)T qui est un vecteur situé avec un angle de 60ř par rapport à l’axe des abscisses. Comme prévu le vecteur image est sur l’axe des abscisses. Maintenant il faut bien reconnaître que le « coeur » de la transformation est la symétrie par rapport à l’axe x, les deux autres opérations ne sont que des rotations. On se pose la question suivante : Maturité niveau renforcé 9.2 Calcul des éléments propres d’une transformation linéaire Est-il possible de déterminer à partir de la matrice La réponse est oui ! Calcul des éléments propres d’une transformation linéaire On la une matrice A d’une transformation linéaire et on se demande s’il est possible de trouver une forme semblable A′ dans une nouvelle base, où la matrice serait plus « simple ». Si on reprend la matrice de symétrie de l’exemple précédent, et que l’on étudie les résultats de la transformation linéaire on remarque que pour tous les vecteurs x situés sur l’axe x on peut remplacer la matrice A par le De même pour tout vecteur x parallèle à l’axe y, on peut remplacer la matrice A par le scalaire −1 : ϕ(x) = Ax = −1 · x On va donc se poser la question de savoir si il existe une ou plusieurs valeur(s) λ telle(s) que On ne peut pas écrire (31) de la manière suivante : Cela reviendrait à soustraire un vecteur à une matrice. On fait donc l’opération suivante, on multiplie le terme λx par la matrice identité I et on factorise x. Maturité niveau renforcé 9.2 Calcul des éléments propres d’une transformation linéaire Polynôme caractéristique et valeurs propres d’une