Forces centrales

Forces centrales et lois de Képler 1.1 Référentiel et système de coordonnées utilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Enoncés des trois lois de Képler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Seconde loi de Képler 2.1 Constante du mouvement pour un corps orbitant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Première loi de Képler – Trajectoire 4 Troisième loi de Képler Référentiel et système de coordonnées utilisés Le référentiel utilisé sera essentiellement le référentiel héliocentrique ou référentiel de Képler, c’est à dire le référentiel ayant comme point d’origine le centre du Soleil (ou de l’astre central considéré). Les trois autres points nécessaires pour satisfaire à la définition, sont des étoiles assez lointaine pour être considérées comme immobiles. Le systéme de coordonnées que j’uitlise est le système de symétrie cylindrique. Normalement dans les livres, c’est le repère polaire qui est utilisé car les mouvements des étoiles et planètes sont contenu dans des plans. Cependant, si on fait un produit vectoriel, il faut bien une troisième dimension. Par contre, je garderai le nom des deux premières coordonnées et ajouterai une direction Oz. Un point quelconque a comme coordonnées (r, θ, z). Les vecteurs de bases sont la famille de vecteurs er , eθ , ez . Vitesses et accélérations Les expressions pour les vitesses et les accélérations utilisées, c.-à-d. celles d’un repère cylindrique sont : ar = r¨ − r θ̇ er aθ = r θ̈ + 2r˙θ̇ eθ Force de gravitation La force d’attraction d’un astre sur ses planètes ou satellites quelconques est donnée par où G est la constante de gravitation universelle, M est la masse de l’astre et m, la masse de l’objet gravitant autour. La masse de l’astre ou de l’objet orbitant peut être concentrée en son centre. L’astre et l’objet sont considérés comme des points matériels. En mécanique du point, un mouvement dû à une force centrale est le mouvement d’un point matériel M soumis uniquement à une force de la forme FC = f (r )er , c’est-à-dire une force toujours dirigée vers le même point noté O appelé centre de force. La force de gravitation est une force centrale. La ligne d’action d’une force centrale est la ligne qui joint l’objet m qui gravite et le centre O. Je vais partir du fait que la force centrale est connue et retrouver, à partir de cette force et des lois de Newton, les lois de Képler. L’intensité de la force de gravitation varie en r12 . Cette variation est compatible avec le fait que le flux de cette force est constant. On va voir que le moment cinétique d’une planète est une grandeur constante. Cela n’a rien à voir avec l’inverse du carré de la distance mais avec la propriété de force centrale. Une force agissant en ligne droite entre l’astre et une planète implique que le moment de cette force sur l’un ou l’autre des objets est nul. https://michelsemon.online 2 SECONDE LOI DE KÉPLER 1.5 Enoncés des trois lois de Képler Enoncés des trois lois de Képler Loi des orbites (1609) : L’orbite de chaque planète est une ellipse dont le Soleil (ou l’astre principal considéré) est situé à l’un des foyers. Loi des aires (1609) : Une ligne tracée entre l’astre principal et un objet en orbite autour de lui, balaie des surfaces égales en des temps égaux. Loi des périodes (1618) : Le carré de la période sidérale T d’une planète (temps entre deux passages successifs devant une étoile) est directement proportionnel au cube du demi-grand axe a de la trajectoire elliptique de la planète, soit = k où k est une constante. Seconde loi de Képler La seconde loi de Newton est mr̈ = Fext . Ici il n’y a que la force de gravitation. Celle-ci agit uniquement dans la direction er : m r¨ − r θ̇ 2 = − rK2 , avec K > 0. m r θ̈ + 2r˙θ̇ = 0 En multipliant la seconde équation par r , on a : m r 2 θ̈ + 2r r˙θ̇ = 0. Cette expression est la dérivée de mr 2 θ̇ : m r θ̈ + 2r˙θ̇ = 0 −−−−−−−→ mr 2 θ̈ + 2mr r˙θ̇ = 0 Cela signifie bien sûr que la grandeur Maintenent calculons le moment cinétique de la planète m orbitant autour d’un astre central. Par définition, l’expression du moment cinétique est donné par : En coordonnées cylindriques on a : LO = r ∧ mv = mr er ∧ (r˙er + r θ̇) = mr 2 θ̇ez = L O ez On retrouve la même expression qu’au point (4). Cette dernière étant constante, le moment cinétique est par conséquent une constante du mouvement. De la à en déduire la loi des aires il n’y a qu’un pas, que l’on va franchir ici. https://michelsemon.online 2 SECONDE LOI DE KÉPLER 2.1 Constante du mouvement pour un corps orbitant F IG . 1 – Illustration de la loi des aires. L’aire du triangle infinitésimal dA est 12 |r∧v|dt est donnée A la figure 1 on voit que l’aire du triangle dA est donnée par la valeur absolue 21 |r ∧ dr| . On peut écrire dA = |r ∧ dr| = |r ∧ vdt | = (vitesse aréolaire) Cette dernière valeur est la vitesse aréolaire et elle est constante. Il faut bien souligner que la conservation du moment cinétique n’est pas due à l’expression fonctionnelle de la force centrale car elle n’a été utilisée à aucun moment pour vérifier la loi des aires. La constance du moment cinétique est due au fait que la force est une force centrale, qui n’a aucune composante dans la direction eθ . Constante du mouvement pour un corps orbitant A présent on étudie la première expression de (3) qui est : m r¨ − r θ̇ 2 = − 2 En la multipliant par r˙ on obtient : m r˙r¨ − r r˙θ̇ 2 = − 2 m r˙r¨ − mr r˙θ̇ 2 + De L = mr 2 θ̇ on tire θ = mr 2 que l’on substitue dans l’équation ci-dessus : L’expression est la dérivée par rapport au temps d’une expression très importante, en effet m r˙r¨ − 2 3 + 2 = E potentielle effective est une constante du mouvement que l’on appelle également intégrale première. https://michelsemon.online 4 TROISIÈME LOI DE KÉPLER Première loi de Képler – Trajectoire On va à présent démontrer que la trajectoire d’une planète est une ellipse, en résolvant la première des équations du mouvement, à savoir : m r¨ − r θ̇ 2 = − 2 En effectue le changement de variable r (θ(t )) = u(θ(t )) et on calcule r : En substituant r¨ et θ̇ = mr 2 dans (9) on obtient : L’equation différentielle obtenue est celle d’un oscillateur harmonique. Cependant c’est une oscillation en fonction de l’angle et non du temps dont la solution est : = 2 +C cos(θ + θ0 ) Le résultat mis sous la forme n’est autre que l’équation polaire d’une ellipse. Les coefficient C et θ0 sont des constantes dont la valeur est déterminée par les conditions initiales. On peut déduire de (12) les valeurs extrême de r . La valeur la plus grande, l’apogée de l’ellipse sera obtenue pour un cosinus valant −1 et le périgée pour une valeur du cosinus de +1 : Troisième loi de Képler https://michelsemon.online