Repères locaux et référentiels
Angles d’Euler
Un solide indéformable est un système idéal formé d’un ensemble de points immobiles les
uns par rapport aux autres. Par extension, l’ensemble des points immobiles par rapport au
solide étudié font partie du solide.
La position instantanée d’un solide peut être décrite à l’aide de six paramètres. Il faut trois
paramètres (coordonnées) pour fixer une origine (un point quelconque du solide) et trois
coordonnées pour fixer l’orientation du repère lié au solide. On va donc travailler avec deux
repères, l’un fixe que l’on notera (O, x̂1 , x̂2 , x̂3 ) et l’autre, le repère mobile lié au solide qui
sera noté ( A, x̂1′′′, x̂2′′′, x̂3′′′). Le repère lié au solide possède des triples primes, car il va être
obtenu à l’aide de trois rotations à partir du repère fixe qui vont donner l’orientation du solide.
En mécanique, les angles d’Euler sont des angles introduits par Leonhard Euler pour décrire
l’orientation d’un solide ou celle d’un référentiel par rapport à un repère cartésien de
Il y a différente manière de choisir l’ordre de trois rotations qui permettent de passer du repère
fixe au repère matérialisant le solide considéré. Les deux principales sont celles utilisées en
aéronautique (voir figure 1) et celles utilisées en mécanique . En aéronautique les angles
s’appellent tangage, lacet et roulis. En mécanique on parlera de précession (ψ), de nutation
(θ) et de rotation propre (ϕ).
Figure 1: En aéronautique, on
obtient l’orientation d’un avion en
utilisant le roulis (axe: carlingue), le
tangage (axe: ailes) et le lacet (axe:
Les angles d’Euler permettent de décrire de manière univoque l’orientation du repère ou du
solide dont on s’occupe, à condition de décider au préalable des trois rotations et de respecter
l’ordre de celles-ci. Les angles de sens direct sont compris entre −π et π. La marche à suivre
est donc précise et doit être respectée.
1. On commence par aligner identiquement les deux repères, l’un est fixe et l’autre mobile.
Leurs vecteurs de bases sont colinéaires et notés (x̂1 , x̂2 , x̂3 ). Voir figure 2.
2. La première rotation, d’angle ψ, appelée précession, se fait autour de l’axe x̂3 du repère
fixe. Elle donne l’évolution notée (x̂1′ , x̂2′ , x̂3′ ).
3. La deuxième rotation, d’angle θ, est exécutée autour de l’axe x̂1′ = x̂1′′ et s’appelle
nutation. Elle donne le repère mobile (x̂1′′, x̂2′′, x̂3′′).
4. La troisième et dernière rotation se fait autour de l’axe x̂3′′ = x̂3′′′ et donne l’orientation
finale du repère mobile (x̂1′′′, x̂2′′′, x̂3′′′).
Accueilobtient l’orientation quelconque du repère ou du solide étudié en utilisant, deux des trois rotations possibles. x̂3 puis x̂1′ et enfin x̂3′′. On utilise également la composition de rotation x̂3 puis ŷ1 ′ et enfin x̂3 ′′. Dans ce rappel, j’ai utilisé la première des compositions de rotations de type Z-X-Z. La seconde Il faut bien se rendre compte que l’on exécute une composition de rotations et que chaque rotation se fait autour d’un axe qui est déterminé par la rotation précédente. Ceci nous permet d’utiliser les matrices de rotation pour effectuer la composition formelle de la matrice de passage du repère e donné par les vecteurs de bases orthonormés (x̂1′ , x̂2′ , x̂3′ ) au repère final e′′′donné par les vecteurs de bases (x̂1 , x̂2 , x̂3 ). La matrice de passage de e à e′ est la matrice de passage d’une rotation d’angle ψEuler autour du troisième vecteur de base, Pee′ ≡ (x̂1 x̂2 x̂3 ) sin ψ cos ψ 0 = x̂1′ x̂2′ x̂3′ . La seconde matrice de passage, de e′ à e′′ se fait selon le premier vecteur de base résultant de la rotation précédente, c’est-à-dire du vecteur x̂1′ . C’est une rotation d’angle θEuler . Pe′ e′′ ≡ x̂1′ x̂2′ x̂3′ 0 cos θ − sin θ = x̂1′′ x̂2′′ x̂3′′ . La troisième et dernière rotation, d’angle ϕEuler se fait selon l’axe x̂3′′ et donne la dernière Pe′′e′′′ ≡ x̂1′ x̂2′ x̂3′ sin ϕ cos ϕ 0 = x̂1′′′ x̂2′′′ x̂3′′′ . Le produit matriciel Pee′′′ = Pee′ Pe′ e′′ Pe′′e′′′ nous donne la matrice orthogonale de passage entre le repère fixe et le repère mobile final. Elle vaut: M E = Pee′′′ = sin ψ cos ψ 0 0 cos θ − sin θ sin ϕ cos ϕ 0 cos ψ cos ϕ − cos θ sin ψ sin ϕ − cos θ sin ψ cos ϕ − cos ψ sin ϕ sin θ sin ψ = cos θ cos ψ sin ϕ + sin ψ cos ϕ cos θ cos ψ cos ϕ − sin ψ sin ϕ − sin θ cos ψ
AccueilLa matrice inverse (également la transposée dans ce cas), c’est-à-dire la matrice de passage de e′′′ à e est: cos ψ cos ϕ − cos θ sin ψ sin ϕ cos θ cos ψ sin ϕ + sin ψ cos ϕ sin θ sin ϕ − cos θ sin ψ cos ϕ − cos ψ sin ϕ cos θ cos ψ cos ϕ − sin ψ sin ϕ sin θ cos ϕ
AccueilCOORDONNÉES CYLINDRIQUES ET REPÈRE CYLINDRIQUE ASSOCIÉ Coordonnées cylindriques et repère cylindrique associé On obtient assez facilement les transformations ou encore la matrice de passage d’un repère cartésien (O, e1 , e2 , e3 ) à un repère cylindrique (O, eρ , eϕ , ez ) en appliquant le formalisme des Les dessins ci-dessous nous montrent le procédé. Figure 3: La rotation (1)→(2) est une rotation d’angle ϕ autour de 3. Figure 4: Repère cylindrique associé au point matériel étudié. Le repère (O, eρ , eϕ , ez ) subit ensuite une translation de vecteur OP pour que son origine devienne le point P et que le repère devienne un repère cylindrique associé. On remarquera que les trois vecteurs eρ , eϕ et ez sont tangents aux lignes de coordonnées cylindriques. Dans le cas d’un repère cylindrique associé, les transformations successives se traduisent par les angles d’Euler suivants:
AccueilCOORDONNÉES CYLINDRIQUES ET REPÈRE CYLINDRIQUE ASSOCIÉ Cela nous donne la matrice de passage: M E = 0 1 0 0 1 0 sin ϕ cos ϕ 0 = sin ϕ cos ϕ 0 Comme on désire passer de la base cartésienne à la base cylindrique, on pose: eρ eϕ ez = e1 e2 e3 sin ϕ cos ϕ 0 On a à présent les relations entre les deux familles de vecteurs de base: eρ = cos ϕe1 + sin ϕe2 eϕ = − sin ϕe1 + cos ϕe2 On va encore calculer la position du vecteur position OP dans le repère cylindrique associé en utilisant la matrice d’Euler. La matrice d’Euler M E est la matrice de passage du repère cartésien avec la base e = (e1 , e2 , e3 ) au repère cylindrique avec la base E = (eρ , eϕ , ez ) Dans le repère cartésien, le vecteur OP vaut: OP = r(t) = xe1 + ye2 + ze3 = e1 e2 e3 y et dans le repère cylindrique, le même vecteur vaut: r(t) = Xeρ + Yeϕ + Zez = eρ eϕ
AccueilCOORDONNÉES CYLINDRIQUES ET REPÈRE CYLINDRIQUE ASSOCIÉ Un vecteur est un invariant par transformation de coordonnées, donc il faut que: Y = e1 e2 e3 y De l’équation (6) on tire que: e1 e2 e3 = e ρ e ϕ e z − sin ϕ cos ϕ 0 En substituant ce résultat dans (7), on obtient: eρ eϕ ez Y = eρ eϕ ez − sin ϕ cos ϕ 0 y Par identification et en exprimant x et y sous les formes x = ρ cos ϕ et y = ρ sin ϕ on arrive au résultat attendu: x 2 + y2 Y = − sin(ϕ) cos(ϕ) 0 y = ρ sin ϕ = L’égalité vectorielle donnant la position r(t) d’un point en coordonnées cylindriques est: r(t) = ρeρ + zez .
AccueilCOORDONNÉES SPHÉRIQUES ET REPÈRE SPHÉRIQUE ASSOCIÉ Coordonnées sphériques et repère sphérique associé De même que pour les coordonnées cylindrique, on obtient assez facilement les transformations ou encore la matrice de passage d’un repère cartésien (O, e1 , e2 , e3 ) à un repère sphérique (S, er , eθ , eϕ ) en appliquant le formalisme des angles d’Euler. Figure 6: (1) → (2) est une rotation d’angle ϕ autour de x3 , le passage de (2) à (3) est une rotation d’angle − π2 autour de e1′ Figure 7: La rotation (3)→(4) est une rotation d’angle − En étudiant les quatre dessins ci-dessus on peut déterminer les angles d’Euler qui permettent de passer d’un repère cartésien à un repère sphérique. Les transformations successives se traduisent par les angles d’Euler suivants:
AccueilCOORDONNÉES SPHÉRIQUES ET REPÈRE SPHÉRIQUE ASSOCIÉ Figure 8: Repère sphérique associé au point matériel étudié. Cela donne la matrice d’Euler: M E = sin ϕ cos ϕ 0 0 0 −1 cos θ sin θ 0 sin θ cos ϕ cos θ cos ϕ − sin ϕ sin θ sin ϕ cos θ sin ϕ cos ϕ Si l’on veut exprimer un vecteur de la base cartésienne dans la base sphérique, il faut lui appliquer la matrice d’Euler, ce qui donne er eθ eϕ = e1 e2 e3 sin θ sin ϕ cos θ sin ϕ cos ϕ er = sin θ cos ϕ e1 + sin θ sin ϕ e2 + cos θ e3 eθ = cos θ cos ϕ e1 + cos θ sin ϕ e2 − sin θ e3 eϕ = − sin ϕ e1 + cos ϕ e2 Figure 9: Repère sphérique associé.
AccueilCOORDONNÉES SPHÉRIQUES ET REPÈRE SPHÉRIQUE ASSOCIÉ On va calculer la position du vecteur position OP dans le repère sphérique associé en utilisant la matrice d’Euler. La matrice d’Euler M E est la matrice de passage du repère cartésien avec la base e = (e1 , e2 , e3 ) au repère sphérique avec la base E = (er , eϕ , eθ ). Dans le repère cartésien, le vecteur OP vaut: OP = r(t) = xe1 + ye2 + ze3 = e1 e2 et dans le repère cylindrique, le même vecteur vaut: r(t) = Xer + Yeϕ + Zeθ = er eϕ Un vecteur est un invariant par transformation de coordonnées (tenseur d’ordre 1), donc il De l’équation (8) on tire que: eθ cos(θ ) cos(ϕ) cos(θ ) sin(ϕ) − sin(θ ) En substituant ce résultat dans (9), on obtient: cos(θ ) cos(ϕ) cos(θ ) sin(ϕ) − sin(θ ) Par identification et en exprimant x, y et z sous forme sphérique, on arrive au résultat attendu: sin(θ ) cos(ϕ) sin(θ ) sin(ϕ) cos(θ ) x = r sin(θ ) cos(ϕ) Y = cos(θ ) cos(ϕ) cos(θ ) sin(ϕ) − sin(θ ) y = r sin(θ ) sin(ϕ) = 0 L’égalité vectorielle donnant la position r(t) d’un point en coordonnées sphériques est:
Accueil[Feynman] R. Feynmann : Cours de physique EM2, 196x. [Bréchet] S. Bréchet: Cours de physique générale I, EPFL, 2022. [Wikipédia] Wikipédia : Portail des mathématiques, 2022.
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