Référentiels accélérés

Présentations des référentiels accélérés

Les référentiels accélérés Pourquoi utiliser des référentiels accélérés Depuis tout petit, nos professeurs de physique du collège nous répètent que l’on ne peut utiliser la deuxième loi de Newton 1 que dans des référentiels dits inertiels. Un référentiel est inertiel si pour un point matériel qui subit une somme de forces extérieures nulles, on mesure une vitesse constante ou nulle. Tous les référentiels depuis lesquels on mesure également une vitesse constante ou nulle de ce même point matériel sont également inertiels. C’est dans ce contexte précis que la deuxième loi de Newton est applicable et son formalisme est: On va considérer un changement de nom pour notre référentiel d’inertie et l’on va l’appeler référentiel absolu que l’on notera dorénavant avec R. En plus du référentiel absolu, on va utiliser un référentiel relatif que l’on notera R′ . Chacun de ces deux référentiels sera matérialisé par un système d’axe cartésien (pourquoi pas) qu’on notera (O, x1 , x2 , x3 ) pour le référentiel absolu et ( A, y1 , y2 , y3 ) pour le relatif. Le référentiel relatif sera considéré comme accélérant par rapport au référentiel absolu . Il est évident que les rôles entre absolu et relatif pourraient être échangés, mais cela n’amènerait rien de nouveau. On récrit la deuxième loi ainsi: a a ( P) est l’accélération du point P dans le référentiel absolu. Mais pourquoi avons-nous besoin de deux référentiels et de plus des référentiels qui ont un mouvement relatif accéléré. Il y a deux réponses à cette question. La première est que c’est souvent très pratique et que cela facilite les calculs, ce qui est déjà une très bonne nouvelle. Deuxièmement on pourrait vouloir se poser la question. Mais que voit l’observateur dans le référentiel accéléré et comment interprète-t-il ce qu’il voit? Lorsque vous prenez un virage en voiture vous vous sentez pousser vers l’extérieur du virage bien que votre prof de physique du collège vous ait dit que la force centrifuge est une erreur et que celui qui en parle aux examens aura un zéro (anecdote véridique). Pourtant c’est indéniable qu’une force nous pousse vers l’extérieur, cependant on parlera de force d’inertie. Les forces d’inertie apparaissent dans les référentiels accélérés et ont comme noms, force centrifuge, force de Coriolis ou encore force d’Euler. C’est donc des forces de seconde zone? Pas du tout ce sont des forces qui existent pour celui qui est dans le référentiel accéléré, demandez à un tireur d’élite à longue distance ou à Guillaume Tell. Finalement, on peut se demander si un référentiel inertiel existe vraiment et si oui où est-il? Il ne doit pas être en rotation, mais par rapport à quoi? Ce n’est pas évident d’en trouver un. Il existe une théorie de la gravitation d’Ernst Mach qui est très élégante. Elle permet d’imaginer la situation quelque peu déroutante 1 La troisième loi de Newton est utilisable aussi bien dans les référentiels non inertiels que dans les référentiels inertiels Isaac Newton et Ernst Mach se rencontrent au bistrot au coin à gauche de la galaxie, à la sortie pour la galaxie d’Andromède. Ils sirotent leur whisky et font tourner la boisson au fond du verre. Un martien arrive et leur pose la question suivante: que se passerait-il si le verre était tranquille et que c’est l’univers qui effectuait des cercles autour des verres. Est-ce que le liquide remonterait également le long des parois? Newton prend un papier et un crayon, griffonne quelques calculs, se lève et dit que rien ne se passerait, le verre est au repos donc aucune raison pour que le whisky monte le long des bords du verre. À son tour, Mach prend le crayon, fait quelques calculs et prétend qu’en effet, l’eau remonterait dans le verre le long des parois et que par symétrie de la nature, il ne pouvait en être autrement (en fait Mach a donné une explication quantitative très intéressante). Einstein s’est inspiré de la théorie de Mach dans l’élaboration de la théorie des relativités. On retiendra que la notion de référentiel est une notion complexe. La figure 1 décrit les relations géométriques entre les référentiels absolu et relatif. Figure 1: Référentiel absolu (O, x1 , x2 , x3 ), référentiel relatif ( A, y1 , y2 , y3 ) et ( P, e1 , e2 , e3 ) un repère associé au référentiel relatif (cylindrique ou sphérique) Composition des vitesses On a les relations suivantes entre les vitesses relatives et absolues: v a ( P) = v a ( A) + vr ( P) + Ω ∧ AP Vitesse du point P dans le référentiel absolu. Vitesse de l’origine A du référentiel relatif dans le référentiel absolu. Vitesse du point P dans le référentiel relatif. Vitesse de rotation du point coincidant Pt due à la possible rotation du référentiel relatif.

Ω est indépendant du choix de A. La grandeur formée par ve ( P) = v a ( A) + Ω ∧ AP est appelée vitesse d’entraînement. C’est la vitesse du point P à l’instant t (appelé point coïncidant et noté Pt′ dans R′ et Pt dans R. On peut donc également écrire: v a ( P ) = v e ( P ) + vr ( P ) La vitesse est la dérivée de la position. La position générale d’un point P est: On peut noter AP en fonction de ses composantes dans le référentiel relatif A, ce qui donne: On se rappelle que les formules de Poisson [2] nous permettent d’écrire avantageusement la dérivée des vecteurs de bases de la manière suivante: La dérivée par rapport au temps de 5 est: = v a ( A) + ∑ ẏi yi + ∑ yi ẏi = v a ( A ) + vr ( P ) + ∑ yi ( Ω ∧ yi ) = v a ( A) + vr ( P) + (Ω ∧ AP) Donc on a effectivement: v a ( P) = v a ( A) + vr ( P) + (Ω ∧ AP) Composition des accélérations En dérivant (2) on obtient l’expression complète de l’accélération du point P dans le référentiel absolu en tenant compte de l’évolution de P dans le référentiel relatif. a a ( P) = a a ( A) + ar ( P) + 2Ω ∧ vr ( P) + Ω ∧ (Ω ∧ AP) + Ω̇ ∧ AP

Accélération du point P dans le référentiel absolu. Accélération de l’origine A de R′ dans R. Accélération de P relativement à R′ Accélération de Coriolis. Ω ∧ (Ω ∧ AP) = Accélération centripète. Accélération d’Euler On distingue également une accélération d’entraînement qui est l’accélération du point du référentiel relatif coïncidant avec le point P à l’instant qui nous intéresse: ae ( P) = a a ( A) + Ω ∧ (Ω ∧ AP) + Ω̇ ∧ AP On peut interpréter 6 de différente manière. On peut voir l’accélération du point P dans R comme la somme de l’accélération d’entraînement, de l’accélération relative de P dans R′ et de l’accélération de Coriolis (qui ne fait pas partie de l’accélération d’entraînement, car elle dépend de l’éventuelle vitesse de P dans R′ ) et de l’accélération d’Euler. On est donc en mesure de calculer l’accélération absolue de P dans R à l’aide des grandeurs citées. On part de l’expression de la vitesse, v a ( P) = v a ( A) + vr ( P) + (Ω ∧ AP) que l’on dérive par rapport au temps. Cette démonstration est demandée en exercice. Dans le référentiel absolu, la loi de Newton s’écrit: Donc je peux récrire 6 après l’avoir multiplié par la masse m pour passer à la notion de dynamique, de la = ma a ( A) + mar ( P) + 2mΩ ∧ vr ( P) + mΩ ∧ (Ω ∧ AP) + mΩ̇ ∧ AP À présent en isolant à gauche le terme contenant l’accélération de P dans le référentiel relatif, on obtient la deuxième loi de Newton dans un référentiel accéléré. La deuxième loi de Newton dans R′ , un référentiel non inertiel, s’écrit: i − ma a ( A ) − 2mΩ ∧ vr ( P ) − mΩ ∧ ( Ω ∧ AP ) − m Ω̇ ∧ AP mar ( P) = ma a ( P) − ma a ( A) − 2mΩ ∧ vr ( P) − mΩ ∧ (Ω ∧ AP) − mΩ̇ ∧ AP

FCoriolis = −2mΩ ∧ vr ( P), Fcentrifuge = −mΩ ∧ (Ω ∧ AP), FEuler = −mΩ̇ ∧ AP, on peut également l’écrire: i − ma a ( A ) + FCoriolis + Fcentrifuge + FEuler Exemple 1 – Mouvement circulaire sur un carrousel Une personne court à vitesse constante v sur le bord d’un carrousel de rayon r et de vitesse angulaire constante Ω. Déterminer son accélération par rapport au sol. Q1 Faire un dessin et déterminer les différents référentiels et placer un référentiel associé adéquat. Q2 Retrouver et déterminer tous les termes de l’équation de l’accélération totale, a a ( P) = a a ( A) + ar ( P) + 2Ω ∧ vr ( P) + Ω ∧ (Ω ∧ AP) + Ω̇ ∧ AP Q3 commenter différents cas de figure intéressants selon les valeurs de v et Ω. Q4 Que vaut l’accélération d’entraînement dans cet exercice ? Figure 2: Le référentiel absolu est (O, x1 , x2 , x3 ), le référentiel relatif est ( A, y1 , y2 , y3 ) et le repère associé au point P est de type cylindrique Les origines des référentiels absolus R et relatif R′ étant confondus on a:

L’accélération du coureur dans le référentiel accéléré est due uniquement à l’accélération centripète, car l’intensité de sa vitesse est constante: L’accélération de Coriolis dépendant de la vitesse du point P dans le référentiel R′ , il faut commencer par déterminer celle-ci dans le repère cylindrique: à présent on peut calculer l’accélération de Coriolis qui vaut: 2Ω ∧ vr ( P) = 2Ωv(ez ∧ eϕ ) = −2Ωve ρ L’accélération centripète vaut: Ω ∧ (Ω ∧ AP) = Ω2 r (ez ∧ (ez ∧ eρ )) = −Ω2 reρ Le dernier terme, l’accélération d’Euler est naturellement nul vu que le vecteur Ω est constant. En mettant tout ensemble, on obtient: + 2Ωv + Ω r eρ = −( + À présent si l’on regarde depuis le référentiel absolu, en additionnant la vitesse du coureur à la vitesse tangentiel du carrousel, cela donne une vitesse totale de donc, l’accélération centripète − Vr eρ sera bien identique à la valeur trouvée précédemment qui était Si par exemple v = 0, on retrouve bien la valeur de l’accélération centripète espérée. Si v = Ωr, l’accélération centripète totale sera 4 fois plus élevée, ce qui correspond, vu que l’accélération centripète dépend de la vitesse au carré. Si v = −Ωr alors le coureur, tournant dans le sens inverse a une vitesse nulle dans le référentiel absolu, ce qui à nouveau semble correct. Par définition, l’accélération d’entraînement vaut ae ( P) = a a ( A) + Ω ∧ (Ω ∧ AP) + Ω̇ ∧ AP Dans le cadre de notre carrousel, elle vaut: a e ( P ) = − Ω2 r e ρ C’est l’accélération du point coïncidant Pt dans R. C’est le point où se trouve P à l’instant t dans le référentiel absolu.

Exemple 2 – Mouvement radial sur un carrousel Que vaut l’accélération absolue d’un point matériel se déplaçant radialement avec une vitesse constante relative à un carrousel en rotation uniforme Ω = cste? L’intensité de la vitesse radiale vaut vr . Figure 3: Le référentiel absolu est (O, x1 , x2 , x3 ), le référentiel relatif est ( A, y1 , y2 , y3 ). Le référentiel relatif tourne alors que le référentiel absolu reste Solution de l’exemple 2 – Mouvement radial sur un carrousel Le déplacement du point P dans le référentiel relatif se fait selon une droite dans la direction ŷ1 . On peut Le plus simple est d’utiliser le référentiel accéléré ( A, y1 , y2 , y3 ) pour projeter les diverses grandeurs vectorielles qui vont apparaître C’est peut-être le moment de se poser la question de savoir comment choisir le bon repère pour projeter les grandeurs vectorielles. On choisit toujours le repère dans lequel c’est le plus simple ou alors celui qui est exigé par la situation. Il ne faut pas oublier qu’un vecteur est un invariant, c.-à-d. que quelque soit le repère dans lequel on le décompose, les grandeurs intrinsèques qui le composent, son intensité et sa direction son toujours les mêmes quelque soit le repère choisi, absolu ou relatif. On parle ici de relativité non relativiste, les temps et les longueurs sont invariants. On prend l’expression de l’accélération totale et on applique les contraintes géométriques et dynamiques de a a ( P) = a a ( A) + ar ( P) + 2Ω ∧ vr ( P) + Ω ∧ (Ω ∧ AP) + Ω̇ ∧ AP Le terme a a ( A) est nul, car les origines O et A des deux repères cartésiens matérialisant les référentiels Le terme ar ( P) représente l’accélération de P dans R′ donc le long de l’axe Oy1 . ar ( P) = ÿ = 0 ŷ1

Le terme 2Ω ∧ vr ( P) est l’accélération de Coriolis, elle vaut: 2Ω ∧ vr ( P) = 2Ωvr (ŷ3 ∧ ŷ1 ) = 2Ωvr ŷ2 L’accélération centripète vaut: Ω ∧ (Ω ∧ AP) = −Ω2 vr t ŷ1 En regroupant le tout cela donne l’accélération absolue de P dans ( A, y1 , y2 , y3 ): a a ( P) = 2Ωvr ŷ2 − Ω2 vr t ŷ1 On remarquera que dans le référentiel absolu, l’accélération de P est constante selon l’axe Ay2 alors qu’elle est linéaire en t selon l’axe Ay1 . Dans le référentiel relatif par contre l’accélération est nulle dans les deux Une petite chose à remarquer, c’est que pour une vitesse radiale constante, l’accélération de Coriolis est la même, quelle que soit la distance au centre du point P. Autre point à remarquer c’est que l’accélération de Coriolis va dans le sens + Ay2 , donc vers la gauche dans le sens de la marche le long de Ay1 , ce qui semble sensé avec l’intuition que l’on peut se faire du

Exemple 3 – Voiture dans un virage Une voiture rentre dans un virage de rayon R à une vitesse scalaire constante v0 , avec ΩR = v0 . Les occupants ressentent une force les poussant contre le côté extérieur de la voiture. Expliquez Solution de l’exemple 3 – Voiture dans un virage Avant de s’atteler au calcul des forces, commençons par calculer les différentes accélérations en présence. On va se considérer deux cas différents. Dans le premier cas, on place les origines des référentiels absolu et relatif O et A au centre du virage (voir fig. 4). On aura donc ∥OA∥ = 0. Dans le deuxième cas, on refera les calculs en plaçant l’origine du référentiel relatif sur la voiture, au point P. Dans cette situation on aura ∥OA∥ = R (voir fig. 5). Le vecteur rotation est le même dans les deux cas et vaut Ω = Ωez . Le référentiel absolu (O, 1, 2, 3) et le référentiel relatif ( A, 1′ , 2′ , 3′ ) sont confondus. Le repère associé est centré au point P. Le référentiel relatif ( A, 1′ , 2′ , 3′ ) est cette fois centré sur la On utilise les formules générales 2 et 6. 1. Premier cas: (fig. 4)

car O et A sont confondus. car la voiture est immobile sur l’axe 1′ . Ω ∧ AP = Ωez ∧ Reρ = ΩReϕ car O et A sont confondus. car la voiture est immobile dans le référentiel relatif. 2Ω ∧ vr ( P) = 0. Ω ∧ (Ω ∧ AP) = −Ω2 R eρ car la pulsation Ω est une constante. Les seules forces extérieures qui existent sont la force de pesanteur FG = −mgez et la force de contrainte du sol N = mgez . Ces deux forces s’annulent. En appliquant la deuxième loi de Newton pour les référentiels non inertiels (8) mar ( P) = ∑ Fext − ma a ( A) − 2mΩ ∧ vr ( P) − mΩ ∧ (Ω ∧ AP) − mΩ̇ ∧ AP, et en s’occupant de l’unique direction où il se passe quelque chose, c.-à-d. eρ , on obtient: mar ( P) = −(−Ω2 R)eρ = Ω2 Reρ . C’est la force ressentie par les passagers de la voiture. Elle s’appelle force centrifuge et est dirigée vers l’extérieur du virage. 2. Second cas: (fig. 5) v a ( A) = Ω ∧ OA = ΩR eϕ car A et P sont confondus. a a ( A) = Ω ∧ (Ω ∧ OA) = −Ω2 R eρ 2Ω ∧ vr ( P) = 0. Ω ∧ (Ω ∧ AP) = 0. Pour ce deuxième cas, on a tout intérêt à retrouver le même résultat sinon il y aurait une erreur En effet on obtient de même: mar ( P) = −(−Ω2 R)eρ = Ω2 Reρ . [1] J.-Ph. Ansermet : Mécanique générale, 2016.PPUR.

[2] Michel Semon : Rappel théorique: Les formules de Poisson, 2022. Casa.

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