Centre de percussion

Dynamique du solide – Centre de percussion http://mathsphysique.net Version du 14/07/2026 10:46 On va essayer de déterminer la hauteur à laquelle il faut frapper une boule de billard afin qu’elle commence à rouler de manière « naturelle », c.-à.-d. afin qu’elle roule sur la table sans glisser et ceci dès le moment où elle a été frappée par la queue de billard. Ce point est intéressant, car l’absence de glissement sur la table permet à la boule de conserver le maximum d’énergie. Le cas d’une règle sur une table Commençons par essayer de comprendre ce qu’il faut chercher. Lorsqu’une règle de masse m sur une table subit une impulsion, le comportement de la règle change selon l’endroit où cette impulsion est donnée. La figure 1 résume les différentes réactions possibles. Analyse des différents cas de la figure 1 : A. Le coup (force F) est donné près de l’extrémité B. En considérant un axe imaginaire positif vers la droite, on a A′ − A < 0. Le règle subit une rotation à l’inverse des aiguilles d’une montre et le centre de masse G se déplace vers la droite. B. Le coup est donné près de l’extrémité A. On a A′ − A > 0. La règle subit une rotation dans le sens des aiguilles d’une montre, ainsi qu’un déplacement vers la droite. C. Le coup est donné à hauteur du centre de gravité G. On a A′ − A > 0. La règle ne subit aucune rotation et montre un déplacement parallèle vers la droite. D. En frappant au bon endroit, on a une rotation dans le sens inverse des aiguille d’une montre et un déplacement du centre de gravité vers la droite. Ce qui est plus intéressant est que le point A ne bouge pas A′ − A = 0. L’endroit où il faut frapper pour que la réaction en A soit nulle est appelé centre de percussion. Calcul du centre de percussion de la règle L’impulsion est définie par l’intégrale Elle a comme unité des [N · s] ou encore des . Ce sont les unités d’une quantité de mouvement. Calcul du centre de percussion de la règle Figure 1 – Différentes réactions de la règle Rappel : Théorèmes fondamentaux de la dynamique du solide Ils sont au nombre de deux, on distingue le théorème du centre de masse : et le théorème du moment cinétique : Soit le diagramme des forces à la figure 2. FB est la force appliquée et FA est la force de réaction. Avant le choc, la quantité de mouvement est nulle. Après le choc elle vaut mVG . Admettons que le choc dure un bref instant t − t0 . On peut intégrer 2 de la manière suivante : Avant le choc, le moment cinétique est nul. Après le choc il vaut LG . Le choc dure t − t0 . On peut intégrer 3 de la manière suivante : (l · FA + l′ · FB ) dt ⇒ LG = (l · FA + l′ · FB ) dt Calcul du centre de percussion de la règle Figure 2 – FB est la force appliquée et FA est la force de réaction. Le problème est résolu si FA = 0. Le centre de percussion est donné par la valeur l + l′ lorsque FA est nulle, c.à.d lorsque le point A ne se déplace pas. En posant FA = 0 dans les équations on résout le problème. En substituant FA = 0 dans 4 et 5 on obtient le système : L’intégrale est court-circuitée et on obtient la relation : Le point A étant immobile la vitesse du centre de masse vaut VG = l · ω. D’autre part LG = IG · ω. On a ainsi la formule générale pour un corps dont le moment d’inertie autour du centre de masse est IG . Cette formule est : La règle a comme moment d’inertie IG = 12 mL2 et l = L2 . En substituant dans 7 : Le centre de percussion vaut donc Cela signifie que si l’on veut briser un bâton contre un arbre sans se ruiner les doigts, il suffit de le saisir a une extrémité et de frapper aussi fort que l’on peut tout en faisant bien attention de percuter l’arbre à une distance de deux tiers de la longueur du bâton. Les arrêts que l’on met derrière une porte pour l’empêcher de s’ouvrir complètement devraient également être placés à une distance correspondant aux deux tiers de la largeur de la porte afin que les gonds de la porte ne s’abiment pas si celle-ci s’ouvre brutalement. Le moment d’inertie d’une boule de billard de masse m et de rayon R est : En substituant IG et R de manière adéquate dans 7 on a : Le centre de percussion se trouve donc à une distance l + l′ = R + 52 R = 75 R. Personnellement, je ne joue pas au billard, mais je suppose que les bandes sont placées à une hauteur de 57 R de manière à ce que durant le choc la table ne provoque aucun roulement de la boule, ou du moins que la perturbation due au rebond soit minimale ? ? ?