Algèbre linéaire – Cour accéléré

Cours accéléré d’algèbre linéaire 2 Rappels de quelques termes importants en mathématiques 3.3 Matrices carrées remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.4 Addition et transposition de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.4.1 Propriétés de l’addition matricielle et de la multiplication d’une matrice par un scalaire . . 6 3.5.1 Propriétés du produit matricel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.6 Forme échelonnée d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.6.1 Types d’opérations I, II et III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.6.2 Matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.6.3 Inverse d’une matrice élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.6.4 Forme échelonnée d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.7 Applications des matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.9.1 Inverse d’un produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.9.2 Calcul de l’inverse d’une matrice par la méthode de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . 10 5 Systèmes d’équations linéaires 5.2 Résolution d’un système par la méthode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Forme matricielle du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Matrice augmentée du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Matrice échelonnée réduite du système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Structures algébriques de bases en vue de la construction d’un espace vectoriel 6.1.1 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Structure d’espace vectoriel 7.1 Exemples d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Espace vectoriel « classique » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Espace vectoriel des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.4 Espace vectoriel des matrices hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . alglin-cours-accelere 7.4.1 Générateurs, familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Somme et intersection de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dépendance et indépendance linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sommes directes de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.1 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.2 Sommes directes et supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Applications linéaires 8.1 Noyau et image d’un homomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 8.2 Opérations sur les homomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 9 Théorème du rang alglin-cours-accelere Ce petit cours est destiné aux élèves qui ont besoin d’acquérir les bases de l’algèbre linéaire en très peu de temps. L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s’intéresse aux espaces vectoriels et aux transformations Rappels de quelques termes importants en mathématiques • Définition : introduction d’une notion, d’une chose. Énonciation des attributs qui distinguent une chose, qui lui appartiennent à l’exclusion de toute autre. • Théorème : proposition, dite conclusion, qui est démontrée à partir d’axiomes ou d’autre théorèmes déjà démontrés. Une conséquence déduite d’un théorème est un corollaire. Du latin theorema théorème, proposition ; du grec theorein contempler, examiner. • Propriété : qualité particulière à quelque chose ; ex : dans un triangle la longueur d’un côté est toujours inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. • Propriété propre ou caractéristique : une propriété qui est exclusive à l’objet décrit, qui le définit lui et lui seul ; ex : les animaux à six pattes sont des insectes. • Proposition : en général, synonyme de théorème. Relation entre plusieurs termes. En logique synonyme d’énoncé, d’assertion, c’est une affirmation connue par tous pour être soit vraie soit fausse. • Théorie : ensembles de théorèmes à partir d’axiomes, de vérités premières admises. • Lemme : sorte d’étape préliminaire à une démonstration ;Proposition déduite d’un ou de plusieurs postulats dont la démonstration prépare celle d’un théorème. Un lemme est un petit théorème de nature technique. En pratique, c’est une sorte d’aparté qui allège la démonstration principale. • Axiome : vérité évidente ; proposition élémentaire admise comme vérité ; énoncé d’une propriété vraie a priori ; qu’il faut admettre comme point de départ d’une théorie ; synonyme de postulat ; ex : deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles ; le tout est plus grand ou égal à l’une de ses parties . . . ; mot qui vient du grec axioma, j’estime, je tiens pour vrai. • Postulat : affirmation tenue pour vraie, avec intention de le démonter ultérieurement. Entre hypothèse – affirmation temporaire – et axiome – affirmation non démontrée. Vient du latin postulare demander, idée de quelque chose que l’on demande d’accepter. alglin-cours-accelere Une matrice est un tableau de nombres qui comporte des lignes et des colonnes. Les matrices ne sont pas une nécessité absolue pour faire de l’algèbre linéaire, mais c’est un outil très pratique. Dimension d’une matrice La dimension d’une matrice indique le nombre de ses lignes m et le nombre de ses colonnes n dans cet ordre. On écrit Mm×n (K) l’ensemble des matrices de taille m × n à coefficients dans K. K est la plupart du temps C ou R. Les matrices de dimension M1×1 sont des nombres appartenant à K. Matrices carrées remarquables une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls.  0 a2 . . . ..  diag ( a1 , a2 , . . . , an ) =  La matrice identité est la matrice carrée diagonale de dimension n × n dont la diagonale principale est composée de 1 et le reste des entrées de la matrice sont des 0. Ces matrices sont notée In ou parfois 1n . Cette dernière notation fait ressortir le caractère unitaire (élément neutre pour la multiplication) de la matrice. Addition et transposition de matrices alglin-cours-accelere Matrices triangulaires une matrice triangulaire est une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls d’un côté ou de l’autre de la diagonale principale. Une matrice triangulaire supérieure de dimension n ou matrice SUn est la matrice : a1,1 a1,2 · · · · · · a1,n SU ( A) = SU ai,j =  0 · · · · · · 0 an,n Une matrice triangulaire inférieure de dimension n ou matrice LUn est la matrice : a1,1 0 · · · · · · 0 LU ( A) = LU ai,j =  . an,1 an,2 · · · · · · an,n Addition et transposition de matrices Pour deux matrices A = ( aij ), B = (bij ) ∈ Mm×n (R), on définit l’addition matricielle A + B = C ∈ Mm×n (R) comme étant la matrice satisfaisant (cij ) = ( aij ) + (bij ), ceci pour tout 1 ≤ i ≤ m et tout 1 ≤ j ≤ n. Pour A ∈ Mm×n (R) et λ ∈ R, on définit la multiplication d’une matrice par un scalaire, λA ∈ Mm×n (R) ceci pour tout 1 ≤ i ≤ m et tout 1 ≤ j ≤ n. alglin-cours-accelere Finalement, on définit la transposée d’une matrice A ∈ Mm×n (R) notée A T comme ceci : et ce pour tout 1 ≤ i ≤ m et tout 1 ≤ j ≤ n. On remarquera que A T ∈ Mn×m (R) Propriétés de l’addition matricielle et de la multiplication d’une matrice par un scalaire Soit A, B, C ∈ Mm×n (R), λ, µ ∈ R et 0 ∈ Mm×n (R), la matrice dont toutes les entrées sont nulles. Les 3 opérations définies ci-dessus ont les propriétés suivantes : A + ( B + C ) = ( A + B) + C λ( A + B) = λA + λB (λ + µ) A = λA + µA (−1) · A + A = 0 avec − 1 ∈ R et 0 ∈ Mm×n (R) 0 M ∈ Mm × n ( R ) Soient A ∈ Mm× p (R) et B ∈ M p×n (R). On définit le produit matriciel A · B ∈ Mm×n (R) comme étant la matrice A · B = C : ( A · B)ij = ∑ Aik Bkj = Cij Propriétés du produit matricel Soit A, B ∈ Mm× p (R), C, D ∈ M p×q (R), E ∈ Mq×n (R), λ ∈ R, et soit I p la matrice diagonale unité. Le produit matriciel a les propriétés suivantes : λ( AC ) = (λA)C = A(λC ) 0 a × m · A = 0 a × p , A · 0 p ×r = 0m ×r AI p = A et I p C = C Forme échelonnée d’une matrice Types d’opérations I, II et III Il y a 3 opérations élémentaires qui peuvent être effectuées sur les lignes 1 d’une matrices. 1. Pour la décomposition d’une matrice A en un produit de matrices triangulaires inférieure L et supérieure U, on utilise également les matrices élémentaires pour agir sur les colonnes de la matrice identité pour calculer la matrice L. Forme échelonnée d’une matrice alglin-cours-accelere I Intervertir deux lignes. II Multiplier une ligne par un scalaire. III Additionner à une ligne un multiple d’une autre. Matrices élémentaires On appelle matrice élémentaire d’ordre n et de type I, I I ou I I I toute matrice qui s’obtient en appliquant une transformation élémentaire de type I, I I ou respectivement I I I sur les lignes de la matrice identité In . Exemple 3.4 (Opération de type I). Permutation de deux lignes : (permutation des lignes 2 et 3) Exemple 3.5 (Opération de type II). Multiplication d’une ligne par un scalaire : (multiplication de la ligne 4 par λ) Exemple 3.6 (Opération de type III). Additionner à une ligne un multiple d’une autre : (enlever λ fois la première ligne à la troisième) Lorsque l’on veut manipuler les colonnes d’une matrice on peut le faire en la multipliant à droite par une matrice Lorsque l’on veut manipuler les lignes d’une matrice, on la multiplie à gauche par une matrice élémentaire. Exemple 3.7. On désire échanger les lignes d’une matrice : Exemple 3.8. On désire échanger les colonnes d’une matrice : Forme échelonnée d’une matrice alglin-cours-accelere Exemple 3.9. On désire soustraire 2 fois la première ligne de la deuxième :  −2 1 0 .  2 3 6  =  0 −5 2  Exemple 3.10. On désire multiplier la 2ème ligne d’une matrice par 12 :  0 1 0 .  2 3 6  =  1 3 3  Inverse d’une matrice élémentaire Il suffit d’inverser l’unique opération faite : Forme échelonnée d’une matrice Toute matrice peut être transformée en une matrice échelonnée (ou échelonnée réduite) au moyen des opérations élémentaires I, I I et I I I vue en 3.6.1. Une matrice est dite échelonnée (en lignes) si le nombre de zéros précédant la première valeur non nulle d’une ligne augmente ligne par ligne jusqu’à ce qu’il ne reste éventuellement plus que des zéros. On appelle pivot le premier élément non nul d’une ligne d’une matrice échelonnée. Une matrice est dite échelonnée réduite si les pivots sont égals à 1. Exemple 3.11 (Matrice échelonnée). Applications des matrices élémentaires alglin-cours-accelere Exemple 3.12 (Matrice échelonnée réduite). Applications des matrices élémentaires La mise d’une matrice à sa forme échelonnée permettra de résoudre des systèmes d’équations linéaire (voir Matrice échelonnée Voici un exemple d’échelonnage d’une matrice carrée à l’aide des opérations de type I, I I et I I I. Exemple 3.13. Soit la matrice carrée A. La première opération est de type I I I, on enlève 2 fois la première ligne à la deuxième, l’opération se note : L(2,1) (−2) =  −2 1 0  L’opération est : L(2,1) (−2) · A = La deuxième opération consiste à additionner la première ligne à la troisième (Type III) donnée par L(3,1) (1), L(3,1) (1) · L(2,1) (−2) · A = alglin-cours-accelere La troisième opération soustrait la ligne 2 de la ligne 3, donc L(3,2)(−1) , L(3,2)(−1) · L(3,1) (1) · L(2,1) (−2) · A = 1 0 · 0 1 1  Cette dernière matrice, E, est la forme échelonnée de A. La forme échelonnée réduite est obtenue avec des opérations de type I I : =  0 1 0 · 0 1 0 · 0 1 1  Inverser une matrice ne s’applique qu’au matrices carrées. Le but de l’opération, est de trouver une matrice A · A−1 = I et A−1 · A = I Toutes les matrices carrées n’ont pas forcément d’inverse. On peut dégager quelques caractéristiques : 1. L’inverse d’une matrice existe ssi la matrice échelonnée et réduite de An×n possède n pivot non nuls. 2. Une matrice ne possède qu’une seule inverse. 3. On peut résoudre certains systèmes linéaires avec des matrices inverses : Ax = y =⇒ A−1 Ax = A−1 y =⇒ Ix = A−1 y =⇒ x = A−1 y 4. La matrice A = ac db n’est inversible que si ad − cb ̸= 0. ad − cb est le déterminant de A. (Voir section 4 pour de plus amples détails) Inverse d’un produit de matrices Théorème 3.1. L’inverse de AB est B−1 Calcul de l’inverse d’une matrice par la méthode de Gauss-Jordan Soit A = ac db , une matrice carrée dont on veut calculer l’inverse A−1 . Construisons la matrice augmentée AI qui aura donc la forme Imaginons à présent que l’on agissent sur les lignes de cette matrice augmentée à l’aide de matrices élémentaires : alglin-cours-accelere On fait en sorte que : Si on y arrive, cela veut dire que En ..E2 E1 E0 = A−1 . En effet : = A −1 A | A −1 I = I A −1 Exemple 3.14. voir maple alglin-cours-accelere Le déterminant d’une matrice carrée est un scalaire. Il est difficile d’en donner une définition précise, mais c’est une grandeur pleine d’indication au sujet de la matrice. Le déterminant d’une matrice 1 × 1 est l’unique entrée de celle-ci : Attention, la notation est la même que pour la valeur absolue, mais ce n’est pas la même chose. Pour les matrice carrée 2 × 2 on a : alglin-cours-accelere Systèmes d’équations linéaires Définition et exemple Une équation linéaire est une équation de la forme a1 x1 + a2 x2 + · · · + a n x n = b où a1 ..an , b sont des coefficients réels ou complexes et x1 …xn les inconnues. On remarque que chaque monôme ne contient qu’une inconnue, que cette dernière est l’unique représentant (l’équation linéaire est réduite) et que le degré de chaque inconnue est de 1. La constante b peut prendre n’importe quelle valeur, car on ne demande pas à une équation linéaire d’être un sous-espace vectoriel. Un système d’équations linéaires est un système d’équations constitué d’équations linéaires qui portent sur les mêmes inconnues. 2×1 + 3×2 2 + x3 = −1  x1 + x2 + 3×3 = 4 Résolution d’un système par la méthode de Gauss Le système à résoudre est le suivant :  −2x −4y −z Forme matricielle du système On commence par écrire le système sous forme matricielle AX = B :  −2 −4 −1 −7 1   −1 −2 −1 −4 1 La matrice A est de dimension 4 × 5, les inconnues (X) forment une matrice colonne 5 × 1 et la solution ( B) une matrice colonne 4 × 1. On voit que les dimensions correspondent. (4 × 5) · (5 × 1) = (4 × 1) Sous cette forme il est difficile de déterminer si le système est compatible (si il a des solutions) ou si il est incompatible (absence de solution). On le met sous la forme d’une seule et unique matrice de type [ AB]. On appelle [ AB] la matrice augmentée. Forme matricielle du système alglin-cours-accelere Matrice augmentée du système La matrice augmentée [ AB] est :  −2 −4 −1 −7 Par des opérations sur les lignes, on va former à présent la matrice échelonnée réduite (pivots=1). Matrice échelonnée réduite du système linéaire Élimination de Gauss On commence par enlever la première ligne de la deuxième (L2 − L1 ) puis on ajoute deux fois la première à la troisième (2L1 + L3 ) et une fois la première à la quatrième (L1 + L4 ). On peut effectuer ces opérations à l’aide de matrices élémentaires (cela évite beaucoup d’erreurs de calcul !). L’utilisation des matrices élémentaires demande cependant une certaine expérience.  −1 1 0 0   1   0 0 1 1 0 2   2 0 1 0  .  −2 −4 −1 −7 1 −1  =  0 0 1 1 5 17  −1 −2 −1 −4 1 À présent, on enlève la deuxième ligne à la troisième (L3 − L2 ) :  0 1 0 0   0 0 1 1 0 2   0  0 −1 1 0  .  0 0 1 1 5 17  =  0 On divise la troisième ligne par cinq :  0 1 0 0   0  0 0 1 0 . 0 On enlève trois fois la troisième ligne à la quatrième :  0 1 0 0   0 0 1 1 0  0 0 1 0 . 0 0 0 0 1 On a à présent la matrice sous sa forme échelonnée réduite. Les pivots valent 1 : Substitution en retour de Jordan Il s’agit à présent d’éliminer les valeurs non nulles dans les colonnes des pivots (qui ne sont pas les pivots eux-mêmes cela va de soi). On enlève la deuxième ligne à la première (L1 − L2 ) :  0 1 0 0   0 0 1 1 0 2   0  0 0 1 0 . 0 0 0 0 1 3  =  0 Forme matricielle du système alglin-cours-accelere Finalement, on enlève deux fois la troisième ligne à la première (L1 − 2L3 ) : La matrice, grâce à laquelle on va pouvoir trouver les solutions, est : Lecture des solutions On a le système linéaire : On note que le système est compatible, le rang de la matrice [ A] est 3 (il y a trois colonnes indépendantes qui sont 1,3 et 5) et le rang de la matrice augmentée [ AB] est 3 également (le vecteur B ne “rajoute” pas de dimension On déduit que la solution sera de dimension 3. Une solution particulière est donnée par la matrice colonne On peut vérifier que :  −2 −4 −1 −7 1   −1 −2 −1 −4 1 Solution générale, solutions du système homogène associé On est en présence d’un système compatible. Notre système est formé de 4 équations à 5 inconnues, c’est donc un système qui possède une infinité de solutions. On a déjà une solution particulière, il s’agit à présent de trouver la solution générale qui sera formée de la solution particulière à laquelle on ajoutera la solution du système homogène associé. On raisonne de la manière suivante : Les colonnes 2 et 4 sont des combinaisons linéaires des colonnes 1, 3 et 5 on peut donc les combiner toutes ces colonnes afin d’obtenir la colonne nulle. Ajouter une colonne nulle à la solution particulière ne la change pas. On va donc rechercher l’ensemble des solutions du système linéaire homogène associé en d’autres mots on va rechercher l’ensemble des solutions qui donnent la matrice colonne nulle. Forme matricielle du système alglin-cours-accelere La matrice augmentée du système homogène associé est : Le vecteur nul est la solution triviale du système, mais on peut trouver d’autres solutions : 1. Avec les colonnes 1 et 2 on peut former une colonne de zéros en additionnant deux fois la première colonne avec l’opposé de la deuxième :  −2 −4 −1 −7 1  .  −1 −2 −1 −4 1 2. Avec les colonnes 1, 3 et 4 on peut construire une combinaison nulle en additionnant 3 fois la première, puis la troisième et en soustrayant la quatrième :  −2 −4 −1 −7 1  .  −1 −2 −1 −4 1 3. Toutes les autres solutions possibles seront combinaisons linéaires des deux trouvées ci-dessus. La solution du système homogène associé est : Par la suite, on appelle ce sous-espace vectoriel le noyau de la matrice. Il est très important de comprendre que la solution générale d’un système linéaire n’est pas un ensemble de vecteurs, mais l’espace généré par ces derniers. On peut remarquer que les solutions du système homogènes forment un sous-espace vectoriel, car le vecteur nul en fait partie. Forme matricielle du système alglin-cours-accelere La solution complète est la somme d’une solution particulière avec la solution du système homogène associé, S =  2  + α  0  + β  1  avec α, β ∈ R. Géométriquement parlant l’interprétation du résultat est difficile, car on se trouve dans , R5 mais on peut cependant prétendre par analogie que la solution est un plan. Posons α = 1012 et β = −2345, on a la solution :  0   −1012   2  + 1012  0  − 2345  1  =  −2343   −1   2345   −2 −4 −1 −7 1   −1 −2 −1 −4 1 alglin-cours-accelere Structures algébriques de bases en vue de la construction d’un espace Dans ce premier chapitre je définis brièvement les structures qui précèdent la structure d’espace vectoriel, cette dernière est fondamentale en algèbre linéaire. L’espace vectoriel est une structure assez basique et c’est ce qui en fait son importance. On commence par la structure de groupe. Avant celle-ci il faut définir ce qu’est une loi de composition interne. Loi de composition interne Définition 6.1 (Loi de composition interne). Une loi de composition interne sur un ensemble E est une application Exemple 6.1. L’addition est une loi de composition interne pour l’ensemble des entiers naturels Z. Pour toute paire de nombres pris dans cet ensemble, le résultat de l’opération d’addition est également dans Z. Exemple 6.2. La division n’est pas une loi de composition interne dans Z car 23 ̸∈ Z, mais à Q. Un groupe est un ensemble G muni d’une loi de composition interne ⊕ qui est associative, pour laquelle il existe un élément neutre et tel que chaque élément de G admet un inverse. Un groupe a les propriétés suivantes : G0 : ⊕ est une loi de composition interne. G1 : ( x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z), ∀ x, y, z ∈ G (associativité.) G2 : ∃e ∈ G : e ⊕ x = x ⊕ e = x, ∀ x ∈ G (e est l’élément neutre). ∃ x′ : x ⊕ x ′ = x ′ ⊕ x = e. (inverse, noté x −1 ou − x selon les cas.) Un groupe est noté ( G, ⊕). Exercice 6.1. Voir la solution G est l’ensemble des fonctions de R → R définies par x 7→ ax + b avec a ∈ R∗ et b ∈ R, muni de l’opération de composition de fonction. Solution de l’exercice 6.1. Retour à l’énoncé Le groupe sera noté ( G, ◦) et il s’agit de vérifier les points G0, G1, G2 et G3 de la définition 6.2. alglin-cours-accelere Pour G0, il faut montrer que la composition de deux applications affines est une application affine. ( ax + b) ◦ (cx + d) = a(cx + d) + b = ( ac) x + ( ad + b) = Ax + B avec Pour G1 on doit tester l’associativité des éléments du groupe avec l’opération donnée. Dans cet exercice, les éléments sont les fonctions affines (non co,nstantes car a ̸= 0) et l’opération est la composition de deux applications c-à-d. f ◦ g ≡ f ( g( x )). Soit trois droites affines appartenant à G, f = ax + b, g = cx + d et h = ex + f . ( f ◦ g) ◦ h = ( a(cx + d) + b) ◦ (ex + f ) = ( a(c(ex + f ) + d) + b = ( ace) x + ac f + ad + b f ◦ ( g ◦ h) = ( ax + b) ◦ (c(ex + f ) + d) = ( a(c(ex + f ) + d) + b = ( ace) x + ac f + ad + b On voit que ça joue. Pour G2, il faut trouver un élément n.eutre, c-à-d. un élément e tel que e ◦ ( ax + b) = ( ax + b) ◦ e = ax + b. Cet élément e est la fonction affine x 7→ x. Pour G3, il faut trouver une fonction affine Cx + D telle que ( ax + b) ◦ (Cx + D ) = (Cx + D ) ◦ ( ax + b) = x Les réels C et D doivent vérifiser le sytème donc, C = 1a et D = − ba . L’élément inverse de x 7→ ax + b est x 7→ 1a x − ba . On remarquera que c’est cette propriété qui oblige à exclure les fonctionss affine de pente nulle. Définition 6.3 (Groupe abélien). Le groupe ( G, ⊕) est dit groupe abélien si ⊕ est une loi de composition interne commutative. Exercice 6.2. Voir la solution Soit ( G, ⊕) avec G =] − 1; 1[ et x ⊕ y ≡ f ( x; y) 7→ 1+xy . ( G, ⊕) est-il un groupe abélien ? Solution de l’exercice 6.2. Retour à l’énoncé L’exercice est difficile, mais nous sommes là pour apprendre les trucs. Je vais reprendre les quatre propriétés qu’il faut tester afin de répondre à la question. Je commence par faire un graphe de la fonction dans l’intervalle alglin-cours-accelere Figure 1 – f ( x; y) 7→ 1x++xy G0 : Il faut démontrer que pour tout x, y pris dans l’interval G2 l’image obtenue est contenue dans ce même D’après le graphe de f ( x; y) on voit que la fonction a son maximum pour y = 1 et x = 1 et un minimum en y = −1 et x = −1. Si on arrive à montrer que la fonction est strictement croissante et que ses valeurs pour x = −1 et y = −1) et x = 1 et y = 1 sont respectivement des minimums et des ,maximums à on aura démontrer la fermeture de l’opération. Commençons par dériver la fonction dans la direction de x et dans la direction de y, c’est ce que l’on appelle des dérivées partielles. On a : Le numérateur des deux dérivées est positifs pour toutes les valeurs de G et le dénominateur est toujours positif, la fonction est donc bien strictement croissante sur G. Les valeurs de f sont En résumé, on vient de montrer que la fonction est strictement croissante sur G et que les valeurs minimum et maximum sont −1 et +1 respectivement. Il est donc évident que l’opération vérifie la propriété de fermeture G0. La démonstration peut être faite formellement en utilisant le théorème de la valeur iintermédaire pour une fonction continue strictement croissante. alglin-cours-accelere G1 : La loi est associative ; pour tout ( x, y, z) ∈ G3 , on a : Un calcul similaire donne le même résultat pour ( x ⊕ y) ⊕ z. G2 : Il faut à présent trouver un élément neutre unique. Cet élément est e = 0, en effet : G3 : Tout élément x ∈ G est inversible, d’inverse − x. En effet, on a : x ⊕ (− x ) = (− x ) ⊕ x = Finalement il faut montrer que l’opération est commutative pour avoir un groupe abélien, ce qui est évident, si onr intervetit x et y, l’opération ⊕ reste identique. alglin-cours-accelere Structure d’espace vectoriel En deux mots, un espace vectoriel est un groupe, qui en plus de posséder une loi de composition interne possède une loi de composition externe. On va pouvoir non seulement nadditioner deux vecteurs et avoir un résultat qui est également un vecteur du même ensemble, mais on va pouvoir aussi multiplier un vecteur par un nombre pour obtenir un vecteur colinéaire mais de norme différente (ou pas !). Les vecteurs de la géométrie et de la physique ne sont pas les seuls vecteurs ! Les polynômes de degré n ∈ N sont des élément d’un espace vectoriel. Les matrices carrées à déterminant non nul sont des éléments d’un espace vectoriel, les matrices rectangulaires ne forment pas des espaces vectoriel car une matrice rectangulaire ne possède Ou alors envraiment très en gros ! Un espace vectoriel c’est un ensemble de machins qui additionnés donnent des machins et qui multiplié par des trucs donnent encore des machins ! Finalement c’est pas si mauvais comme définition, pas très élégant, mais sensé. Définition 7.1 (K-espace vectoriel). Soit K un corps commutatif. Un espace vectoriel sur K (K-espace vectoriel) est la donnée (V, ⊕, ⊙) d’un ensemble V, muni d’une loi de composition interne, ⊕ : V × V −→ V qui fait de (V, ⊕) un groupe abélien et d’une loi de composition externe ⊙ : K × V −→ V vérifiant, pour tous éléments a, b ∈ K et u, v ∈ V, les propriétés suivantes EV1 : a ⊙ (u ⊕ v) = a ⊙ u ⊕ a ⊙ v EV2 : ( a + b) ⊙ u = a ⊙ u ⊕ b ⊙ u EV3 : ( a · b) ⊙ u = a ⊙ (b ⊙ u) K est de manière générale soit le corps des réels R, soit le corps des nombres complexes C. Afin de ne pas alourdir le texte, j’ai fais l’impasse sur les structures nommées des corps. Vous connaissez déjà les deux corps que l’on va utiliser ici, celui des réels R et celui des complexes C Lorsque toutes ces propriétés sont vérifiées, les éléments de V sont appelés des vecteurs (au sens large du terme). Dans les exemples qui suivent on va voir que les vecteurs peuvent être des objets mathématiques très divers. Exemples d’espaces vectoriels Dans l’espace vectoriel C2 on peut définir les couples (vecteurs) C2 = {(z1 , z2 ) : z1 , z2 ∈ C}. Dans l’espace vectoriel R3 on peut définir les triplets (vecteurs) R3 = {( x, y, z) : x, y, z ∈ R}. De manière générale on peut définir des n-uplets sur Kn 2 : Kn = {( x1 , x2 , …, xn ) : xi ∈ K 2. Rappel : K désigne l’ensemble R ou l’ensemble C Exemples d’espaces vectoriels alglin-cours-accelere On distingue les espaces vectoriels réels lorsque K = R et les espaces vectoriels complexes lorsque K = C. En principe, on ne s’occupe pas de connaître le type des composantes des vecteurs. Mais il est certain que pour vérifier la stabilité de la multiplication par un scalaire, le type des composantes doit être pris en compte. En effet, supposons que les composantes des vecteurs soient réels et que le corps des scalaire soit complexe, alors la multiplication par un scalaire ne donnera pas une opération stable, les composantes des vecteurs deviendront complexes. Les n-uplets sont des listes (familles) de coordonnées (•, •, •, …, •). Dans une famille, l’ordre et la taille importent. Par exemple : (4, 4, 4, 4) ̸= (4, 4, 4) (familles) {4, 4, 4, 4} = {4, 4, 4} = {4} (ensembles) Espace vectoriel « classique » Soit l’espace vectoriel R3 sur le corps des réels R. Les vecteurs (familles) sont les triplets de réels ( x1 , x2 , x3 )T . En reprenant les notations de la définition d’un espace vectoriel (7.1), on peut établir que : — L’espace vectoriel V est l’espace R3 , — le corps K est R. Les opérations sont définies ainsi : — L’addition stable ⊕ est l’addition vectorielle coordonnée par coordonnée, — l’opération de multiplication ⊙ est celle qui multiplie un vecteur par un scalaire, — la multiplication entre réels est l’opération définie par · dans la définition et — l’addition entre réels est l’opération définie par + dans la définition. Choisissons u = (u1 , u2 , u3 )T , v = (v1 , v2 , v3 ) et w = (w1 , w2 , w3 ) dans R3 ainsi que les nombres réels a, b. L’addition de deux vecteurs de R3 est stable :  u2  +  v2  =  u2 + v2  De même que l’opération de multiplication d’un vecteur de R3 par un scalaire de R également λv2  = λv2  La commutativité est vérifiée car l’addition dans R est commutative,  u2  +  v2  =  u2 + v2  =  v2 + u2  =  v2  +  u2 . Exemples d’espaces vectoriels alglin-cours-accelere De même, pour l’associativité on a :          u 2  +  v 2   +  w2  =  u 2 + v 2  +  w2  = u 2 + v 2 + w2  =  u 2  +  v 2 + w2        =  u 2  +   v 2  +  w2   . L’élément neutre pour l’addition vectoriel est le vecteur nul (0, 0, 0)T .       0 +  u2  =  u2 . L’élément inverse pour l’addition est le vecteur formé de l’opposé de chaque composante  u2  +  − u2  = 0. L’élément neutre pour la multiplication par un scalaire est l’élément 1 ∈ R, 1 u2  =  u2 , et finalement pour les règles de distributivités on a :     a   u2  +  v2   = a  u2  + a  v2  ( a + b ) u2 = a u2 + b u2 . Espace vectoriel des polynômes L’ensemble des polynômes de dimension finie Cn [ Z ] (dimension n + 1) sur C est un espace vectoriel complexe. Il peut sembler étrange de considérer des polynômes comme des vecteurs ! Mais attention pour avoir la structure d’espace vectoriel, les éléments de l’ensemble V doivent simplement vérifier les règles ci-dessus, ce que font les polynômes (réels ou complexes). Un vecteur n’est donc pas forcément une flèche, mais peut prendre d’autres formes, tels que matrices, fonctions, opérateurs (espace vectoriel des opérateurs hermitiens) etc.. On a Z ∈ C, {c0 , c1 , c2 , …, cn } ∈ C, {d0 , d1 , d2 , …, dn } ∈ C et z, w ∈ C. alglin-cours-accelere On vérifie que l’opération d’addition est stable, ∑ ci Z i + ∑ di Z i = ∑ ( ci + di ) Z i de même que la multiplication par un scalaire : c ∑ ci Z i = ∑ ( c · ci ) Z i La commutativité et l’associativité sont évidentes, l’élément neutre pour l’addition est le polynôme dont tous les coefficients sont nulles. L’élément inverse pour l’addition est ∑in=0 −ci Zi et l’élément neutre pour la multiplication par un scalaire est 1 ∈ C. Les opérations de distributivités sont vérifiées : = ∑ z · ci Z i + ∑ z · di Z i ( z + w ) ∑ ci Z i = ∑ z · ci Z i + ∑ w · ci Z i Espace vectoriel des matrices hermitiennes On prend comme exemple l’ensemble des matrices hermitiennes de dimension 2. La définition d’une matrice hermitienne est donnée par : ( ai,j ) = ( a j,i ) Autrement dit la diagonale principale est forcément réel. En voici un exemple : On remarque que l’on a bien H = ( H ∗ )T . Les matrices hermitiennes forment des espaces vectoriels réels ! En effet le corps des scalaires de ces espaces ne peut pas être complexe car la multiplication d’une matrice hermitienne par un scalaire complexe ne donne pas une matrice hermitienne (la multiplication par un scalaire ne serait pas stable). Prenons les matrices hermitienne 2 × 2. La forme générique est donnée par Les opérations d’addition et de multiplication multiplication par un scalaire sont stables. La commutativité et l’associativité sont respectées car ces propriétés le sont pour les complexes. L’élément neutre de l’addition est la matrice nulle. L’inverse pour la multiplication par un scalaire est le réel 1. Les opérations de distributivités sont Les conséquences de la définition d’un espace vectoriel amènent quelques propositions qui peuvent paraître “évidentes” au premier abord, mais qu’il est important de démontrer. a) ∀v ∈ V, 0 ⊙ v = 0. c) ∀ a ∈ K, ∀v ∈ V, (− a) ⊙ v = −( a ⊙ v) = a ⊙ (−v) d) ∀ a ∈ K, ∀v ∈ V a ⊙ v = 0 ⇐⇒ ( a = 0 Combinaisons linéaires Combinaisons linéaires alglin-cours-accelere Définition 7.2. On appelle combinaison linéaire des vecteurs (u1 , u2 , . . . , un ) tout vecteur de la forme : α1 u1 + α2 u2 + . . . + α n u n , Les αn sont appelés les coefficients de la combinaison linéaire. Sous-espaces vectoriels Définition 7.3. Soit un sous-ensemble U d’un ensemble V. V possède la structure d’espace vectoriel sur un Alors, si U possède la structure d’espace vectoriel (addition et multiplication par un scalaire (le même K que V), alors U est appelé un sous-espace vectoriel de V. Voyons comment déterminer si un sous-ensemble U ∈ V est un sous-espace vectoriel de V. Proposition 7.1 (Caractérisation d’un sous-espace vectoriel). Le sous-ensemble U est un sous-espace vectoriel de V si et seulement si U est non vide (puisque U est supposé être un espace vectoriel, il contient le vecteur nul) et si pour tout couple u, v de vecteur de U et pour tout α, β ∈ K, on a : Exemple 7.1. La droite d = {( x, y) ∈ R2 : x + 3y = 0} est un sous espace vectoriel de R2 . Exemple 7.2. L’ensemble de nombre rationnels Q n’est pas un sous-espace vectoriel de R sur le corps R, car la multiplication d’un nombre rationnel par un irrationnel n’est pas une opération stable. Proposition 7.2. Soit une famille quelconque (u1 , u2 , . . . , uk ) de vecteurs d’un espace vectoriel V. L’ensemble des combinaisons linéaires qui peuvent être formées avec les vecteurs u1 , u2 , . . . , uk est un sous-espace vectoriel Corollaire 7.1. Le plus petit sous-espace vectoriel de V est {0} et le plus grand est V lui-même. Générateurs, familles génératrices Les vecteurs u1 , u2 , . . . , uk de la proposition 7.2 sont appellés les vecteurs générateurs du sous-espace U et la famille (u1 , u2 , . . . , uk ) est appellée famille génératrice de U. Ces vecteurs engendrent U. Pour montrer que U est généré par la famille de vecteurs (u1 , u2 , . . . , uk ), on notera : U = Vect(u1 , u2 , . . . , uk ) Somme et intersection de sous-espaces vectoriels Soit U et W deux sous-espaces vectoriels de V. Définition 7.4. La somme de U et de W, qui se note U + W est l’ensemble des vecteurs de la forme u + w où u ∈ U et w ∈ W. Dépendance et indépendance linéaire alglin-cours-accelere En utilisant la proposition 7.2 on peut affirmer que U + W et U ∩ W sont des sous-espaces vectoriel de V. La réunion de deux sous-espaces vectoriels n’est pas forcément un sous-espace vectoriel. Théorème 7.1. Pour que la réunion de deux sous-espaces vectoriels U et W de V soit un sous-espace vectoriel, il faut que soit U ⊂ W ou W ⊂ U. {0} et V sont des sous-espaces vectoriels de V. Dépendance et indépendance linéaire Soit (u1 , u2 , . . . , un ) une famille 3 de vecteurs d’un espace vectoriel V. Définition 7.5. Les vecteurs d’une famille sont dits linéairement indépendants si l’équation α1 u1 + α2 u2 + . . . + α n u n = 0 n’est vérifiée que si α1 , α2 , . . . , αn = 0. Corollaire 7.2. Les vecteurs d’une famille sont dits linéairement dépendants si l’équation